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概率统计第一章随机事件与概率频率概率等概完备事件组事件的运算事件的互不相容性概率的加法公式条件概率概率的乘法公式事件的独立性全概公式逆概公式独立试验序列概型第二章随机变量与概率分布随机变量一、离散型随机变量的概率分布概率分布常用的离散型随机变量的概率分布二、连续型随机变量概率密度函数常见概率密度函数分布函数随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布第三章随机变量的数字特征随机变量的期望离散型随机变量的期望几个常用分布的期望连续型随机变量的期望几个常用分布的期望期望的简单性质随机变量函数的期望公式随机变量的方差统一定义离散型随机变量的方差连续型随机变量的方差常用分布的方差方差的简单性质概率统计切比雪夫不等式第四章随机向量(二维)随机向量的联合分布与边缘分布离散型随机向量边缘分布与联合分布的关系连续型随机向量边缘分布密度随机变量的独立性二维正态分布二维随机向量的分布函数定义：频率具有稳定性的事件叫作随机事件，频率的稳定值叫作该随机事件的概率。随机事件在条件下发生的概率为，记作定义：称一个事件组为一个等概完备事件组，如果它具有下列三条性质：1.等可能性：发生的机会相同2.完备性：在人一次试验中，至少有一个发生（也就是所谓的“除此之外，不可能有别的结果”）3.互不相容性：在任一次试验中，之多有一个发生（也就是所谓“他们是互相排斥的”）等概完备事件组又称等概基本事件组，其中的任意事件称为基本事件。对于只满足条件2、3的事件组，称为完备事件组。1.必然事件表示为，不可能事件表示为2.包含：如果事件发生，那么必发生，就成事件包含事件，记作第一章随机事件与概率频率频率=频数试验次数概率ASpP(A)=p等概完备事件组,,,⋯,A1A2A3An,,,⋯,A1A2A3An,,,⋯,A1A2A3An,,,⋯,A1A2A3An(i=1,2,⋯,n)Ai事件的运算UVABBAA⊂B3.相等：如果事件包含事件，同时事件包含事件，那么就称事件与相等，或称等价，记作4.并：事件“或”称为事件与事件的并，记作5.交：事件“且”称为事件和事件的交，记作6.对立事件：事件“非”称为的对立事件，记作，有7.事件的差：事件同的差表示发生而不发生的事件，记作，由定义可知如果事件与事件不能都发生，即那么，称与是互不相容事件。如果事件，互不相容，则如果，是条件下的两个随机事件，，则称在发生的前提下发生的概率为条件概率，记作进一步地，A⊂BABBAABA=BABABA∪B或A+BABABA∩B或AB或A⋅BAAA¯¯¯¯A∩=VA¯¯¯¯A∪=UA¯¯¯¯ABABA∖BA∖B=A∩B¯¯¯¯事件的互不相容性ABAB=V(不可能事件)AB概率的加法公式ABP(A∪B)=P(A)+P(B)条件概率ABSP(A)≠0ABP(B|A)概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)事件的独立性事件的发生并不影响事件的发生，即称两个事件，是相互独立的，如果设事件组为完备事件组，则对任意一个事件有考虑时的简化情况，有设事件组为完备事件组，则对任意一个事件有逆概公式也称为贝叶斯公式，本质上是乘法公式与全概公式的结合，即设每次射击打中目标的概率为，连续射击次，求恰好打中次的概率。计算公式：设单次试验中，事件发生的概率为，则在次重复实验中，定义：对于条件组下的每一个可能结果都唯一的对应到一个实数值，则称实值变量为一个随机变量，简记为。