概率统计在日常生活中的简单应用

概率统计在日常生活中的简单应用摘要:概率统计是研究随机现象统计规律的科学，是近代数学的一个重要组成部分。本文通过生活中几个典型的实例介绍了概率统计在渔业，保险业，医学诊断，彩票，工业生产等中的具体应用。从中我们可以看出，概率统计在日常生活中有着广泛应用，以及概率统计思想在解决实际问题时所具有的简洁性和实用性。关键词：贝叶斯公式；泊松定理；中心极限定理；极大似然法。导语：概率统计是在一定的社会条件下,通过人类的社会实践和生产活动发展起来的,被广泛应用于各个领域,在国民经济的生产和生活中起着重要的作用。在日常生活中,同样不难发现,周围的许多事物都和概率统计有着千丝万缕的联系,下面文章以现实生活中的具体事例阐述了概率统计的广泛应用。1概率统计在彩票中的应用：例1目前在我国发行着各种彩票，买一张彩票就有可能中几百万乃至几千万的巨额奖金，是很多人都乐于参与的事。但是中奖的机会有多大呢？下面就以某市发行的彩票为例进行讨论。其游戏方案是：号码总数为36（01—36），先从36个号码中选出6个基本号码，再从剩下的30个号码中选出一个特别号码，用选出的这7个号码组成一注，根据单注号码与中奖号码相符个数多少确定相应的中奖等级，不考虑号码顺序。各等级奖设置如下：一等奖：选7中7,二等奖：选7中6三等奖：选7中5+1,四等奖：选7中5五等奖：选7中4+1,六等奖：选7中4七等奖：选7中3+1.以下将计算每个中奖等级的中奖概率。（以一注为单位）：基本事件数：先从36个数中任取6个构成基本号码，不考虑顺序，共有636C种取法；再从剩下的30个号码中选出一个特别号码，有130C种取法。故基本事件数：613630NCC一等奖：7个号码全中，只有一种可能，故有利事件数11n因此中一等奖概率：16136308101211.71PCC。二等奖：6个基本号全中，一个特殊号未中，故有利事件数612629nCC因此中二等奖概率：6177629236613630/4.962710CCPCCC。三等奖：六个基本号全中，特别号中了，故有利事件数51136291nCCC因此中三等奖概率：5116629136136302.926110CCCPCC。四等奖：六个基本号中5个，特别号未中，故有利事件数524629nCC因此中三等奖概率：52562946136304.161110CCPCC。五等奖：六个基本号中四个，特别号中了，故有利事件数42156291nCCC因此中五等奖概率：4214629156136301.024110CCCPCC。六等奖：六个基本号中四个，特别号未中，故有利事件数436629nCC因此中六等奖概率：43462966136309.379910CCPCC。七等奖：六个基本号中三个，特别号中了，故有利事件数33176291nCCC因此中六等奖概率：3313629176136301.250610CCCPCC。通过计算可以发现：中头等奖的概率仅有千万分之一，可以说中头等奖的概率小之又小。2概率统计在工业生产中的应用：工厂中往往有多条生产线，不论那一项环节出现问题，工厂的生产都会受到影响，使工厂蒙受损失，为了尽可能避免问题，减少损失，我们可以利用概率统计中的知识计算出每条生产线的产品和格率，或者在已知故障发生率的情况下，追究不同生产线应承担的责任。在此基础上合理全面的解决问题，本文将以此为例进行讨。例2某厂有四个生产车间生产同一种产品，其产量分别占总产量的0.15、0.2、0.3、0.35，各车间的次品率分别为0.05、0.04、0.03、0.02,。有一户买了该厂一件产品，经检查是次品，用户按规定进行了索赔。厂长要追究生产车间的责任，但是该产品是哪个车间的生产的标志已经脱落，那么厂长该如何追究生产车间责任？解：因为不能确定该产品是哪个车间的生产的，因此每个车间都应该负有责任。且各生产车间应负的责任与该产品是各个车间生产的概率成正比。设：以下事件分别表示jjA“该产品是车间生产的”，j=1,2,3,4B“从该厂的产品任取一件恰好是次品”。则第j个车间所负的大小表示为条件概率：jPAB，j=1,2,3,4有贝叶斯公式可得：41()()jjjjiiPAPBAPABPAPBA，j=1,2,3,4代入数据可得：10.15PA，20.2PA，30.3PA，40.35PA10.05PBA，20.04PBA，30.03PBA，40.02PBA所以：10.150.05/0.03150.238PAB，20.150.04/0.03150.254PAB，30.30.03/0.03150.286PAB，40.350.02/0.03150.222PAB。根据以上计算可得出：1、2、3、4车间所负责任的比例分别为0.238、0.254、0.286、0.222。3概率统计在医学诊断中的应用：癌症目前仍是医学界的不治之症，生活中几乎人人谈“癌”色变。