概率统计第二章作业答案

1解X;21XY二、1.设随机变量服从二项分布B（3，0.4），（2）233XXY（1）求下列随机变量函数的概率分布：iiiCiXPX336.04.0)(的概率分布为3,2,1,0iX)(ixP10216.0432.0064.032288.021XY（1）1Y)(jyP10216.0432.0064.094288.03Y)(jyP1072.028.0（2）233XXY概率论与数理统计作业6（§2.8～§2.11）2二、2.设随机变量X的概率密度为000122xxxxf当当求随机变量函数XYln的概率密度。解)(ln)()(yXPyYPyFYyY的分布函数，随机变量对于任意的实数)(yeXPyedxxf0)(的概率密度为随机变量函数YyyYYeefyFyf)()(122yyeeRy或是单增函数，xyln其反函数为.yex.yex的概率密度为YyyYeefyf)()(122yyee3二、3.设随机变量X服从[0，2]上的均匀分布，求在(0,4)内的概率密度函数。2XY解,,的分布函数随机变量对于任意的实数YyyYPyFYyXP2,,X20的取值区间是因为.,Y40的取值区间是所以;0)(,0)1(yFyY时当;)y(F,yY142时当,y时当403yXyPyXPyFY2dxxfyyX221000-ydxdxyy4的分布函数所以，随机变量Y.y,;y,y;y,)y(FY4140200上式两边对y求导数，即得Y的概率密度.,;y,y)y(fY其它040415二、4一批产品中有a件合格品与b件次品，每次从这批产品中任取一件，取两次，方式为：（1）放回抽样；（2）不放回抽样。设随机变量X及Y写出上述两种情况下二维随机变量(X,Y)的概率分布及边缘分布分别表示第一次及第二次取出的次品数，并说明X与Y是否独立。（1）放回抽样解1122)(baaji00XY2)(baab)(baa)(bab)(baa)(bab2)(baab22)(bab11)1)(()1(babaaaji00XY)1)((babaab)(baa)(bab)(baa)(bab)1)((babaab)1)(()1(bababb（2）不放回抽样X与Y相互独立.X与Y不独立.01,jipppjiij01,jipppjiij6二、5.把三个球随机地投入三个盒子中，每个球投入盒子的可能性是相同的。设随机变量X及Y分别表示投入第一个及第二个盒子球的个数，求(X,Y)的概率分布及边缘分布解)3.3,2,1,0,(3),(333jijiCCjYiXPjii271273ji27327127827127327327327627300000027827122712276276271271XY11220033由此得(X,Y)的二维概率分布如下：7二、6.随机地掷一颗骰子两次，设随机变量X表示第一次出现的点数,Y表示两次出现的点数的最大值，求(X,Y)的概率分布及Y的边缘分布。解即jijijiijijYiXP.6,,2,1,,36,361,X，Y的所有可能的取值为1，2，…，6.（ii）当ji时，36,,12ijXiXPjYiXPij3616161（i）当ji时，jXiXPjYiXP2,,)()(2jXPiXPX2表示第二次出现的点数,8YX1234561234561/360000000000000001/361/361/361/361/362/361/361/361/361/361/361/363/361/361/364/361/361/365/366/36Y的边缘分布为：YjyP2134563611213653674136119二、7.设二维随机变量（X,Y）在矩形域dycbxa,上服从均匀分布，求（X,Y）的概率密度及边缘概率密度。X与Y是否独立？解（X,Y）的概率密度其它dycbxacdabyxf,0))((1),(X边缘概率密度dyyxfxfX),()(其它bxaab01Y边缘概率密度dxyxfyfY),()(其它dyccd01故X与Y是相互独立。),y(f)x(fy,xfYX因10二、8.设二维随机变量（X,Y）在联合分布列为21321619118131YX试问为何值时，X,Y才能独立？，911819161219121YXpp)Y,X(P解18118191613118131YXpp)Y,X(P解得.,9192要使X,Y独立需满足11二、9：设(X,Y）的分布函数为：)3arctan)(2arctan(),(yCxBAyxF（1）确定常数A,B,C；（2）求(X,Y）的概率密度；（3）求边缘分布函数及边缘概率密度。X、Y是否独立？