2017学年(2018届)上海高三数学一模(松江卷)(含答案)

高三数学第1页共8页开始结束x输入0x？12xyy输出3xx否是松江区2017学年度第一学期期末质量监控试卷高三数学（满分150分，完卷时间120分钟）2017.12一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．计算：2lim31nnn▲．2．已知集合{|03}Axx，2{|4}Bxx，则AB▲．3．已知{}na为等差数列，nS为其前n项和，若1918aa，47a，则10S▲．4．已知函数)(log)(2axxf的反函数为)(1xfy，且1)2(1f，则实数a▲．5．已知角的终边与单位圆221xy交于点01(,)2Py，则cos2=▲．6．右图是一个算法的程序框图，当输入值x为8时，则其输出的结果是▲.7．函数sin2yx的图像与cosyx的图像在区间0,2π上交点的个数是▲．8．若直线03yax与圆4)2()1(22yx相交于A、B两点，且23AB，则a=▲．9．在ABC中，90A，ABC的面积为1．若MCBM，NCBN4，则ANAM的最小值为▲．10.已知函数()21fxxxa有三个零点，则实数a的取值范围为▲．高三数学第2页共8页11.定义,(,),aabFabbab，已知函数(),()fxgx的定义域都是R，则下列四个命题中为真命题的是▲．（写出所有真命题的序号）①若(),()fxgx都是奇函数，则函数((),())Ffxgx为奇函数．②若(),()fxgx都是偶函数，则函数((),())Ffxgx为偶函数．③若(),()fxgx都是增函数，则函数((),())Ffxgx为增函数．④若(),()fxgx都是减函数，则函数((),())Ffxgx为减函数．12．已知数列na的通项公式为*2(0,)nnaqqqnN，若对任意*,mnN都有1(,6)6mnaa，则实数q的取值范围为▲．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.13．若i2是关于x的方程02qpxx的一个根（其中i为虚数单位，Rqp,），则q的值为A.5B.5C.3D.314．已知()fx是R上的偶函数，则“120xx”是“12()()0fxfx”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件15．若存在[0,)x使错误!未找到引用源。成立，则实数错误!未找到引用源。的取值范围是A.(,1)B.(1,)C.(,1]D.[1,)16.已知曲线1:2Cyx与曲线222:4Cxy恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是A.(,1][0,1)B.(1,1]C.[1,1)D.[1,0](1,)高三数学第3页共8页三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分在ABC中，6,32ABAC，错误!未找到引用源。．（1）求错误!未找到引用源。边的长；（2）求ABC的面积．18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数()1,(0afxxx,常数)aR.（1）讨论函数()fx的奇偶性，并说明理由；（2）当0a时，研究函数()fx在(0,)x内的单调性.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分松江有轨电车项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利．已知某条线路通车后，电车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足202t．经市场调研测算，电车载客量与发车时间间隔t相关，当2010t时电车为满载状态，载客量为400人，当102t时，载客量会减少，减少的人数．．．．．与)10(t的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为272人.记电车载客量为()pt.（1）求()pt的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，电车的载客量;（2）若该线路每分钟的净收益为6()150060ptQt（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大？高三数学第4页共8页CDMBAOFxy20.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知椭圆2222:1(0)xyEabab经过点3(1,)2，其左焦点为F(3,0).过F点的直线l交椭圆于A、B两点，交y轴的正半轴于点M.（1）求椭圆E的方程；（2）过点F且与l垂直的直线交椭圆于C、D两点，若四边形ACBD的面积为43，求直线l的方程；（3）设1MAAF,2MBBF,求证：12为定值.21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分已知有穷数列na共有m项（*,2Nmm），且naann1（*,11Nnmn）．（1）若5m，11a，53a，试写出一个满足条件的数列na；（2）若64m，21a，求证：数列na为递增数列的充要条件是201864a；（3）若01a，则ma所有可能的取值共有多少个？