ABP(B|A)=P(B)ABP(AB)=P(A)P(B)全概公式,,,⋯,A1A2A3AnBP(B)=P(B|)P()∑i=1nAiAii=2P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()A¯¯¯¯A¯¯¯¯逆概公式,,,⋯,A1A2A3AnBP(|B)=(j=1,⋯,n)AjP(B|)P()AjAjP(B|)P()∑ni=1AiAiP(|B)==(j=1,⋯,n)AjP(B)AjP(B)P(B|)P()AjAjP(B|)P()∑ni=1AiAi独立试验序列概型pnkAp(0p1)nP(A发生k次)=(q=1−p)(k=0,1,2,⋯,n)Cknpkqn−k第二章随机变量与概率分布随机变量SωX(ω)X(ω)X随机变量分为离散型随机变量和连续型随机变量。举个例子：设盒中有5个球，其中2个白球、3个黑球，从中随便取3个球。则“抽得的白球数”是一个随机变量。将随机变量的所有可能取值到其相应概率的映射称为的概率分布，记为1.两点分布随机变量仅取两个值：0或1，即2.二项分布随机变量满足二项分布可简记为：3.泊松分布泊松分布是二项分布当时的极限4.超几何分布举个例子：设一堆同类产品共个，其中有个次品。现从中任取个（假定），则这个样品中所含次品个数是一个离散型随机变量，其概率分布为超几何分布。X一、离散型随机变量的概率分布概率分布XX=P{X=}(k=1,2,⋯)pkxk常用的离散型随机变量的概率分布XP{X=1}=p(0p1)P{X=0}=q=1−pP{X=k}=(k=0,1,2,⋯,n)(0p1)CknPkqn−kXX∼B(n,p)P{X=k}=(k=0,1,2,⋯,n)λkk!e−λnp=λlimn→∞P{X=m}=(m=0,1,2,⋯,l)其中,l=min(M,n)CmMCn−mN−MCnNNMnn≤N−MnX二、连续型随机变量定义：对于随机变量，如果存在非负可积函数，使对任意的都有则称为连续性随机变量；称为的概率密度函数，简称概率密度或密度。与离散型随机变量类比：将离散型随机变量的离散值无限细分，则的概率分布将变为概率密度函数。显然，概率密度函数满足以下两条性质：1.对任何实数，有1.均匀分布如果随机变量的概率密度为则称服从区间上的均匀分布2.指数分布3.正态分布变量服从正态分布可简记为标准正态分布：参数时的正态分布，即。它的密度函数为一个重要的积分：概率密度函数Xp(x)(−∞x∞)a,b(ab)P{aXb}=p(x)dx∫baXp(x)XXXaP{X=a}=02.p(x)dx=1∫∞−∞常见概率密度函数Xp(x)={(ab)λ当a≤x≤b0其他X[a,b]p(x)={(λ0)λe−λx0当x≥0当x0p(x)=(−∞x∞)(σ0)1σ2π−−√e−(x−μ12σ2)2XN(μ,)σ2X∼N(μ,)σ2μ=0,σ=1N(0,1)p(x)=12π−−√e−x22∫∞12通过正态分布的密度函数求某个区间的概率时，需要计算密度函数的积分，这种计算非常复杂，因此我们通过已经计算好数值的函数来帮助求解：那么对于标准正态分布，有对于一般正态分布，常常使用变量替换法将其转化为标准正态分布，即令这时，。这样，对于一般正态分布也能轻易地计算其积分了4.分布其中变量服从分布可简记为5.韦布尔分布定义：设是一随机变量（可以是连续型的，也可以是离散型的，甚至更一般的），称函数为的分布函数。连续型随机变量的分布函数事实上是其概率密度函数在区间上的不定上限积分。dx=1∫∞−∞12π−−√e−x22ΦΦ(x)=dt∫x−∞12π−−√e−t22P{aXb}=Φ(b)−Φ(a)N(μ,)σ2t=x−μσX∼N(μ,σ)→T∼N(0,1)Γp(x)={(α0,β0)βαΓ(α)xα−1e−βx0x0x≤0Γ(α)=dx∫∞0xα−1e−xXΓX∼Γ(α,β)p(x)={mxm−1ηme−(xη)m0x0x≤0分布函数XF(x)=P(X≤x)(−∞x+∞)X(−∞,x)随机变量函数：设是一个函数，所谓随机变量的函数就是这样一个随机变量：当取时，它取值。记作举个例子：设是分子的速率，而是分子的动能，则是的函数：（是分子质量）我们的目的是，根据已知的的分布来寻求的分布。假设离散型随机变量有如下关系：。要得到，只需求出时对应的（可能有0个或多个对应值），将这些对应的概率相加即可。分布函数法：已知的分布，通过建立与的分布函数之间的关系来求得的分布。