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退出目录1.3.3函数的最大(小)值与导数退出目录课前预习导学退出目录目标导航学习目标重点难点1.知道函数的最大值与最小值的概念;2.能够区分函数的极值与最值;3.会用导数求闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值.重点:在闭区间上求函数的最值;难点:与函数最值有关的参数问题.退出目录预习导引1.函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取得最大值和最小值,并且函数的最值必在极值点或区间端点取得.退出目录预习交流1思考:(1)函数的极值与最值有何区别与联系?(2)如果函数f(x)在开区间(a,b)上的图象是连续不断的曲线,那么它在(a,b)上是否一定有最值?若f(x)在闭区间[a,b]上的图象不连续,那么它在[a,b]上是否一定有最值?退出目录提示:(1)①函数的极值是表示函数在某一点附近的变化情况,是在局部上对函数值的比较,具有相对性;而函数的最值则是表示函数在整个定义区间上的情况,是对整个区间上的函数值的比较,具有绝对性.②函数在一个闭区间上若存在最大值或最小值,则最大值或最小值只能各有一个,具有唯一性;而极大值和极小值可能多于一个,也可能没有,例如:常量函数就没有极大值,也没有极小值.③极值只能在函数的定义域内部取得,而最值可以在区间的端点取得.有极值的不一定有最值,有最值的不一定有极值,极值有可能成为最值,最值只要不在端点处则一定是极值.(2)一般地,若函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么f(x)在闭区间[a,b]上必有最大值和最小值.这里给定的区间必须是闭区间,如果是开区间,那么尽管函数是连续函数,那么它也不一定有最大值和最小值.退出目录2.求函数在[a,b]上的最值的步骤(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;(2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.退出目录预习交流2思考:(1)如果f(x)在闭区间[a,b]上恰好为单调函数,那么如何求f(x)在[a,b]上的最值?(2)如何求函数f(x)在开区间上的最值?提示:(1)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上恰好是单调函数,那么函数的最值恰好在两个端点处取到.当f(x)在闭区间[a,b]上递增时,f(a)是最小值,f(b)是最大值;当f(x)在闭区间[a,b]上递减时,f(a)是最大值,f(b)是最小值.(2)如果要研究函数在开区间上的最值情况,那么就要与闭区间加以区别.由于是开区间,所以函数的最值不能在端点处取得,而只能在极值点处取得,当函数在开区间上只有一个极值时,这个极值也必然是最值.如果在无穷区间(-∞,+∞)上函数只有一个极值,那么这个极值也就是最值.退出目录课堂合作探究退出目录问题导学一、求函数在闭区间上的最值活动与探究1求下列函数的最值:(1)f(x)=-x3+3x,x∈[-3,3];(2)f(x)=sin2x-x,x∈-𝜋2,𝜋2.思路分析:按照求函数最值的方法与步骤,通过列表进行计算与求解.退出目录解:(1)f'(x)=-3x2+3=-3(x-1)(x+1).令f'(x)=0,得x=1,或x=-1.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-3(-3,-1)-1(-1,1)1(1,3)3f'(x)-0+0-f(x)0单调递减↘-2单调递增↗2单调递减↘0由上表可知:当x=1时,f(x)取得最大值,[f(x)]max=f(1)=2.当x=-1时,f(x)取得最小值,[f(x)]min=f(-1)=-2.退出目录(2)f'(x)=2cos2x-1,令f'(x)=0,-𝜋2≤x≤𝜋2,得x=-𝜋6,或x=𝜋6.