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第1课时距离问题目标导航预习引导学习目标1.巩固正、余弦定理的基本知识点.2.能够运用正、余弦定理求解距离问题.重点难点重点:求解距离的两类问题.难点:从实际问题中抽象出数学问题解三角形.目标导航预习引导距离问题(1)(2)方位角是指从北方向顺时针转到目标方向线所成的角.预习交流1用三角形知识解决距离问题的关键是什么?提示:关键是将要解的问题归结到一个或几个三角形中,通过合理运用正、余弦定理等有关知识建立数学模型.目标导航预习引导预习交流2在实际问题中东偏南30°与南偏东60°,描述的是同一方向吗?提示:在实际问题中,同一方向可有不同的描述.如:东偏南30°与南偏东60°,描述的是同一个方向.预习交流3(1)已知A,B两地相距10km,B,C两地相距20km,且∠ABC=120°,则A,C两地相距km.(2)某船上的人开始看见灯塔在南偏东30°方向,后来船沿南偏东60°方向航行45海里后,看见灯塔在正西方向,则这时船与灯塔的距离是海里.提示:(1)107(2)153一二三一、一个可到达点到一个不可到达点间的距离问题活动与探究例1如图所示,设A(可到达)、B(不可到达)是地面上两点,要测量A,B两点之间的距离,测量者在A点的附近选定一点C,测出AC的距离为am,A=α,C=β.求A,B两点间的距离思路分析:所求的边AB的对角β是已知的,又已知三角形的一边AC的长,根据三角形内角和定理计算出边AC的对角,由正弦定理计算出边AB.一二三解:在△ABC中,由正弦定理,得𝐴𝐵sin𝐶=𝐴𝐶sin𝐵,∴AB=𝐴𝐶sin𝐶sin𝐵=𝑎sin𝛽sin(180°-𝛼-𝛽)=𝑎sin𝛽sin(𝛼+𝛽)(m).一二三迁移与应用1.某人向正东方向走了xkm后向右转了150°,然后沿新方向走了3km,结果离出发点恰好为3km,那么x的值为.答案:23或3解析:如图,若设出发点为A,则有AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos30°,解得:x=23或3.一二三2.A,B,C,D四个景点如图所示,∠CDB=45°,∠BCD=75°,∠ADC=15°.A,D相距2km,C,D相距(32−6)km,求A,B两景点的距离.解:在△BCD中,∠CBD=180°-∠BCD-∠CDB=60°,由正弦定理得BD=𝐶𝐷·sin75°sin60°=2(km).在△ABD中,∠ADB=45°+15°=60°,BD=AD,∴△ABD为等边三角形,∴AB=2(km).答:A,B两景点的距离为2km.一二三名师点津解三角形应用问题的一般步骤(1)准确理解题意,分清已知与所求,尤其要理解应用题中的有关名词和术语;(2)画出示意图,并将已知条件在图形中标出;(3)分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形,通过合理运用正弦定理和余弦定理正确求解,并作答.一二三二、不可到达的两点间的距离问题活动与探究例2如图,隔河看两目标A,B,但不能到达,在岸边选取相距3km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°(A,B,C,D在同一平面内),求两目标A,B之间的距离.思路分析:要求出A,B之间的距离,可在△ABC(或△ADB)中找关系,但不管在哪个三角形中,AC,BC这些量都是未知的,需要在三角形中找出合适的关系式,求出它们的值,然后解斜三角形即可.一二三解:在△ACD中,∠ADC=30°,∠ACD=75°+45°=120°,∴∠CAD=30°.∴AC=CD=3(km).在△BDC中,∠CBD=180°-(45°+75°)=60°.由正弦定理,得BC=3sin75°sin60°=6+22(km).在△ACB中,由余弦定理,得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠BCA=(3)2+6+222-23×6+22cos75°=5.∴AB=5(km).∴两目标A,B之间的距离为5km.一二三迁移与应用1.某炮兵阵地位于A点,两观察所分别位于C、D两点,已知△ACD为正三角形,且DC=3km,当目标出现在B时,测得∠CDB=45°,∠BCD=75°,则炮兵阵地与目标的距离是km.答案:5+23一二三解析:在△BCD中,∠CBD=180°-75°-45°=60°,BC=𝐶𝐷sin∠𝐵𝐷𝐶sin∠𝐶𝐵𝐷=2(km).在△ABC中,∠ACB=75°+60°=135°,AB=𝐴𝐶2+𝐵𝐶2-2𝐴𝐶·𝐵𝐶cos∠𝐴𝐶𝐵=3+2-2·3·2·-22=5+23(km).一二三2.已知A船在灯塔C北偏东80°处,且A到C的距离为2km,B船在灯塔C北偏西40°处,A,B两船的距离为3km,则B到C的距离为km.答案:6-1解析:如图所示,在△ABC中,∠ACB=40°+80°=120°,AB=3km,AC=2km.设BC=akm.由余弦定理,得cos120°=𝑎2+4-94𝑎,解得:a=6-1或a=-6-1(舍去),即B到C的距离为(6-1)km.一二三名师点津测量长度(距离)是解三角形应用题的一种基本题型.