高中数学 高考双曲线

1三、典型例题选讲（一）考查双曲线的概念例1设P是双曲线19222yax上一点，双曲线的一条渐近线方程为023yx，1F、2F分别是双曲线的左、右焦点．若3||1PF，则||2PF（）A．1或5B．6C．7D．9分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a的值，利用双曲线的定义求出2||PF的值．解：双曲线19222yax渐近线方程为y=xa3，由已知渐近线为023yx，122,||||||4aPFPF，||4||12PFPF.12||3,||0PFPF，7||2PF.故选C．归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法．（二）基本量求解例2(2009山东理)设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线21yx只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）A．45B．5C．25D．5解析：双曲线12222byax的一条渐近线为xaby，由方程组21byxayx，消去y，得210bxxa有唯一解，所以△=2()40ba，所以2ba，2221()5cabbeaaa，故选D．归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能．2例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221xyab（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线y=x2+1相切，则该双曲线的离心率等于()A.3B.2C.5D.6解析：设切点00(,)Pxy，则切线的斜率为0'0|2xxyx．由题意有0002yxx．又有2001yx，联立两式解得:2201,2,1()5bbxeaa．因此选C．例4（2009江西）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点，若12FF，，(0,2)Pb是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（）A．32B．2C．52D．3解析：由3tan623cb有2222344()cbca，则2cea，故选B．归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3tan623cb，体现数形结合思想的应用．（三）求曲线的方程例5（2009，北京）已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x．3（1）求双曲线C的方程；（2）已知直线0xym与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点在圆225xy上，求m的值．分析：（1）由已知条件列出,,abc的关系，求出双曲线C的方程；（2）将直线与双曲线方程联立，再由中点坐标公式及点在圆上求出m的值．解：（1）由题意，得2333acca，解得1,3ac.∴2222bca，∴所求双曲线C的方程为2212yx．（2）设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，线段AB的中点为00,Mxy，由22120yxxym得22220xmxm（判别式0），∴12000,22xxxmyxmm，∵点00,Mxy在圆225xy上，∴2225mm，∴1m．另解：设A、B两点的坐标分别为1122,,,xyxy，线段AB的中点为00,Mxy，由221122221212yxyx，两式相减得121212121()()()()02xxxxyyyy.由直线的斜率为1，121200,22xxyyxy代入上式，得002yx.又00(,)Myx在圆上，得22005yx，又00(,)Myx在直线上，可求得m的值.归纳小结：本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力．4例6过(1,1)M的直线交双曲线22142xy于,AB两点，若M为弦AB的中点，求直线AB的方程．分析：求过定点M的直线方程，只需要求出它的斜率．为此可设其斜率是k，利用M为弦AB的中点，即可求得k的值，由此写出直线AB的方程．也可设出弦的两端点坐标用“点差法”求解．解法一：显然直线AB不垂直于x轴，设其斜率是k，则方程为1(1)ykx．由221421(1)xyykx消去y得222(12)4(1)2460①kxkkxkk设),(),(221,1yxByxA，由于M为弦AB的中点，所以1222(1)1212xxkkk，所以12k．显然，当12k时方程①的判别式大于零.所以直线AB的方程为11(1)2yx，即210xy．解法二：设),(),(221,1yxByxA，则221122221②421③42xyxy①－②得12121212()()2()()0xxxxyyyy.又因为12122,2xxyy，所以12122()xxyy．若12,xx则12yy，由12122,2xxyy得121xx，121yy．则点AB、都不在双曲线上，与题设矛盾，所以12xx．所以121212yykxx．所以直线AB的方程为11(1)2yx，即210xy．5经检验直线210xy符合题意，故所求直线为210xy．解法三：设A（xy，），由于AB、关于点M（1，1）对称，所以B的坐标为（22xy，），则2221,42(2)1.2xyy2(2-x)4消去平方项，得210xy．④即点A的坐标满足方程④，同理点B的坐标也满足方程④．故直线AB的方程为210xy．归纳总结：由于双曲线（抛物线）不是“封闭”的曲线，以定点为中点的弦不一定存在，所以在求双曲线（抛物线）中点弦方程时，必须判断满足条件的直线是否存在．（四）轨迹问题例7已知点100(,)Pxy为双曲线222218xybb（b为正常数）上任一点，2F为双曲线的右焦点，过1P作右准线的垂线，垂足为A，连接2FA并延长交y轴于2P．求线段1P2P的中点P的轨迹E的方程．分析：求轨迹问题有多种方法，如相关点法等，本题注意到点P是线段1P2P的中点，可利用相关点法．解：由已知得208(3,0),(,)3FbAby，则直线2FA的方程为：03(3)yyxbb．令0x得09yy，即20(0,9)Py．设Pxy（，），则00002952xxyyyy，即0025xxyy代入22002218xybb得：222241825xybb，即P的轨迹E的方程为22221225xybb．()xR归纳小结：将几何特征转化为代数关系是解析几何常用方法．6（五）突出几何性质的考查例8（2006江西）P是双曲线221916xy的右支上一点，M，N分别是圆22(5)4xy和22(5)1xy上的点，则||||PMPN的最大值为（）A.6B.7C.8D.9解析：双曲线的两个焦点1(5,0)F与2(5,0)F恰好是两圆的圆心，欲使||||PMPN的值最大，当且仅当||PM最大且||PN最小，由平面几何性质知，点M在线段1PF的延长线上，点N是线段2PF与圆的交点时所求的值最大.此时12||||(2)(1)PMPNPFPF9321PFPF．因此选D．例9（2009重庆）已知以原点O为中心的双曲线的一条准线方程为55x，离心率5e．（1）求该双曲线的方程；（2）如图，点A的坐标为(5,0)，B是圆22(5)1xy上的点，点M在双曲线右支上，求MAMB的最小值，并求此时M点的坐标.7分析：（1）比较基础，利用所给条件可求得双曲线的方程；（2）利用双曲线的定义将MAMB、转化为其它线段，再利用不等式的性质求解．解：（1）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0)xyabab，设22cab，由准线方程为55x得255ac，由5e得5ca．解得1,5ac.从而2b，该双曲线的方程为2214yx.（2）设点D的坐标为(5,0)，则点A、D为双曲线的焦点，则||||22MAMDa.所以||||2||||2||MAMBMBMDBD≥．因为B是圆22(5)1xy上的点，其圆心为(0,5)C，半径为1，故||||1101BDCD≥，从而||||2||101MAMBBD≥≥．当,MB在线段CD上时取等号，此时||||MAMB的最小值为101．直线CD的方程为5yx，因点M在双曲线右支上，故0x．由方程组22445xyyx解得5424542,33xy．8所以M点的坐标为5424542(,)33．归纳小结：本题综合考查双曲线的知识及不等式性质，考查推理能力及数形结合思想．