解0)2)(2arctan(),(CxBAxF0)3arctan)(2(),(yCBAyF对任意的x与y，有,2,12CBA（1）1)2)(2(),(CBAF)0(A12)3arctan2)(2arctan2(1),(2yxyxF（2）),(),(yxFyxfyx2293)2arctan2(1yxdxd22293421yxxFX),(xF)2arctan2(1xyFY),(yF)3arctan2(1y)(xfXxFX)4(22x)(yfYyFY)9(32yX与Y的边缘密度函数为：X的边缘分布：（3）Y的边缘分布函数为：∴X与Y是相互独立的。).()(),(yfxfyxfYX13二、10.设(X,Y）的密度函数为：.yx.;y,xAe)yx(0000032或当当，),(yxf求：（1）常数A；（4）求(X,Y)落在区域R：（2）分布函数F(x,y)；解dxdyyxf),(（1）00)32(dxdyAeyx0302dyedxeAyx13121A6A（2）632,0,0yxyx内的概率。（3）边缘密度函数；时，且当yx00yxvududveyxF00)32(6),()1)(1(32yxeeyvxudvedue03026时，或当00yx显然，F(x,y)=014（3）dyyxfxfX),()(xyxedye20)32(26时，当x0时，当0x;0)(xfX0,00,2)(2xxexfxX同理：0,00,3)(3yyeyfyY15xyxR322030:303220)32(6xyxdydxeP202330)32(6yyxdxedy（4）所求的概率为：RyxdxdyyxfP,),(yx632yx3220633)1(3dyeeyy2063)(3dyeey983.06)1(66ee632),(yxdxdyyxf16概率论与数理统计作业7（§2.12）1.一个商店每星期四进货,以备星期五、六、日3天销售,根据多周统计,这3天销售件数彼此独立,且有如下表所示分布:321X,X,X0.10.70.2P1211101X0.10.60.3P1514132X0.10.80.1P1918173X问三天销售总量这个随机变量可以取那些值？如果进货45件，不够卖的概率是多少？如果进货40件，够卖的概率是多少？31iiXY17解：Y可以取40,41,42,43,44,45,46.进货45件，不够卖的概率为;.XPXPXP0010191512321进货40件，够卖的概率是..XPXPXP00601713103212.袋中装有标上号码1，2，2的3个球，从中任取一个并且不再放回，然后再从袋中任取一球，以X,Y分别记为第一次，二次取到球上的号码数，求X+Y的概率分布律。XY11220313131YXP332314解：183.(X,Y)只取下列数组中的值且相应的概率依次为列出(X,Y)的概率分布表，并求出X-Y的分布律。023111100,,,,,,,，，，，1251213161解：3161311211250020-100010YX193161311211250020-100010YXYXZ具有可能值：显然，23510311342，，，,,,,31P20-2X-Y3412112561204.设随机变量X与Y独立，且X在区间[0,1]内服从均匀分布：10,010,1xxxxfX或Y在区间2,0内服从辛普生分布：20,021,210,yyyyyyyfY或求随机变量YXZ的概率密度.解dxxzfY10dttfzzYxzt1zfZdxxzxf,dxxzfxfyX21012z1z20021210yyyyyyyfY或dttfzzY1(1)当z0时,0zfZ0z121z(2)当时,10zdttdtzz001022zzfZ0z121z(3)当时,21zdttdttzz111)2(2332zzzfZ22zfZ的概率密度为Z,0其它zfZ;10z21z(4)当时,32zdtdttzz2210)2(29322zz(5)当z3时,0zfZ,22z,2332zz32z,29322zz0z121z0121z20021210yyyyyyyfY或23的概率密度为Z,0其它zfZ;10z21z,22z,2332zz32z,29322zz24ijLL11L13L21L12L22L235.电子仪器由六个相互独立的部件)3,2,1;2,1(ji如图，设各个部件的使用寿命ijX服从相同的指数分布e求仪器使用寿命的概率密度。组成，解各部件的使用寿命3,2,1,2,1,jiXij的分布函数0,00,1)(xxexFxij先求三个并联组的寿命3,2,1,iYi的分布函数),(max21iiiXXYiY的分布函数0,00)1()(2yyeyFyi25再求仪器使用寿命Z的分布函数,),,min(321YYYZZ的分布函数0,00,])1(1[1)(32zzezFzZ进而0,00,)2)(1(6)(23zzeeezfzzzZ