成人高考―三角函数

成人高考第二部分三角三角函数及其相关概念1三角函数式的变换2三解函数的图像和性质3解三角形45276任意角三角函数的定义：角α的终边上任意一点P（x,y），它与原点的距离是r(r0)，那么角α的正弦、余弦、正切分别是p(x,y)raryasinrxsacoxyatan特殊角角度与弧度的换算度弧度03045609018027036006432322单位换算：3602π1800度数0°30°45°60°90°180°270°360°010-1010-101010042sincostan63221222323222133323特殊角的正弦、余弦和正切值如下表所示：正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：1yx-1Oπ3π2π4ππ－π－23π－sinyx，xR1yx-1oπ3π2π4ππ－π－2cosyxxRyx1-1/2-/23/2-3/2-0tan2kk{,Z}正弦函数的图象和性质x6yo--12345-2-3-41y=sinx(xR)定义域：值域：周期性：xRy[-1,1]T=2单调性奇偶性：奇函数(关于原点对称）当2()2xkkZ时,1maxy；当2()xkkZ时,1miny．在(2,222kk(kZ)内是增函数；在3(2,222kk(kZ)内是减函数.余弦函数的图象和性质定义域：值域：周期性：xRy[-1,1]T=2单调性奇偶性：偶函数(关于y轴对称）1yx-1oπ3π2π4ππ－π－2cosyxxR当2π()xkkZ时,1maxy；当(21)π()xkkZ时,min1y在((21)π,2π)kk()kZ内是增函数在(2π,(21)π)kk()kZ内是减函数yx1-1/2-/23/2-3/2-0定义域值域周期性奇偶性单调性RT=奇函数函数y=tanx增函数正切函数x2xkk{,Z}T=𝟐𝒘三角函数周期性公式：（W为x的系数）1sin2yx（1）函数的最小正周期？（2）函数的最小正周期？（3）函数的最小正周期？（4）函数的最小正周期？sin2yxcos3xy12sin26yxT=𝟐𝟏𝟐=4T=𝟐𝟐=T=𝟐𝟏𝟑=6T=𝟐𝟏𝟐=4正弦、余弦函数的图像和性质f(x)=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41x6o--12345-2-3-41yf(x)=cosx(xR)定义域值域周期性xRy[-1,1]T=2正弦、余弦函数的奇偶性？正弦、余弦函数的奇偶性sin(-x)=-sinx(xR)y=sinx(xR)x6yo--12345-2-3-41是奇函数x6o--12345-2-3-41ycos(-x)=cosx(xR)y=cosx(xR)是偶函数（定义域关于原点对称）f(x)=sinx(xR)f(x)=cosx(xR)（定义域关于y轴对称）【例1】：⑴：函数cos+2yx是（）A、奇函数B、偶函数C、非奇非偶D、无法判定⑵：函数cos2yx是（）A、最小正周期为的奇函数B、最小正周期为的偶函数C、最小正周期为2的奇函数D、最小正周期为2的偶函数探究正弦函数的单调性y=sinx(xR)增区间为[，]22xyo--1234-2-31223252722325减区间为[，]223[+2k,+2k],kZ22π[+2k,+2k],kZ223余弦函数的单调性y=cosx(xR)增区间为[+2k,2k],kZ减区间为，[2k,2k+],kZyxo--1234-2-31223252722325正弦函数的最值xyo--1234-2-31223252722325最大值y=1最小值y=-1正弦函数当且仅当x=_____________时取得最大值1,当且仅当x=_____________时取得最小值-1;22kkZ22kkZ(4)最大值与最小值y=sinx(xR)余弦函数当且仅当x=_____________时取得最大值1,当且仅当x=_______________时取得最小值-1.2kkZ2kkZyxo--1234-2-31223252722325最小值y=-1最大值y=1余弦函数的最值y=cosx(xR)三角函数式的变换根据三角函数的定义：根据勾股定理：22222sincos1sin1coscos1sinraaaasintancosyx三角函数式的变换例1已知4sin5,且是第二象限的角,求cos和tan解由22sincos1，可得2cos1sin．又因为是第二象限的角,故cos0．所以2243cos1sin1()55；4sin5tan3cos5=43．