高中数学 导数的应用(文)

导数的应用举例1解:(1)由已知f(x)=3x2-x-2,(2)命题等价于f(x)在[-1,2]上的最大值小于m.单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞).23设f(x)=x3-x2-2x+5.(1)求函数f(x)的单调递增、递减区间;(2)当x[-1,2]时,f(x)m恒成立,求实数m的取值范围.12令f(x)0得-x1;23令f(x)0得x-或x1.23∴y=f(x)的单调递减区间是(-,1);2323令f(x)=0得x=-或1.12f(1)=3,f(2)=7,∵f(-1)=5,12f(-)=5,232722∴f(x)在[-1,2]上的最大值为7.∴7m.故实数m的取值范围是(7,+∞).导数的应用举例3设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若当x[a+1,a+2]时,恒有|f(x)|≤a,试确定a的取值范围.13解:(1)由已知f(x)=-x2+4ax-3a2,∵0a1,∴a3a.令f(x)=0得x=a或x=3a.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,a)a(a,3a)3a(3a,+∞)f(x)-0+0-f(x)极小值极大值由上表可知,f(x)的单调递增区间是(a,3a),单调递减区间是(-∞,a)和(3a,+∞).当x=a时,f(x)取极小值f(a)=-a3+b;43当x=3a时,f(x)取极大值f(3a)=b.导数的应用举例3设函数f(x)=-x3+2ax2-3a2x+b,0a1.(1)求函数f(x)的单调区间、极值;(2)若当x[a+1,a+2]时,恒有|f(x)|≤a,试确定a的取值范围.13解:(2)∵0a1,∴2aa+1.∴f(x)max=f(a+1)=2a-1,∴f(x)=-x2+4ax-3a2在[a+1,a+2]上为减函数.f(x)min=f(a+2)=4a-4.∵当x[a+1,a+2]时,恒有|f(x)|≤a,即-a≤f(x)≤a恒成立.∴4a-4≥-a且2a-1≤a.解得≤a≤1.45又0a1,故a的取值范围是[,1).45已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,曲线y=f(x)过原点和点P(-1,2).若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2m-1,m+1]递增,求m的取值范围.导数的应用举例14解:(1)∵曲线y=f(x)=ax3+bx2+cx+d过原点,∴f(0)=0d=0.∴f(x)=ax3+bx2+cx,f(x)=3ax2+2bx+c.∵函数f(x)=ax3+bx2+cx在x=0处取得极值,∴f(0)=0c=0.∵过点P(-1,2)的切线斜率为f(-1)=3a-2b,而曲线f(x)在点P的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角,解得f(-1)=-3.又f(-1)=2,∴||=1且f(-1)0.2-f(-1)1+2f(-1)∴3a-2b=-3且-a+b=2.解得a=1,b=3.∴f(x)=x3+3x2.已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d在x=0处取得极值,曲线y=f(x)过原点和点P(-1,2).若曲线f(x)在点P处的切线与直线y=2x的夹角为45,且倾角为钝角.(1)求f(x)的解析式;(2)若f(x)在区间[2m-1,m+1]递增,求m的取值范围.导数的应用举例14解:(2)由(1)知f(x)=3x2+6x.又由f(x)0x-2或x0,∴f(x)的单调递增区间为(-∞,-2]和[0,+∞).∵函数f(x)在区间[2m-1,m+1]递增,∴2m-1m+1≤-2或m+12m-1≥0.∴[2m-1,m+1](-∞,-2]或[2m-1,m+1][0,+∞).解得m≤-3或≤m2.12即m的取值范围是(-∞,-3]∪[,2).12导数的应用举例5已知函数f(x)=x3-ax2-3x.(1)若f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围;(2)若x=-是f(x)的极值点,求f(x)在[1,a]上的最大值;(3)在(2)的条件下,是否存在实数b,使得函数g(x)=bx的图象与函数f(x)的图象恰有三个交点,若存在,求出实数b的取值范围;若不存在,请说明理由.13解:(1)由已知f(x)=3x2-2ax-3.∵f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,∴在[1,+∞)上恒有f(x)≥0,即3x2-2ax-3≥0在[1,+∞)上恒成立.则必有≤1且f(1)=-2a≥0.a3解得a≤0.故实数a的取值范围是(-∞,0].由于f(0)=-30,∴f(x)=3x2-8x-3.在[1,4]上,当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:∴f(x)在[1,4]上的最大值是f(1)=-6.(3)函数g(x)与f(x)的图象恰有三个交点,即方程x3-4x2-3x=bx恰有三个不等实根.(2)由题设f(-)=0,即+a-3=0.131323解得a=4.令f(x)=0得x=-或3.13x1(1,3)3(3,4)4f(x)-0+f(x)-6-18-12∵x=0是方程的一个根,∴方程x2-4x-3=b即x2-4x-(3+b)=0有两个非零不等实根.∴△=16+4(3+b)0且3+b0.解得b-7且b-3.故实数b的取值范围是(-7,-3)∪(-3,+∞).导数的应用举例6已知函数f(x)=x3-3ax2+2bx在点x=1处有极小值-1,试确定a,b的值,并求出f(x)的单调区间.解:由已知可得:-1=f(1)=1-3a+2b,即3a-2b=2.①又f(x)=3x2-6ax+2b,0=f(1)=3-6a+2b,即6a-2b=3.②∴f(x)=3x2-2x-1.由①,②解得a=,b=-.1213由f(x)=0得,x=1或-.13∴当x-或x1时,有f(x)0;13当-x1时,有f(x)0.13故f(x)的单调递增区间是(-∞,-)和(1,+∞);1313f(x)的单调递减区间是(-,1).