函数零点问题典例(含答案)

函数零点问题典例（含答案）1、(1)求函数f(x)＝2x－12x－2的零点；(2)已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．①求实数a和b的值；②设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求函数g(x)的极值点．2、(1)判断函数f(x)＝2－x－lg(x＋1)的零点个数；(2)已知函数f(x)＝－x2＋2ex＋t－1，g(x)＝x＋e2x(x0)．①若函数g(x)－m有零点，求实数m的取值范围；②确定实数t的取值范围，使得关于x的方程g(x)－f(x)＝0有两个相异实根3、已知函数f(x)＝2x＋ln(1－x)，讨论函数f(x)在定义域内的零点个数．4、已知函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1.(1)若函数f(x)的两个零点x1，x2满足x1∈(－1,0)，x2∈(1,2)，求实数m的取值范围；(2)若关于x的方程f(x)＝0的两根均在区间(0,1)内，求实数m的取值范围．5、已知函数f(x)＝23x＋12，h(x)＝x.(1)设函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2，求函数F(x)的单调区间与极值；(2)设a∈R，解关于x的方程log432fx－1－34＝log2h(a－x)－log2h(4－x)．6、已知函数f(x)＝xlnx，x0，xln－x，x0.(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)求函数f(x)的单调区间；(3)若关于x的方程kf(x)＝1恰有3个不同的根，求实数k的取值范围．1、分析(1)求函数的零点，即求方程2x－12x－2＝0的根．(2)导数值为0且使导函数左右异号的点是极值点．极值点一定是导函数的零点．【解析】(1)令2x－12x－2＝0，由2x0，方程两边同时乘以2x，得(2x)2－2×2x－1＝0.由一元二次方程的求根公式，得2x＝1±2.由2x0，知2x＝1＋2.∴函数f(x)＝2x－12x－2的零点是x＝log2(1＋2)．(2)①由题设，知f′(x)＝3x2＋2ax＋b且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0.解得a＝0，b＝－3.②由(1)，得函数f(x)＝x3－3x.∴f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)．∴方程g′(x)＝0的根是x1＝x2＝1，x3＝－2.∴函数g(x)的极值点只可能是1或－2.当x－2时，g′(x)0，当－2x1时，g′(x)0，∴－2是极值点．又当－2x1或x1时，g′(x)0，故1不是极值点．∴函数g(x)的极值点是－2.【点评】含指数式和对数式的方程常用换元法向常规方程转化，解二次方程的常用方法是因式分解和求根公式．注意导数的零点的意义．2、分析(1)直接解方程f(x)＝0有困难，可以作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象，还可以用判定定理．(2)画出函数图象，结合最值与交点情况求解．【解析】(1)方法一：令f(x)＝0，得2－x＝lg(x＋1)，作出函数y＝2－x及y＝lg(x＋1)的图象(如图2－16－1)，可知有一个交点．∴函数f(x)的零点有且只有一个．方法二：首先x＞－1，在区间(－1，＋∞)上2－x是减函数，－lg(x＋1)也是减函数，∴函数f(x)在区间(－1，＋∞)上为减函数且连续．∵f(0)＝20－lg1＝1＞0,f(9)＝2－9－lg10＝129－1＜0，∴f(0)f(9)＜0.∴函数f(x)在区间(－1，＋∞)上有唯一零点．(2)①∵x0，∴g(x)＝x＋e2x≥2e2＝2e.当且仅当x＝e时取等号．∴函数g(x)的值域是[2e，＋∞)，要使函数g(x)－m有零点，则只需m≥2e.