在解这类问题时,首先要分析题意,确定已知与所求,然后画好示意图,通过解三角形确定实际问题的解;测量两个不可到达的点之间的距离问题,一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题.一二三三、其他距离问题活动与探究例3如图所示,海中小岛A周围38海里内有暗礁,某船正由北向南航行,在B处测得小岛A在船的南偏东30°,航行30海里后,在C处测得小岛A在船的南偏东45°,如果此船不改变航向,继续向南航行,有无触礁的危险?一二三思路分析:船继续向南航行,有无触礁的危险,取决于A到直线BC的距离与38海里的大小.于是,只要先算出AC(或AB),再算出A到BC所在直线的距离,将它与38海里比较即得问题的解.解:在△ABC中,BC=30海里,B=30°,∠ACB=180°-45°=135°,∴A=15°.由正弦定理,知𝐵𝐶sin𝐴=𝐴𝐶sin𝐵.∴30sin15°=𝐴𝐶sin30°.∴AC=30sin30°sin15°=60cos15°=15(6+2)(海里).于是A到BC所在直线的距离为ACsin45°=15(3+1)≈40.98(海里)38海里.∴继续向南航行无触礁的危险.一二三迁移与应用如图,某河段的两岸可视为平行,为了测量该河段的宽度,在河段的一岸边选取两点A,B,观察对岸的点C,测得∠CAB=75°,∠CBA=45°,且AB=100米.(1)求sin75°;(2)求该河段的宽度.解:(1)sin75°=sin(30°+45°)=sin30°cos45°+cos30°sin45°=12×22+32×22=6+24.一二三(2)∵∠CAB=75°,∠CBA=45°,∴∠ACB=180°-∠CAB-∠CBA=60°.由正弦定理,得𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵=𝐵𝐶sin∠𝐶𝐴𝐵,∴BC=𝐴𝐵sin75°sin60°.如图,过点B作BD垂直于对岸,垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度.在Rt△BDC中,∵∠BCD=∠CBA=45°,sin∠BCD=𝐵𝐷𝐵𝐶,∴BD=BCsin45°=𝐴𝐵sin75°sin60°·sin45°=100×6+2432×22=50(3+3)3(米),即该河段的宽度为50(3+3)3米.一二三名师点津正弦定理是直角三角形边角关系的推广,对直角三角形来说,既适用直角三角形的边角关系,也适用正弦定理,但显然是应用直角三角形的边角关系更方便.另外,正弦定理与直角三角形边角关系的综合应用要充分重视.234511.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O,两船航行方向的夹角为120°,两船的航行速度分别为25nmile/h,15nmile/h,则14时两船之间的距离是()A.50nmileB.70nmileC.90nmileD.110nmile答案:B解析:到14时,轮船A和轮船B分别走了50nmile,30nmile,由余弦定理,得两船之间的距离为l=502+302-2×50×30×cos120°=70(nmile).234512.如图,一货轮航行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15°,与灯塔S相距20海里,随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟后到达N处,又测得灯塔在货轮的东北方向,则货轮的速度为.答案:20(6−2)海里/时解析:由正弦定理得𝑀𝑁sin30°=20sin105°,所以MN=10(6−2)海里,速度为20(6−2)海里/时.234513.一艘船以4km/h的速度沿与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2km/h,则经过,该船实际航程为km.答案:6解析:如图所示,3h∵|𝑂𝐴|=2,|𝑂𝐵|=4,∠AOB=120°,∴A=60°,|𝑂𝐶|=22+42-2×2×4cos60°=23.经过3h,该船的实际航程为23×3=6(km).234514.有一长为10m的斜坡,倾斜角为75°,在不改变坡高和坡顶的前提下,通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°,则坡底要延长m.答案:102解析:如图所示,设将坡底加长到B'时,倾斜角为30°.在△ABB'中,B'=30°,∠BAB'=75°-30°=45°,AB=10m.由正弦定理,得BB'=𝐴𝐵sin45°sin30°=10×2212=102(m).234515.太湖中有一小岛,沿太湖有一条正南方向的公路,一辆汽车在A处测得小岛在公路的西侧南偏西15°的方向上,汽车向南行驶1km后到达B处,又测得小岛在南偏西75°的方向上,求小岛离开公路的距离.解:如图,∠CAB=15°,∠CBA=180°-75°=105°,AB=1km.𝐵𝐶sin∠𝐶𝐴𝐵=𝐴𝐵sin∠𝐴𝐶𝐵⇒BC=1sin60°×sin15°=6-223(km).设C到直线AB的距离为d,则d=BC·sin75°=6-223×6+24=36(km).