初等函数的幂级数展开式

200)(!2)(xxxf10)1()()!1()()(nnnxxnfxRnnxxnxf)(!)(00)(　其中定理1(泰勒中值定理)若函数f(x)在x0点的某邻域U(x0)内具有直到n+1阶连续导数,则当x取U(x0)内任何值时,f(x)可按(xx0)的方幂展开为f(x)=f(x0)+f(x0)(xx0)+(在x0与x之间)+Rn(x)公式(1)称为函数f(x)在x0处的泰勒公式.(1)Rn(x)称为拉格朗日(Lagrange)余项.泰勒系数!)(0)(kxfakkk=0,1,2,···,n是唯一的.一、泰勒公式定义如果函数f(x)在x0的某邻域内是存在任意阶导数,则幂级数称为函数f(x)在x0处的泰勒级数.200)(!2)(xxxf=f(x0)+f(x0)(xx0)nnxxnxf)(!)(00)(　二、泰勒级数000)()(!)(nnnxxnxf　称为函数f(x)的麦克劳林级数.nnxnfxfxff!)0(!2)0()0()0()(20)(!)0(nnnxnf　)!12()1(!51!311253nxxxxnnsinx=012)!12()1(nnnnxx(,+).0nnx(1x1)=1+x+x2+···+xn+···x11定理2f(x)在x0点的泰勒级数在UR(x0)内收敛于f(x)在UR(x0)内,Rn(x)0.nxxnxxe!1!2112x(,+).0!nnnx0!)1()1(nnxnn1,收敛区间为:(1,1).10,收敛区间为:(1,1].0,收敛区间为:[1,1].1x1nαxnnαααxααxαx!)1()1(!2)1(1)1(2§7.7初等函数的幂级数展开式一、直接法(泰勒级数法)二、间接法三、常见函数的幂级数展开式步骤:0)(limxRnn!)(0)(nxfn(1)求f(n)(x),n=0,1,2,(2)计算an,n=0,1,2,(4)讨论?并求出其收敛区间.(3)写出幂级数利用泰勒公式或麦克劳林公式将f(x)展开为幂级数nnnxxnxf)(!)(010)(若为0,则幂级数在此收敛区间内等于函数f(x);若不为0,则幂级数虽然收敛,但它的和不是f(x).一、直接法(泰勒级数法)解0!nnnx1)!1(nxxne例1将f(x)=ex在展开成x的幂级数.因f(n)(x)=ex,n=1,2,3,,f(n)(0)=e0=1,于是f(x)=ex在x=0的麦克劳林级数为:nxnxx!1!2112其中　1)1()!1()()(nnnxnxfxR01　|)!1(|lim|)(|lim1nxnnnxnexR)!1(||lim1nxennx=0,所以ex=1+x+0!nnnxx+.nxnx!1!2120)(limxRnn收敛区间为:(,+)nnkknnnnnbnabbakknnnbannbnaaba1221!)1()1(!2)1()(　　　　　　二项展开式++nxn1+xn(1+x)n=1+nx+kxnknnnxnn!)1()1(!2)1(2(1+x)=1+x+nxnnx!)1()1(!2)1(2?解||lim1nnnaaR例3将f(x)=(1+x)展开成x的幂级数.n=0,1,2,,f(n)(0)=(1)(2)(n+1)=1,0)(!)0(nnnxnf　得[(1+x)](n)=(1)(2)(n+1)(1+x)(n),0!)1()1(nnxnn|1|limnnn注意:当x=1时,级数的收敛性与的取值有关.1,收敛区间为:(1,1).10,收敛区间为:(1,1].0,收敛区间为:[1,1].所以(1+x)的泰勒级数的收敛区间是(1,1),x(1,1)(1+x)=1+x+nxnnx!)1()1(!2)1(20!)1()1(nnxnn牛顿二项式展开式二、间接展开法根据唯一性,利用常见展开式、等比级数的和及幂级数的性质等,通过变量代换,四则运算,恒等变形,逐项求导,逐项积分等方法,求展开式.x11当=1时,x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···)!2()1(!41!211cos242nxxxxnn)!12()1(!51!31sin1253nxxxxxnn解例6将f(x)=cosx展开成x的幂级数.因(sinx)=cosx,又02)!2()1(nnnnxx(,+).x(,+).对上式逐项求导得)1(xedxdx解,!1!2112nxxnxxe)1!1!211()1(2xxnxxdxdxedxdnx])!1(1!1!31!211[12nnxnxnxxdxd12)!1(!1!32!21nnxnnxnnx11)!1(nnxnn例10将函数展开成x的幂级数.因为x(,+).