举个例子：已知，求的概率密度。解：设的分布函数为，于是其中为的分布函数。那么，我们有将上式两边对求微商，利用密度函数是分布函数的导数的关系，我们得到再将代入，有随机变量函数的分布f(x)Xf(X)YXxy=f(x)Y=f(X)XYYXY=m12X2mXY=f(X)离散型随机变量函数的分布X,YY=f(X)P{Y=}yiY=yixixi连续型随机变量函数的分布XYXYX∼N(μ,)σ2Y=X−μσY(y)FY(y)FY=P(Y≤y)(根据分布函数的定义)=P(≤y)(因为Y=)X−μσX−μσ=P(X≤σy+μ)(不等式变形)=(σy+μ)(根据分布函数的定义)FX(x)FXX(y)=(σy+μ)FYFXy(y)=(σy+μ)σpYpX(x)=pX1σ2π−−√e−(x−μ12σ2)2(y)=pY12π−−√e−x22这表明。随机变量的期望是一个实数，它形式上是所有可能取值的加权平均，代表了随机变量的平均值。因此，也称期望为均值或分布的均值。1.两点分布2.二项分布3.泊松分布4.超几何分布定义：设连续型随机变量的密度函数为，称Y∼N(0,1)第三章随机变量的数字特征随机变量的期望E(X)XX离散型随机变量的期望E(X)=(=++⋯++⋯)∑kxkpkx1p1x2p2xkpk几个常用分布的期望E(X)=1⋅p+0⋅q=pE(X)=k=np∑k=1nCknpkqn−kE(X)=k⋅∑k=0∞λkk!e−λ=λ(令m=k−1)e−λ∑m=0∞λmm!=λ(根据泊松分布的密度之和为1)e−λeλ=λE(X)=nMN连续型随机变量的期望Xp(x)∫+∞为的期望（或均值），记作。本定义要求收敛在定性认识上，均值就是密度函数横坐标的中间值1.均匀分布2.指数分布3.正态分布证明略。正态分布密度函数以为对称轴，这就是其含义所在。xp(x)dx∫+∞−∞XE(X)|x|p(x)dx∫+∞−∞几个常用分布的期望E(X)=(b+a)12E(X)=xp(x)dx∫+∞−∞=λxdx∫+∞0e−λx=tdt(令t=λx)1λ∫+∞0e−t=−td1λ∫+∞0e−t=−[(t)−dt]1λe−t∣∣∣+∞0∫+∞0e−t=1λE(X)=μx=μ期望的简单性质E(c)=c;E(kX)=kE(X);E(X+b)=E(X)+b;E(kX+b)=kE(X)+b;随机变量函数的期望公式对于离散型随机变量对于连续型随机变量求随机变量函数的期望有如下两种方法：1.利用上述随机变量函数的期望公式直接求解；2.首先通过的分布推出的分布，然后通过期望的定义求出的期望。一般来说，第一种方法较为简单，是我们的首选方法。这表明的方差，就是的均值（其中为的均值，即）定性认识，越小，则取值越集中在附近。方差刻画了随机变量取值的分散程度。方差简化计算公式：推导如下：E[f(X)]=f()∑ixipiE[f(X)]=f(x)p(x)dx∫+∞−∞Xf(X)f(X)随机变量的方差统一定义D(X)=E([X−E(X))]2XD=(X−c)2cXc=E(X)D(X)XE(X)D(X)=E()−(X)X2E2D(X)=[x−E(X)p(x)dx∫+∞−∞]2=[−2xE(X)+(X)]p(x)dx∫+∞−∞x2E2=p(x)dx−2E(X)xp(x)dx+(X)p(x)dx∫+∞−∞x2∫+∞−∞E2∫+∞−∞=E()−2E(X)⋅E(X)+(X)⋅1X2E2=E()−(X)X2E2离散型随机变量的方差定义：设离散型随机变量的概率分布为则称和数为的方差，记作。定义：设连续型随机变量的密度为，则称为的方差，记作。1.两点分布2.二项分布证明略。3.泊松分布已知，则P(X=)=,k=1,2,⋯xkPk[−E(X)∑kxk]2pkXD(X)连续型随机变量的方差p(x)[x−E(X)p(x)dx∫+∞−∞]2XD(X)常用分布的方差D(X)=E()−(X)X2E2=(⋅p+⋅q)−1202p2=pqD(X)=npqE(X)=λE()X2=⋅∑k=0∞K2λkk!e−λ=(k−1+1)∑k=1∞λk(k−