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1.2.3空间几何体的直观图自主预习课堂探究自主预习1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤.2.会用斜二测画法画出一些简单平面图形和立体图形的直观图.3.强化三视图、直观图、原空间几何体形状之间的相互转换.课标要求知识梳理1.斜二测画法的规则(1)在已知图形中取的x轴和y轴,两轴相交于O.画直观图时,把它们画成对应的x′轴和y′轴,两轴交于点O′,且使∠x′O′y′=,它们确定的平面表示水平面.(2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于或的线段.(3)已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度;平行于y轴的线段,长度为原来的.2.空间图形直观图的画法空间图形与平面图形相比多了一个z轴,其直观图中对应于z轴的是z′轴,平面x′O′y′表示水平平面,平面y′O′z′和x′O′z′表示直立平面.平行于z轴的线段,在直观图中平行性和长度都不变.互相垂直45°(或135°)x′轴y′轴不变一半自我检测1.(几何体的直观图画法)利用斜二测画法画正方形的直观图,正确的是图中的()C2.(由直观图还原几何体)(2015河南开封实验高中月考)如图所示的水平放置的平面图形的直观图,所表示的图形ABCD是()(A)任意梯形(B)直角梯形(C)任意四边形(D)平行四边形B3.(斜二测画法规则)(2015江西白鹭洲中学月考)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图,对其中两条线段结论错误的是()(A)原来相交的仍相交(B)原来垂直的仍垂直(C)原来平行的仍平行(D)原来共点的仍共点4.(由直观图还原几何体)(2015安徽安庆五校联考)△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图,则在△ABC的三边及中线AD中,最长的线段是()(A)AB(B)AD(C)BC(D)ACBD5.(由直观图还原几何体)如图甲所示为一个平面图形的直观图,则此平面图形可能是图乙中的.答案:③6.(直观图与原图形的面积关系)(2015安徽省合肥168中高二(上)期中)用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图,边AB平行于y轴,BC,AD平行于x轴.已知四边形ABCD的面积为22cm2,则原平面图形的面积为.答案:8cm2课堂探究画水平放置的平面图形的直观图题型一【例1】用斜二测画法画水平放置的等腰梯形ABCD的直观图,如图所示.名师导引:如何建立坐标系才方便作图?(画直观图时,在平面图形上建立坐标系时,应使图形的顶点尽量多的在坐标轴上)解:画法:(1)如图所示,取AB所在直线为x轴,AB中点O为原点,建立直角坐标系,画对应的坐标系x′O′y′,使∠x′O′y′=45°.(2)以O′为中点在x′轴上取A′B′=AB,在y′轴上取O′E′=12OE,以E′为中点画C′D′∥x′轴,并使C′D′=CD.(3)连接B′C′,D′A′,所得的四边形A′B′C′D′就是水平放置的等腰梯形ABCD的直观图.题后反思画水平放置的平面图形的直观图的关键及注意点:画图的关键是确定顶点的位置,画图时要注意原图和直观图中线段的长度关系是否发生改变.即时训练1-1:画一个锐角为45°的平行四边形的直观图.解:如图建立坐标系xOy,再建立坐标系x′O′y′,在x′轴上截取O′A′=OA,O′B′=OB,在y轴上截取O′D′=12OD,过D′点作线段D′C′DC,连接B′C′、A′D′,则四边形A′B′C′D′即为平行四边形ABCD的直观图.画空间几何体的直观图题型二【例2】画出底面是正方形且侧棱均相等的四棱锥的直观图.解:画法:(1)画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,∠xOy=45°(或135°),∠xOz=90°,如图(1).(2)画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形ABCD的直观图.(3)画顶点.在Oz轴上任取一点P.(4)成图.顺次连接PA、PB、PC、PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图(如图(2)).题后反思(1)画空间几何体的直观图,可先画出底面的平面图形,然后画出竖轴.此外,坐标系的建立要充分利用图形的对称性,以便方便、准确地确定顶点;(2)对于一些常见几何体(如柱、锥、台、球)的直观图,应该记住它们的大致形状,以便可以又快又准的画出.解:(1)画轴.如图,画出x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,∠xOz=90°.(2)画底面.作水平放置的三角形(俯视图)的直观图△ABC.(3)画侧棱.过A、B、C各点分别作z轴的平行线,并在这些平行线上分别截取线段AA′=BB′=CC′,且都与正视图或侧视图的高相等.即时训练2-1:由下列几何体的三视图画出直观图.(4)成图.顺次连接A′、B′、C′,并加以整理(擦去辅助线,将遮挡部分用虚线表示),得到的图形就是所求的几何体的直观图.直观图还原为平面图形题型三【例3】如图是一梯形OABC的直观图,其直观图面积为S,求梯形OABC的面积.解:设O′C′=h,则原梯形是一个直角梯形且高为2h.C′B′=CB,O′A′=OA.过C′作C′D⊥O′A′于D,则C′D=22h.由题意知12C′D(C′B′+O′A′)=S,即24h(C′B′+O′A′)=S.所以原直角梯形面积为S′=12·2h(CB+OA)=h(C′B′+O′A′)=42S=22S.所以梯形OABC的面积为22S.题后反思(1)还原图形的过程是画直观图的逆过程,关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段.平行于x′轴的线段长度不变,平行于y′轴的线段还原时长度变为原来的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.(2)求图形的面积,关键是能先正确画出图形,然后求出相应边的长度,利用公式求解.(3)原图的面积S与直观图的面积S′之间的关系为S=22S′.即时训练3-1:(2015安徽合肥一中月考)一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′,如图若O′B′=1,那么原△ABO的面积与直观图的面积之比为.解析:由斜二测画法,可知原三角形为直角三角形,且∠AOB=90°,OB=1,OA=2O′A′=22,所以S△AOB=12×1×22=2.S△A′B′O′=12×1×1=12,所以原三角形面积与直观图面积之比为22∶1.答案:22∶1