5第五章__频率法

频率法5-2典型环节的频率特性5-3系统开环频率特性的绘制5-4乃奎斯特稳定判据和系统的相对稳定性第五章线性系统的频域分析5-1频率特性5-5系统的频率特性及频域性能指标5-6频率特性的实验确定方法5-7用MATLAB进行系统的频域分析频率法频率特性法是又一种对系统进行分析和设计的图解方法。在工程中得到了广泛应用。频率特性法的优点：只要求出系统的开环频率特性，就可以迅速判断闭环系统是否稳定；由系统的频率特性所确定的频域指标与系统的时域指标之间存在着一定的对应关系；系统的频率特性很容易和它的结构、参数联系起来，可以很方便地对系统进行校正；频率特性不仅可由微分方程或传递函数求得，还可以用实验方法求得。频率法5-1频率特性一、频率特性的基本概念由电路的知识：这是一个惯性环节1111)()()(RCsCsRCssUsUsGio如一阶RC电路RCiuou当输入电压是一正弦量时，输出电压是与同频率的正弦量，但其幅值和相位不同。iuouiu频率法对于一个线性定常的稳定系统，输入一个正弦信号，则系统的稳态输出也为正弦信号，输出信号与输入信号同频率，但幅值和相位不同。且输出与输入的幅值比和相位差只和系统参数及输入信号的频率有关。在系统结构参数给定的情况下，A和仅仅是频率的函数。rcAAAtAtrrsin)(如果输入)sin()(tAtcc则稳态输出频率法可用复数表示：crACAR　，o0定义：频率特性就是系统稳态输出与输入正弦信号的复数比。tAtrrsin)(输入)sin()(tAtcc稳态输出频率特性表示线性系统在稳态情况下，输出、输入正弦信号之间的数学关系，是频率域中的数学模型。rcrcAAAARCjGo0)(频率法稳态响应与正弦输入信号的相位差称为系统的相频特性，它描述系统的稳态响应对不同频率输入信号的相位移特性；)()(jG|)(|)(jGAAArc稳态响应的幅值与输入信号的幅值之比称为系统的幅频特性，它描述系统对不同频率输入信号在稳态时的放大特性；)()()()()(jQPAjG称为系统的实频特性。)](Re[)(jGP)(jG频率特性是的复变函数：)](Im[)(jGQ称为系统的虚频特性。频率法幅频特性、相频特性和实频特性、虚频特性之间具有下列关系：)(cos)()(AP)(sin)()(AQ)()()(22QPA)()()(1PQtg频率法这是一个惯性环节1111)()()(RCsCsRCssUsUsGio如一阶RC电路RCiuou由于这种简单关系的存在，频率响应法和利用传递函数的时域法在数学上是等价的。jssGjG|)()(频率特性:1111)(RCjCjRCjUUjGrc频率特性与传递函数的关系为：频率法[结论]：当传递函数中的复变量s用代替时，传递函数就转变为频率特性。反之亦然。j到目前为止，我们已学习过的线性系统的数学模型有以下几种：微分方程、传递函数和频率特性。它们之间的关系如下：微分方程频率特性传递函数jsdtdsdtdj频率法频率特性的推导是在线性定常系统是稳定的假设条件下得出的。如果不稳定，则动态过程c(t)最终不可能趋于稳态响应cs(t)，当然也就无法由实际系统直接观察到这种稳态响应。但从理论上动态过程的稳态分量总是可以分离出来的，而且其规律性并不依赖于系统的稳定性。因此可以扩展频率特性的概念，将频率特性定义为：在正弦输入下，线性定常系统输出的稳态分量与输入的复数比。所以对于不稳定的系统，尽管无法用实验方法量测到其频率特性，但根据式jssGjG|)()(由传递函数还是可以得到其频率特性。频率法工程上常用图形来表示频率特性，常用的有：二、频率特性的表示方法：1．幅相频率特性图，极坐标图，也称乃奎斯特(Nyquist)图。是以开环频率特性的实部为直角坐标横坐标，以其虚部为纵坐标，以为参变量的幅值与相位的图解表示法。它是在复平面上用一条曲线表示由时的频率特性。即用矢量的端点轨迹形成的图形。是参变量。在曲线的上的任意一点可以确定实频、虚频、幅频和相频特性。0)(jG频率法乃奎斯特图Nyquist频率法2．对数频率特性图，对数坐标图，也称伯德(Bode)图。Bode图由对数幅频特性和对数相频特性两条曲线组成。频率法Bode图坐标(横坐标是频率，纵坐标是幅值和相角)的分度：DecDecDecDec12012...lg01.001.0110100由于以对数分度，所以零频率线在－∞处。横坐标分度(称为频率轴)：它是以频率的对数值进行线性分度的。但为了便于观察仍标以的值，因此对而言是非线性刻度。每变化十倍，横坐标变化一个单位长度，称为十倍频程（或十倍频），用dec表示。如下图所示：lg频率法纵坐标分度：对数幅频特性曲线的纵坐标以表示。其单位为分贝(dB)。直接将值标注在纵坐标上。)(lg20)(AL)(lg20A相频特性曲线的纵坐标以度或弧度为单位进行线性分度。一般将幅频特性和相频特性画在一张图上，使用同一个横坐标（频率轴）。当幅频特性值用分贝值表示时，通常将它称为增益。幅值和增益的关系为：)lg(20幅值增益幅值A()1.001.261.562.002.513.165.6210.0100100010000对数幅值20lgA()02468101520406080幅值A()1.000.790.630.500.390.320.180.100.010.0010.0001对数幅值20lgA()0-2-4-6-8-10-15-20-40-60-80频率法半对数坐标系频率法使用对数坐标图的优点：可以展宽频带；频率是以10倍频表示的，因此可以清楚的表示出低频、中频和高频段的幅频和相频特性。