下面文章就以肝癌为例，对医院里广泛使用的甲胎蛋白肝癌检测法进行讨论，让大家对肝癌有进一步了解。例3用甲胎蛋白法普查肝癌。令C={被检查者患肝癌}A={甲胎蛋白检验结果为阳性}则C={被检验者未患肝癌}A={甲胎蛋白检验结果为阴性}由过去的资料已知0.95PAC0.90PAC又已知某地居民的肝癌发病率为P(C)=0.0004。在普查中查出一批甲胎蛋白检验结果为阳性的人，求这批人中真患有肝癌的概率PCA。解：由贝叶斯公式可得()0.00040.950.00380.00040.0950.9960.1()()PAPACPCAPCPACPCPAC由此可知，经甲胎蛋白检验法检验为阳性的人群众中其中真正患有肝癌的人还是很少的（仅占0.38%）。因此要从甲胎蛋白检验结果为阳性的，来判断该人是否患肝癌的准确性还是很低的，仅为0.0038。因而为了提高检查的准确性，医生通常还需要采取其他必要的辅助方法进行检查。4概率统计在保险业中的应用：近年来，保险业不断蓬勃发展，各保险公司抓住商机，竞相开拓业务，不断推出各种类型的保险。为了吸引更多的参保者，增强公司竞争力，怎样合理设定参保金额以及赔偿金额，就成了企业决策者的核心。每一比业务都是有一定风险的，那么保险公司应该怎样规避风险增大收益，减少损失呢？下文就以某保险公司推出的人寿保险为例进行讨论。例4有2500个同一年龄段同一阶层的参加某保险公司的人寿保险。根据以前的统计资料，在一年里每个人死亡的概率为0.0001。每个参加保险的人1年付给保险公司120元保险费，而在死亡时其家属可以得到保险公司20000元的赔偿金，求（不计利息）下列事件的概率：（1）保险公司亏本的概率；（2）为了增强公司竞争力，更多吸引参保者，该公司将保险费降至20元，在死亡率与赔偿费不变的情况下，保险公司至少需要吸引多少参保者才能以不小于0.99的概率不亏本？解：（1）设X表示一年内死亡人数。则随机变量X服从二项分布：(2500,0.0001)XB故一年中有k个人死亡的概率为：()PXk25002500(0.0001)(0.999)kkkC0,1,2,...,2500k当保险公司亏本时，保险公司的赔偿金额大于其参保人保险费的收益额；即200002500120k，解得：15k。由泊松定理可知：25002500(0.0001)(0.999)!kkkkeC其中0.25np经计算：(7)0.000001PX而(15)(7)0.000001PXPX由计算可已看出，一年内2500名参保人中有7人死亡的概率仅为百万分之一，而当保险公司亏本时至少死亡16人，因此在这种情况下保险公司亏本的概率小于百万分之一，即保险公司几乎不可能亏本。（2）设参保人数为N。保险公司不亏本即：20000X20N。所以保险公司不亏本的概率为：(2000020)PXN(2000020)()1000NPXNPX有中心极限定理可知：1000()()1000NNPX其中0.25，0.5当保险公司不亏本的概率大于0.99时，即1000()()0.991000NNPX解得N=1415。根据以上计算可得当保险费降至20元时，保险公司只需吸引1415名参保者就能以不小于0.99的概率保证不亏本。5概率统计在渔业中的应用：在渔业生产中，怎样快速准确的估计渔业的产量及其产值，这是为广大渔民朋友所困扰的问题，为了找到一种简单有效的估计方法，本文就以此为例进如下行讨论论。例5为估计某湖中鱼量总数N，同时自湖中捕出r条鱼，做上记号后又放回湖中，一段时间后再自湖中捕出s条鱼，结果发现k条标有记号，根据此信息估计N的值。解:由题意可知捕捞到湖中带有标记的鱼的概率为rNp设X表示第二次捕出的s条鱼中带有标记的鱼的个数。则随机变量X服从超几何分布：(,)(1)kskfXppp所以第二次捕出的s条鱼中带有标记的鱼的概率为：()(1)kskPXkpp令似然函数：()(1)kskLppp则由极大似然原理可知：可以选用使似然函数()Lp取得极大值时的maxp作为p的估计值。当似然函数()Lp取得极大值时解得：1kskpp故maxkpsmaxkpps即rkNs由此解得N的值：rsNk根据以上计算公式带入数据就可得湖中鱼总数的近似值为'rsNk。(rsk的值取整)结束语：由于时间、篇幅所限，上面只是列举了概率统计在实际问题中应用的几个例子，仅仅展现了其广泛应用的冰山一角。然而，作为一门独立的学科，概率统计的足迹可以说已经深入到每一个领域，它在实际问题的应用随处可见。诸如方差分析、回归分析等内容在医学，军事等领域都正在挥它的巨大作用。概率统计是一门相当有趣的数学分支学科，随着科学技术的发与计算机的普及，由于现实社会中大量随机现象和概率事件的存在，概率统计思想必然会发挥其越来越重要的作用，成为研究自然科学，社会现象，处理工程和公共事业的有力工具。参考文献:[1]孙荣桓.趣味随机问题.北京：科学技术出版社，2004.[2]魏宗舒.概率论与数理统计教程.北京：高等教育出版社，2008.4.