所以x(,+).211x解211x例5将下列函数展开成x的幂级数.(1)x11x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···因为(2)arctanx(1)以x2代替上式中的x,=1x2+x4x6+···+(1)nx2n+···02)(nnxx(1,1).,11)(arctan2xx(2)因1253121)1(5131nnxnxxx21tdt0xarctanx对上式逐项积分0ndt0x(1)nt2n1253121)1(5131nnxnxxx1253121)1(5131nnxnxxxx[1,1].arctanxarctanx当x=1时,为121)1(01nnn交错级数,收敛,当x=1时,为121)1(0nnn交错级数,收敛,所以,120121)1(nnnxn121)1(51311nnarctan1=4解例1*将函数ln(1+x)展开成x的幂级数.x11x(1,1).=1x+x2x3+···+(1)nxn+···因为,11])1[ln(xx又13211)1(3121nnxnxxxtdt1　0xln(1+x)对上式逐项积分11)1(nnnnx0ndt0x(1)ntn13211)1(3121nnxnxxxx(1,1].ln(1+x)11)1(nnnnxnn1)1(312111当x=1时,为,110nn发散,当x=1时,为11)1(0nnn交错级数,收敛,所以,ln(1+x)13211)1(3121nnxnxxxln2=3xe例7将函数f(x)=展开x的幂级数.解因为nxxnxxe!1!2112x(,+).3xex(,+).以代替上式中的x,3xnxnxx)3(!1)3(!21312nnnxnxx!31)1(!231311222xxee解,!1!2112nxxnxxe2xxee02)!2(nnnx例2*将函数展开成x的幂级数.因为x(,+).所以x(,+).)]!)1(!3!21(32nxxxxnn)!1!31!211[(2132nxnxxx)!2(!4!21232nxxxn四则运算22cos1sin2xx)!2()1(!41!211cos242nxxxxnnxx2cos2121sin2)!2(2)2()1()2(!421)2(!2212142nxxxnn　12121)!2(2)1(nnnnxn　])!2()2()1()2(!41)2(!2112121242nxxxnn［　因为x(,+).所以x(,+).解例8将函数sin2x展开成x的幂级数.又nnnxnxx2121432)!2(2)1(!42　x51解)51(5151xx　])5()5(51[512nxxx1|5|x132255551nnxxx015nnnx,1112nxxxx　例11将函数分别在x=0和x=2处展开成幂级数.因为x(1,1).所以(1)由得收敛区间为:x(5,5).)2(3151xx]3)2(3)2(321[3122nnxxx13223)2(3)2(3231nnxxx0)32(31nnx013)2(nnnx13|2|x(2)由得收敛区间为:x(1,5).321131x011nnxxx(1,1).2)(2xxxxf解)2)(1(22xxxxxx)2211(31xxx11(310)([31nnxnnnnx]21)1[(310011nnxx0)2(211nnxx例9将函数展开成x幂级数.0)(11nnxxx(1,1).x(2,2).])2(0nnx收敛区间为:x(1,1).)211x解例12将函数lnx展开成(x1)的幂级数.x(1,1].因为而nxxxxxnn132)1(3121)1ln(lnx=ln(1+x1)nxxxxnn)1()1()1(31)1(21)1(132得收敛区间为:x(0,2].由1x11,xxxf11ln)(解11212nnnx例3*将函数展开成x的幂级数.)1ln()1ln()(xxxf()]x(1,1]nxxxxnn132)1(3121nxxxxn323121122322123nxxxnx(1,1).x[1,1)xxxf11ln)(解2xxxf1111)(02)(2nnxdttf)(121122nnxn212x例3*将函数展开成x的幂级数.)1ln()1ln()(xxxf122nnx0xf(x)=对上式逐项积分得因f(0)=0,x(1,1).;110nnxx;)1(11022nnnxx;!0nnxnxe;)1()1ln(11nnnnxx;)!12()1(sin012nnnnxx;)!2()1(cos02nnnnxx;)(110nnxxx(1,1).x(1,1].x(,+).1几何级数2345三、常用已知和函数的幂级数x(,+).x(,+).12