可以将乘法运算转化为加法运算。所有的典型环节的频率特性都可以用分段直线（渐近线）近似表示。对实验所得的频率特性用对数坐标表示，并用分段直线近似的方法，可以很容易的写出它的频率特性表达式。频率法5-2典型环节的频率特性实频特性：；虚频特性：；KP)(0)(QReImK一、比例环节：KsG)(KjG)(幅频特性：；相频特性：KA)(0)(比例环节的极坐标图为实轴上的K点。1.极坐标图：频率法dBL/)()(180180幅频特性：；相频特性：KA)(0)(对数幅频特性：111000lg20)(KKKKL常数Klg201K1KKlg201KKlg200)(相频特性：2.Bode图：频率法二、惯性环节的频率特性：11)(TssG11)(TjjGTtgTA122)(,11)(22221)(,11)(TTQTP0)0(1)0(0)0(1)0(0QPA，　　　　，时：2)1(21)1(45)1(21)1(1KTQTPTTAT，　　　　，时：0)(0)(90)(0)(QPA，，时：0ImRe0T1惯性环节呈低通滤波特性1.极坐标图：频率法2211)(TA2.对数频率特性11)(TssG11)(jTjG①对数幅频特性：221lg201lg20)(lg20)(TAL低频段：当时，，称为低频渐近线。1T01lg20)(L高频段：当时，，称为高频渐近线。这是一条斜率为-20dB/Dec的直线（表示每增加10倍频程下降20分贝）。1TTTLlg20lg201lg20)(低频高频渐近线的交点：可以用这两个渐近线近似表示惯性环节的对数幅频特性。Ttg1)(为了图示简单，采用分段直线近似表示。Tlg201lg201lg20T1o由，得：称为转折频率或交换频率。频率法100-10-20-90°-45°0°T1T201T101T51T21T5T10T20T2渐近线图中，红、绿线分别是低频、高频渐近线，蓝线是实际曲线。频率法波德图误差分析（实际频率特性和渐近线之间的误差）：当时，误差为：o2211lg20T当时，误差为：oTTlg201lg20222最大误差发生在处，为To1)(31lg202o2maxdBTT0.10.20.512510L(),dB-0.04-0.2-1-3-7-14.2-20.04渐近线,dB0000-6-14-20误差,dB-0.04-0.2-1-3-1-0.2-0.04-4-3-2-10T1T101T51T21T5T10T2频率法②相频特性：Ttg1)(作图时先用计算器计算几个特殊点：。时，当时，当时，当ooo90)(;45)1(1;0)0(0TT由图不难看出相频特性曲线在半对数坐标系中对于(0，-45°)点是斜对称的，这是对数相频特性的一个特点。当时间常数T变化时，对数幅频特性和对数相频特性的形状都不变，仅仅是根据转折频率1/T的大小整条曲线向左或向右平移即可。而当增益改变时，相频特性不变，幅频特性上下平移。T0.010.020.050.10.20.30.50.71.0()-0.6-1.1-2.9-5.7-11.3-16.7-26.6-35-45T2.03.04.05.07.0102050100()-63.4-71.5-76-78.7-81.9-84.3-87.1-88.9-89.4频率法频率特性：2111)(ejjjG2)(1)(A1)(Q0)(PReIm0三、积分环节ssG1)(积分环节具有低通滤波特性积分环节的极坐标图为负虚轴。频率从0→∞特性曲线由虚轴的-∞趋向原点。1.极坐标图：频率法2.对数频率特性lg201lg20)(lg20)(　　　AL2)(1)(A1KdBL/)()(90204020401101001101000)(1L时，当可见斜率为－20dB/dec2)(频率法三、微分环节微分环节有三种：纯微分、一阶微分和二阶微分。12)(1)()(22TssTsGTssGssG频率特性分别为：TjTjGjTjGjjG21)(1)()(22传递函数分别为：频率法①纯微分环节：jjG)(2)(,)(A)(,0)(QP微分环节的极坐标图为正虚轴。频率从0→∞特性曲线由原点趋向虚轴的+∞。ReIm0微分环节具有高通滤波特性极坐标图：频率法Bode图：2)(lg20)()(LA1100.1)/(srad))((dBL2020decdB/201100.1)/(srad)(deg)(900090decdB/20微分环节微分环节积分环节积分环节jjG)(频率法TQP)(,1)(②一阶微分：TtgTA122)(,1)(ReIm一阶微分环节的极坐标图为平行于虚轴直线。频率从0→∞特性曲线相当于纯微分环节的特性曲线向右平移一个单位。0jTjG1)(极坐标图：频率法Bode图这是斜率为+20dB/Dec的直线。相频特性：几个特殊点如下2)(,;4)(,1;0)(,0T相角的变化范围从0到。2低频段渐进线：0)(lg201)(1AAT，　时，当高频段渐进线：TLTATlg20)()(1，时，当对数幅频特性（用渐近线近似）：22221lg20)(,1)(