导数的应用举例17解:(1)∵f[f(x)]=f(x2+c)=(x2+c)2+c,f(x2+1)=(x2+1)2+c.(2)(x)=g(x)-f(x)=x4+2x2+2-(x2+1)∴由f[f(x)]=f(x2+1)得,c=1.已知f(x)=x2+c,且f[f(x)]=f(x2+1).(1)设g(x)=f[f(x)],求g(x);(2)设(x)=g(x)-f(x),试问:是否存在实数,使(x)在(-∞,-1)内为减函数,且在(-1,0)内是增函数.∴f(x)=x2+1,g(x)=(x2+1)2+1=x4+2x2+2.=x4+(2-)x2+2-.∴(x)=4x3+2(2-)x=2x(2x2+2-).∵(x)在(-∞,-1)内为减函数,∴(x)0在(-∞,-1)内恒成立.即2x2+2-0在(-∞,-1)内恒成立.∴-22x2在(-∞,-1)内恒成立.∵当x(-∞,-1)时,2x22(-1)2=2,∴-2≤2.∴≤4.①又∵(x)在(-1,0)内为增函数,∴(x)0在(-1,0)内恒成立.即2x2+2-0在(-1,0)内恒成立.∴-22x2在(-1,0)内恒成立.∵当x(-1,0)时,2x22(-1)2=2,∴-2≥2.∴≥4.②由①,②知=4.故存在实数,其值为4,使(x)满足题设条件.导数的应用举例8已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由;(2)若函数f(x)在[0,2]上是增函数,x=2是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)≤-2;(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.(1)解:当a=1时,令x=-1得f(-1)=1+1+b=2+bb,∴点(-1,2+b)在函数图象上,且在直线y=b的上方.∴函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.另解:当a=1时,f(x)=-x3+x2+b,f(x)=-3x2+2x.令f(x)=0得x1=0,x2=.23而f()=-++b=+bb,2349274278∴函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方.∴点(,+b)在函数图象上,且在直线y=b的上方.23274导数的应用举例8已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(1)若a=1,函数f(x)的图象能否总在直线y=b的下方?说明理由;(2)若函数f(x)在[0,2]上是增函数,x=2是方程f(x)=0的一个根,求证:f(1)≤-2;(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.(2)证:∵x=2是方程f(x)=0的一个根,∴f(2)=0即-8+4a+b=0b=8-4a.又f(x)=-3x2+2ax,令f(x)=0得x1=0,x2=a.23∵函数f(x)在[0,2]上是增函数,∴a≥2.23∴a≥3.∴f(1)=-1+a+b=7-3a≤-2,即f(1)≤-2.导数的应用举例8已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.(3)解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,x1x2.∵曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,∵x1x2,亦即1恒成立.-(x1-x2)(x12+x1x2+x22)+a(x1-x2)(x1+x2)x1-x2∴1,y1-y2x1-x2-x13+ax12+b-(-x23+ax22+b)x1-x2即1,∴x1x21+(x1+x2)2-a(x1+x2)恒成立.而x1x2(x1+x2)2恒成立,14∴1+(x1+x2)2-a(x1+x2)≥(x1+x2)2恒成立.14∴(x1+x2)2-a(x1+x2)+1≥0恒成立.34∴a2-3≤0.∴-3≤a≤3.导数的应用举例8已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,bR).(3)若曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,求a的取值范围.另解:设P(x1,y1),Q(x2,y2)为曲线y=f(x)上任两点,不妨x1x2.∵曲线f(x)上任意不同两点的连线的斜率小于1,∵x1x2,∴1,y1-y2x1-x2∴x1-x20.∴y1-y2x1-x2.即f(x1)-f(x2)x1-x2.∴f(x1)-x1f(x2)-x2.记g(x)=f(x)-x,则g(x1)g(x2).∴g(x)为R上的减函数.∴g(x)≤0即-3x2+2ax-1≤0对xR恒成立.∴a2-3≤0.∴-3≤a≤3.导数的应用举例9已知函数f(x)=(-1)2+(-1)2的定义域为[m,n),且1≤mn≤2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:对任意x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42-5恒成立.xmnx解:由题设f(x)=(+-1)2-+1.xmnx2nm令t=+,xmnx∵1≤mn≤2,x[m,n),nm则t≥2=2xmnx2,t=-.1mx2n∴由t0得m≤xmn;由t0得mnxn.∴t(x)在[m,mn)上是减函数,在[mn,n)上是增函数.∵函数y=(t-1)2-+1在[1,+∞)上是增函数,2nm∴f(x)在[m,mn)上是减函数,在[mn,n)上是增函数.导数的应用举例9已知函数f(x)=(-1)2+(-1)2的定义域为[m,n),且1≤mn≤2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:对任意x1,x2[m,n),不等式|f(x1)-f(x2)|≤42-5恒成立.xmnx∴对任意的x1,x2[m,n),有(2)证:由(1)知f(x)在[m,n)上的最小值为f(mn)=2(-1)