高中数学必修4平面向量课件__向量的数乘

1品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网向量的加法(三角形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.ab作法:在平面中任取一点o,aAbB过O作OA=a则OB=a+b.过A作AB=bo3品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网bbaabba4品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网向量的加法(平行四边形法则)如图,已知向量a和向量b,作向量a+b.a作法:在平面中任取一点o,oaAbBb以OA,OB为边作平行四边形a+bC过O作OA=a过O作OB=b则对角线OC=a+b5品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网向量的减法(三角形法则）如图,已知向量a和向量b,作向量a-b.ab作法:在平面中任取一点o,oaAbBa-b过O作OA=a过O作OB=b则BA=a-b6品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网位移、力、速度、加速度等都是向量，而时间、质量等都是数量，这些向量与数量的关系，常常在物理公式中出现，如力与加速度的关系F=ma，位移与速度的关系s=vt，这些公式都是实数与向量间的关系、实数与实数可以进行加法、减法、求积等运算，实数与向量能否进行加法、减法、求积运算呢？若能进行运算，运算的规则又如何呢？引入新课7品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网§2.1.4向量数乘高中数学48品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网=a3ABCDa++aaa9品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网(-)(-)(-)a3-ABCDaaa++＝10品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网相同向量相加后,和的长度与方向有什么变化?aaaOABC3a-3a-a-a-aPQMNa11品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0a≠0λa中实数的λ,叫做向量a的系数12品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网数乘向量的几何意义就是把向量沿的方向或反方向放大或缩短.若,当沿的方向放大了倍.当沿的方向缩短了倍.当,沿的反方向放大了倍.当沿的反方向缩短了倍.由其几何意义可以看出用数乘向量能解决几何中的相似问题.0a时，1时，〈〈10时1a时，〈〈01aaaaaλa13品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网复习回顾:实数乘法的运算律1、交换律：ab=ba2、结合律：a(bc)=(ab)c=b(ac）3、分配律：a(b+c）=ab+ac14品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网a2a6)2(3a一般地:)2(3aa6=aa)()(15品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网bba)(2baa2b2baba22)(2baba)(一般地:16品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网a5a2a3一般地：aaa)(aaa32)32(17品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a(结合律)②(λ+μ)a=λa+μa(第一分配律)③λ(a+b)=λa+λb(第二分配律)对于任意的向量以及任意实数恒有ab,、12、、，22aa11(b)=b向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。18品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网C.的方向相反与aaA.的方向相同与aa2B.(2).设是非零向量,是非零实数,下列结论正确的是().aaD.a(1).下列四个说法正确的个数有().B.2个A.1个C.3个D.4个;bmambambam）（，恒有、和向量对于实数;),(baRmbmam则有若;,0),(nmaRnmanam则有、若;)(anamanmanm，恒有和向量、对于实数BC19品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网)2();(3)(2baba))(())((babaaaaa)1()212(21)2(bababababa22(1)(2)(3)解:(1)babbaababababa5)32()32(3322)(3)(2(2))()()(babababa）（原式(3)例题分析20品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网4)3)(1(ababa)(2)(3)2(a12b5)23()32)(3(cbacbacba25反馈演练))(())()(4(2121bcttbcttctbt212221品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网设未知向量,解方程5(+)+3(-)=0解:原式可变形为bax358xxabx5+5+3-3=0bax8385bxax反馈演练:教材95页练习A第3题答案:(1)(2)(3)a32ba43cba7171214例题分析22品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网例３:若3m+2n=a,m-n=b,其中,b是已知向量,求m,n分析:此题可把已知条件看作向量的方程,通过解方程组获得aanm23bnm3bam112113解：记①，②bnm3933②得③,113111ban①-③得例题分析练习:已知a与b,且2x-y=a,x+2y=b,求x,yabybax5152,515223品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网如图所示，已知说明向量与的关系．,3'OAOA,3''ABBAOB'OB解：因为''''BAOAOBABOA33)(3ABOAOB3所以，与共线同方向，长度是的3倍OB'OBOBoAB'B'A例题分析问题:如果把3都换成k(不为0),结论会有什么变化?24品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网反馈演练：1.在中,设D为边ＢＣ的中点,求证:ABC)(21)1(ACABADADCABCAB223)2(ＡＢＣＤ解：因为BDABADBCAB21)(21ABACAB)(21BCAB（２）CABCABAB22原式左边CAACAB2右边ADACAB2所以，所证等式成立25品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网使ACBE连接CE则四边形ABCD是平行四边形,D是BC中点，则D也是AE中点.由向量加法平行四边形法则有ADAEACAB2)(21ACABAD解2:26品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网例４:如图，在中,延长BA到C,使AC=BA,在OB上取点D,使BD=OB.DC与OA交于E,设请用.OAB31，，bOBaOADCOCba，表示向量，ECODBA分析:解题的关键是建立的联系，为此需要利用向量的加、减法数乘运算。baODOC，与,解：因为A是BC的中点，所以.22),(21baOBOAOCOCOBOA即babbaOBOCODOCDC35232232例题分析ba27品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网，设边上一点，且中是等于则AD（C）)(31.baA)(31.abB)2(31.baC)2(31.abDNCANbADaAB3,,分析:由所以在平行四边形ABCD中,,M为BC的中点,则等于＿＿＿＿＿＿MN,21,334,3baAMbaACANNCAN）（得bababaMN4141)21()(43ba4141(1)(2)ABCD28品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网(3)如图,已知正六边形ABCDEF中,则等于(),aABbBDBC)(21.baAbaC21.)(21.abB)(21.baD若其中为已知向量，则未知向量＿＿＿＿.0)3(21)31(2bybcayba、y已知向量求满足方程组的ba、.2,2byxayx.,yx(4)(5)Dcba7171214abybax5152,515229品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网（1）向量数乘的定义（2)向量数乘的运算律一般地，实数λ与向量a的乘积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘运算，记作λa，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,λa的方向与a方向相同；当λ0时,λa的方向与a方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0a0设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μa)=(λμ)a(结合律)②(λ+μ)a=λa+μa(第一分配律)③λ(a+b)=λa+λb(第二分配律)（３）向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。小结回顾30品质来自专业信赖源于诚信金太阳教育网(1)若则化简cba)(2)3(2)2(3bacbbaa补充练习：(2)如图,梯形ABCD中，AB//DC,且AB=2CD,E,F分别是DC,AB的中点，设=a,=b,试用a,b表示ADAB.,,EFBCDCABCDFEab,21bDCbaBC21abEF41答案：