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-π2-π2,-π6-π6-π6,π6π6π6,π2π2f'(x)-0+0-f(x)π2单调递减↘π6−32单调递增↗32−π6单调递减↘-π2由上表可知:当x=-𝜋2时f(x)取得最大值f-𝜋2=𝜋2,当x=𝜋2时f(x)取得最小值f𝜋2=-𝜋2.退出目录迁移与应用1.函数f(x)=x3-2x2+1在区间[-1,2]上的最大值与最小值分别是()A.1和-2B.2和-1C.1和-527D.1和0解析:f'(x)=3x2-4x.令f'(x)=0,有3x2-4x=0,解得x=0,或x=43.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x-1(-1,0)00,434343,22f'(x)+0-0+f(x)-2单调递增↗1单调递减↘-527单调递增↗1从上表可知,最大值是1,最小值是-2.答案:A退出目录2.函数f(x)=x3+x2-x在区间[-2,1]上的最大值、最小值分别是、.解析:f'(x)=3x2+2x-1.解方程3x2+2x-1=0,得x1=-1,x2=13.f(-1)=1,f13=-527,f(-2)=-2,f(1)=1.所以函数的最大值为1,最小值为-2.答案:1-2退出目录(1)求函数在闭区间上的最值时,一般是先找出该区间上使导数为零的点,无需判断极大值与极小值,只需将这些点对应的函数值与端点处的函数值比较,其中最大的是最大值,最小的是最小值.(2)求函数在闭区间上的最值时,需要对各个极值与端点函数值进行比较,有时需要作差、作商,有时还要善于估算,甚至有时需要进行分类讨论.退出目录二、与最值有关的参数问题活动与探究2已知当a0时,函数f(x)=ax3-6ax2+b在区间[-1,2]上的最大值为3,最小值为-29,求a,b的值.思路分析:先求出函数f(x)在[-1,2]上的极值点,然后与两个端点的函数值进行比较,建立关于a,b的方程组,从而求出a,b的值.退出目录解:∵f'(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4),由f'(x)=0,解得x=0,或x=4.∴在区间[-1,2]上x=0是极值点.由于a0,∴当-1≤x0时,f'(x)0;当0x≤2时,f'(x)0.∴f(x)在区间[-1,0]上是增函数,在区间[0,2]上是减函数.∴f(0)=b为极大值,也是最大值.又f(-1)=-a-6a+b=-7a+b,f(2)=8a-24a+b=-16a+b,∴f(-1)f(2),∴f(0)为最大值,f(2)为最小值.则f(0)=b=3,f(2)=-16a+b=-29,解得a=2,b=3.退出目录迁移与应用若函数f(x)=-x3+3x2+9x+a在区间[-2,2]上的最大值为20,求它在该区间上的最小值.解:f'(x)=-3x2+6x+9.令f'(x)=0,得x=-1,或3,但x∈[-2,2],故只取x=-1.当-2x-1时,f'(x)0;当-1x2时,f'(x)0.∴x=-1是函数f(x)的极小值点,该极小值也就是函数f(x)在[-2,2]上的最小值,即f(x)min=f(-1)=a-5.又函数f(x)的区间端点值为f(2)=-8+12+18+a=a+22,f(-2)=8+12-18+a=a+2.∵a+22a+2,∴f(x)max=a+22=20,∴a=-2.此时f(x)min=a-5=-7.退出目录(1)已知函数在闭区间上的最值求其中的参数值时,仍然可以按照求函数最值的步骤进行求解,最后建立方程(组)求得参数的值.(2)含参数问题要注意分类讨论,在求解时,依据条件a0,从而判断出f(2)是最小值.若题目条件中没有“a0”这一条件,需要对a进行分类讨论,以便确定函数f(x)在[-1,2]上的最大值和最小值.退出目录三、函数最值与不等式恒成立问题活动与探究3设函数f(x)=tx2+2t2x+t-1(x∈R,t0).(1)求函数f(x)的最小值h(t);(2)由(1)若h(t)-2t+m对t∈(0,2)恒成立,求实数m的取值范围.