开平方运算，必须要明确角所在象限1yx-1oπ3π2π4ππ－π－2cosyxxR诱导公式（一）sin(2)sincos(2)costan(2)tankkkkZ其中1yx-1Oπ3π2π4ππ－π－23π－sinyx，xRyx1-1/2-/23/2-3/2-0tan2kk{,Z}公式二、三、四sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanα1yx-1Oπ3π2π4ππ－π－23π－sinyx，xR1yx-1oπ3π2π4ππ－π－2cosyxxRyxtan2kk{,Z}sin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanα例1.利用公式求下列三角函数值:11161cos225;2sin;3sin;4cos2040.3321cos225cos45cos4521132sinsin4sin3332161633sinsinsin5sin333324cos2040cos2040cos63601201cos1202sincos,2cossin.2公式五1yx-1Oπ3π2π4ππ－π－23π－sinyx，xR1yx-1oπ3π2π4ππ－π－2cosyxxRsincos,2cossin.2例3证明:31sinsin2231sincos2sin2sin2cos32coscos22cos2sin例3证明:32cossin2.两角和与差的三角函数公式bababasincoscossin)sin(bababasinsincoscos)(cosbababatantan1tantan)(tanbababasincoscossin)sin(bababasinsincoscos)(cos倍角公式aaacossin22sinaaaaa2222sin211cos2sincos2cosaaa2tan1tan22tan22222sincos1sin1coscos1sinraaaasin(2)sincos(2)costan(2)tankkkkZ其中sin(π+α)=－sinαcos(π+α)=－cosαtan(π+α)=tanαsin(－α)=－sinαcos(－α)=cosαtan(－α)=－tanαsin(π-α)=sinαcos(π-α)=－cosαtan(π-α)=－tanαsincos,2cossin.2sincos,2cossin.2公式1公式5公式4公式3公式2诱导公式)(2sinsinsin外接圆的半径为其中ABCRRCcBbAaCabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos2222222222)(21)1(边上的高表示ahahSaaAbcBacCabSsin21sin21sin21)2(1.正弦定理2.余弦定理3.三角形面积公式知识点梳理;sin2,sin2sin2(1)CRcBRbARa，;2sin,2sinB,2sin)3(RcCRbRaA;sin:sin:sin::)2(CBAcba;sinsin,sinsin,sinsin)4(AaCcCcBbBbAa)(2sinsinsin外接圆的半径为其中ABCRRCcBbAa1.正弦定理正弦定理的变形：ABCabc2R.2acosC;2cosB;2cos222222222abcbacbcabcacbACabbacBcaacbAbccbacos2cos2cos22222222222.余弦定理余弦定理的变形：222222222;;baccabcba当A、B、C分别为90°时，上面的关系式分别化为：3.三角形面积公式)(21)1(边上的高表示ahahSaaAbcBacCabSsin21sin21sin21)2(RabcS4)4())((21)3(为内切圆半径rcbarS4.三角形中的常见结论CBA)1(2cot2tan;2sin2cos;2cos2sin;tan)tan(;cos)cos(;sin)sin(CBACBACBACBACBACBA(2)在三角形中大边对大角，大角对大边.(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边(4)有关三角形内角的三角函数式CBACBAABCtantantantantantan)5(中，在ABCabc.sinsin)8(BAbaBAABC中，在是三角形的内角则有、若或sinsin)9(（6）中，A、B、C成等差数列的充要条件是B=60ABC（7）为正三角形的充要条件是A、B、C成等差数列，a、b、c成等比数列.ABC23=30ABCABBCBABC例1、已知中，，，，求的面积。=3,2aBCcAB解：1sin2ABCSacBABCabc30B32132sin30246=120ABCACBCCABC例2、已知中，，，，求的面积。=6,4aBCbAC解：1sin2ABCSabCABCabc120C63164sin1202260ABCACBCAABC例3、已知中，，，求的面积。2,ACBC解：1sin2ABCSabCABCabc60A23122sin60260°60°60°60C4260ABCBCBAB例4、已知的面积为，，，求。2