②若关于x的方程g(x)－f(x)＝0有两个互异的实根，即函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)＝x＋e2x(x0)的图象(如图2－16－2)．3、【解析】函数f(x)的定义域为{x|x＜1}且函数f(x)在定义域内的图象是连续的．f′(x)＝2＋－11－x＝1－2x1－x(x＜1)．令f′(x)＝0,得x＝12.当x＜12时，f′(x)＞0；当12＜x＜1时，f′(x)＜0∴函数f(x)在区间－∞，12内为增函数，在区间12，1内为减函数．∴当x＝12时，函数f(x)有最大值f12＝1＋ln12＝1－ln2＞0.又f(－2)＝－4＋ln3＜0,∴f(－2)f12＜0.∴函数f(x)在区间－2，12内有唯一零点，即在区间－∞，12内有唯一零点．又f(1－e－10)＝2(1－e－10)＋ln(1－1＋e－10)＝－8－2e－10＜0，∴f(1－e－10)f12＜0.∴函数f(x)在区间12，1－e－10内有唯一的零点，即在区间12，1内有唯一零点．∴函数f(x)在区间(－∞，1)内有且只有两个零点．4、【解析】(1)根据函数f(x)的图象，得f0＝2m＋1＜0，f－1＝2＞0，f1＝4m＋2＜0，f2＝6m＋5＞0.化简，得－56＜m＜－12.5、【解析】(1)函数F(x)＝18f(x)－x2[h(x)]2＝－x3＋12x＋9(x≥0)，∴F′(x)＝－3x2＋12.令F′(x)＝0，得x＝2(x＝－2舍去)．当x∈(0,2)时，F′(x)0；当x∈(2，＋∞)时，F′(x)0.故当x∈[0,2)时，函数F(x)为增函数；当x∈[2，＋∞)时，函数F(x)为减函数．故x＝2为函数F(x)的极大值点且F(2)＝－8＋24＋9＝25.(2)方法一：原方程可化为log4(x－1)＝log2a－x－log24－x＝log2a－x4－x且xa，1x4.当a≤1时，方程无意义，即方程无解．当1a≤4时，1xa，由x－1＝a－x4－x，得x2－6x＋a＋4＝0.Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a0，x＝6±20－4a2＝3±5－a.此时方程仅有一解x＝3－5－a.若4a5，则Δ0，方程有两解x＝3±5－a；若a＝5，则Δ＝0，方程有一解x＝3；若a5，则Δ＜0，方程无解．综上，当a≤1或a5时，方程无解；当1a≤4时，方程有一解x＝3－5－a；当4a5时，方程有两解x＝3±5－a；当a＝5时，方程有一解x＝3.当a4时，1x4，由x－1＝a－x4－x，得x2－6x＋a＋4＝0.Δ＝36－4(a＋4)＝20－4a.6、【解析】函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．(1)当x＞0时，－x＜0，∵f(x)＝xlnx，f(－x)＝－xlnx，∴f(－x)＝－f(x)．当x＜0时，－x＞0，f(x)＝xln(－x),f(－x)＝－xln(－x)，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)当x＞0时，f(x)＝xlnx，f′(x)＝lnx＋x·1x＝lnx＋1.令f′(x)＜0，得0＜x＜1e.∴当x∈0，1e时，f(x)为减函数．令f′(x)＞0，得x＞1e.∴当x∈1e，＋∞时，f(x)为增函数．又f(x)为奇函数，∴当x∈－1e，0时，f(x)为减函数；当x∈－∞，－1e时，f(x)为增函数．∴函数f(x)的单调减区间为－1e，0和0，1e，单调增区间为－∞，－1e和1e，＋∞(3)原方程等价于f(x)＝1k，考察函数f(x)的图象变化，由(2)，知当x∈0，1e时，f(x)由0递减到f1e＝－1e，当x∈1e，＋∞时，f(x)由f1e递增到＋∞，当x∈－∞，－1e时，f(x)由－∞递增到f－1e＝1e，当x∈－1e，0，f(x)由f－1e递减到0.∵方程f(x)＝1k恰有3个不同的根，∴函数f(x)的图象与函数y＝1k的图象应有3个不同的交点．∴－1e＜1k＜0或0＜1k＜1e.∴k＜－e或k＞e.【点评】本题关键是研究好函数的奇偶性、单调性，才能较好地利用数形结合法研究方程的根的个数问题．