思路分析:第(1)小题可通过配方法求f(x)的最小值;第(2)小题由h(t)-2t+m,得h(t)+2tm,可转化为函数g(t)=h(t)+2t在区间(0,2)上的最大值小于m时,实数m的取值范围的问题.退出目录解:(1)∵f(x)=t(x+t)2-t3+t-1(x∈R,t0),∴当x=-t时,f(x)取最小值f(-t)=-t3+t-1,即h(t)=-t3+t-1.(2)令g(t)=h(t)-(-2t)=-t3+3t-1,由g'(t)=-3t2+3=0,及t0得t=1.当t变化时,g'(t),g(t)的变化情况如下表:t(0,1)1(1,2)g'(t)+0-g(t)单调递增↗1单调递减↘由上表可知当t=1时,g(t)有极大值g(1)=1.又在定义域(0,2)内,g(t)有唯一极值点,∴函数g(t)的极大值也就是g(t)在定义域(0,2)内的最大值g(t)max=1.h(t)-2t+m在(0,2)内恒成立,即g(t)m在(0,2)内恒成立,当且仅当g(t)max=1m,即m1时上式成立.∴实数m的取值范围是(1,+∞).退出目录迁移与应用1.设函数f(x)=ax3-3x+1(x∈R),若对于任意x∈[-1,1],都有f(x)≥0成立,则实数a的值为.解析:当x=0时,不论a取何值,f(x)≥0显然成立;当0x≤1时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≥3x2−1x3.设g(x)=3x2−1x3,则g'(x)=3(1-2x)x4,所以g(x)在区间0,12上单调递增,在区间12,1上单调递减,因此g(x)max=g12=4,从而a≥4;退出目录当-1≤x0时,f(x)=ax3-3x+1≥0可化为a≤3x2−1x3,设h(x)=3x2−1x3,则h'(x)=3(1-2x)x40,所以h(x)在区间[-1,0)上单调递增.因此h(x)min=g(-1)=4,从而a≤4,综上a=4.答案:4退出目录2.若不等式x3-x22-2x+5m对一切x∈[-1,2]恒成立,求实数m的取值范围.解:令f(x)=x3-x22-2x+5,则f'(x)=3x2-x-2.令f'(x)=0,即3x2-x-2=0,解得x=-23,或x=1,∵f(-1)=112,f-23=52227,f(1)=72,f(2)=7,∴当x∈[-1,2]时函数f(x)的最小值为72.故要使不等式f(x)m恒成立,应有m72,即m的取值范围是m72.退出目录(1)已知不等式恒成立求参数的取值范围问题是一种常见的题型,这种题型的解法有多种,其中最常用的方法就是分离参数,然后转化为求函数的最值问题,在求函数最值时,可以借助导数求解.(2)一般地,若不等式a≥f(x)恒成立,a的取值范围是a≥[f(x)]max;若不等式a≤f(x)恒成立,则a的取值范围是a≤[f(x)]min.退出目录当堂检测1.函数f(x)=x2-4x+1在[1,5]上的最大值和最小值是()A.f(1),f(3)B.f(3),f(5)C.f(1),f(5)D.f(5),f(2)解析:f'(x)=2x-4.令f'(x)=0得x=2.又f(1)=-2,f(2)=-3,f(5)=6,故最大值是f(5),最小值是f(2).答案:D退出目录2.函数f(x)=2x3-6x2+m(m是常数)在[-2,2]上有最大值3,那么在[-2,2]上的最小值为()A.-37B.-29C.-5D.-11解析:y'=6x2-12x=6x(x-2),∵在(-2,2)上,只有x=0是f(x)的极值点,且为极大值点,∴f(x)极大值=f(0)=m.又f(-2)=-16-24+m=m-40,f(2)=16-24+m=m-8,容易判断m-40m-8m,∴m=3.∴f(x)min=m-40=-37.答案:A退出目录3.函数f(x)=x3-3x(-1x1)()A.有最大值,但无最小值B.有最大值,也有最小值C.无最大值,也无最小值D.无最大值,但有最小值解析:f'(x)=3x2-3,由于-1x1,所以f'(x)0,故f(x)在区间(-1,1)上单调递减,函数既没有最大值,也没有最小值.答案:C退