请说明理由．高三数学第5页共8页松江区2017学年度第一学期高三期末考试数学试卷参考答案一．填空题1．232．2,33．1004．35．－126.27.48．09．45．10．(22,)11．②③④12．1(,0)4二、选择题13．B14．A15．B16.C三．解答题17．解：（1）由cos18ABACABACA，且6,32ABAC，………2分222226(32)2(18)310BCABACABACcosA………6分（2）在ABC中，6,32ABAC，310BC，2222226(32)(310)2cos222632ABACBCAABAC………10分22sin1cos2AA，………………………………12分所以112sin6329222ABCSABACA………………………14分18．解：（1）当0a时，()1(0)fxx，对任意(0)(0)x，，，()1()fxfx，)(xf为偶函数．………3分当0a时，()0fa，()2fa………………………………4分()(),()()fafafafa…………………………………5分函数)(xf既不是奇函数，也不是偶函数．……………………………6分（2）0a时，()fx在(0,)xa内单调递减，在[,)xa内单调递增．……8分此时，当(0,)xa时，0xa，()1afxx………………………10分由()agxx单调递减知()fx单调递减…………………………………11分当[,)xa时，0ax，()1afxx……………………………13分由()agxx单调递增知()fx单调递增…………………………………14分高三数学第6页共8页19.解：（1）由题意知2400(10)210()4001020kttptt（k为常数）………2分∵2(2)400(102)272pk∴2k………………4分∴24002(10)210()4001020ttptt………5分∴2(6)4002(106)368p（人）………7分（2）由6()150060ptQt可得21(12180300)2101(60900)1020ttttQttt………9分当210t时，300180(12)18021230060Qtt，当且仅当5t时等号成立………11分当1020t时，90060609030Qt，当10t时等号成立………13分∴当发车时间间隔5t分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大值为60元.………14分20.解：（1）由题意得222231413abab，………2分解得2241ab………3分∴椭圆E的方程为2214xy………4分设直线l：(3)ykx,1122(,),(,)AxyBxy………5分由2244(3)xyykx消去y得2222(14)831240kxkxk，………6分则21228314kxxk，212212414kxxk，……（*）………8分（2）222121224(1)(1)[()4]14kABkxxxxk同理224(1)1kCDk………10分∴222218(1)42(4)(14)3kSABCDkk∴422520kkCDMBAOFxy高三数学第7页共8页解得22k或212k∴2k，或22k因为0k,所以2k，或22k∴直线AB的方程为230xy，或260xy………12分（3）1MAAF，得111(3)xx，222(3)xx∴1113xx，2223xx………14分1212121212121223()()8333()3xxxxxxxxxxxx.………16分21．解：（1）1,2,4,7,3和1,0,2,1,3；………4分（2）证明：必要性若{}na为递增数列，由题意可得………5分211aa322aa…646363aa于是得到641(163)6320162aa，因为12a，所以642018a；………7分充分性由题意*1,163,nnaannnN，所以211aa322aa…646363aa………8分因此6412016aa，即642018a，又因为642018a，所以*1,163,nnaannnN，因此{}na是递增数列；综上：结论得证；………10分（3）解：由题意得211aa，322aa，，1(1)mmaam，假设1231mmabbbb，其中*,,(,11)ibiiiNim，显然，max(1)()12(1)2mmmam，min(1)()12(1)2mmmam………12分若ma中有k项123,,,,kssssbbbb取负值，则有123max()2()kmmssssaabbbb………(*)因此，ma的所有可能值与max()ma的差必为偶数………14分下面用数学归纳法证明ma可以取到(1)2mm与(1)2mm之间相差2的所有整数，由(*)知，只需证明从1,2,3,,1m中任取一项或若干项相加，可以得到从1到(1)2mm的所有整数值即可。高三数学第8页共8页当2m时，显然成立，当3m时，从1,2中任取一项或两项相加，可以得到从1,2,3，结论成立，………15分假设*(3,)mkkkN时，结论成立，即从1,2,3,,1k中任取一项或若干项相加，可以得到从1到(1)2kk的所有整数值，则当1mk时，由假设，从1,2,3,,1k中任取一项或若干项相加，可以得到从1到(1)2kk的所有整数值，用k取代1,2,3,,1k中的1k，可得(1)12kk，用k取代1,2,3,,1k中的2k，可得(1)22kk，…用k取代1,2,3,,1k中的1，可得2(1)2(1)(1)1222kkkkkkk，将1,2,3,,