第9讲 群的同构与同态

2020/3/271置换群子群{(1)};{(1),(12)};{(1),(123),(132)};{(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)};{(1),(12),(23),(13),(123),(132)};{(1),(13),(24),(1234),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}A4,S42020/3/272正规子群正规子群：H≤G,，且∀a∈G，aH=Ha.记为H⊴G.（1）判定定理(1)N是G的正规子群(2)∀g∈G,gNg−1=N(3)∀g∈G,∀n∈N,gng−1∈N（2）|N|=t,N是G的唯一t阶子群（3）指数为2的子群2020/3/273置换群子群S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}正规子群(1),S3,A3=(123)非正规子群(12),(13),(23),2020/3/274群的同态与同构定义：群G1，G2，映射f:G1→G2．若∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y)，则称f为G1到G2的同态映射，简称同态．满同态，单同态，自同态，同构，自同构2020/3/275群的同态实例(1)整数加群Z,+的自同态：fc(x)=cx，c为给定整数(2)模n加群Zn,⊕的自同态：fp(x)=(px)modn,p=0,1,…,n−1(3)G1=Z,+,G2=Zn,⊕,G1到G2的满同态f:Z→Zn,f(x)=(x)modn2020/3/276群的同态与同构群同态只要求保持乘法运算,即若∀x,y∈G1，f(xy)=f(x)f(y)，若将群看成代数系统G,◦,-1,e，则同态f是否满足：f(e1)=e2，f(x−1)=f(x)−12020/3/277同态映射的性质1同态保持元素的性质f(e1)=e2f(x−1)=f(x)−1f将生成元映到生成元(满同态时)|f(a)|整除|a|，同构条件下|f(a)|=|a|2020/3/278同态映射的性质2同态保持子代数的性质H≤G1⇒f(H)≤G2H⊴G1,f为满同态，f(H)⊴G22020/3/279同态保持元素性质的应用证明不存在同构(反证法)例1证明不存在Q*,⋅到Q,+的同构.证假设存在同构f:Q*→Q,则f(1)=0,0=f(1)=f((−1)(−1))=f(−1)+f(−1)=2f(−1)，从而f(−1)=0与f的单射性矛盾.2020/3/2710同态核同态核kerf={x|x∈G1,f(x)=e2}(1)整数加群Z,+的自同态：fc(x)=cx，c为给定整数(2)模n加群Zn,⊕的自同态：fk(x)=(kx)modn,k=0,1,…,n−1(3)G1=Z,+,G2=Zn,⊕,G1到G2的满同态f:Z→Zn,f(x)=(x)modn2020/3/2711同态核性质同态核kerf={x|x∈G1,f(x)=e2}(1)kerf={e1}⇔f为单同态(2)kerf⊴G1，∀a,b∈G1,f(a)=f(b)⇔akerf=bkerf2020/3/2712同态核性质的证明(2)证：(i)显然kerf非空.∀a,b∈kerf,f(ab−1)=f(a)f(b)−1=e2e2−1=e2⇒ab−1∈kerfkerf为G1的子群，下面证明正规性.(ii)∀g∈G1,∀a∈kerf,f(gag−1)=f(g)f(a)f(g−1)=f(g)f(g−1)=f(e1)=e2(iii)f(a)=f(b)⇔f(a)–1f(b)=e2⇔f(a−1b)=e2⇔a−1b∈kerf⇔akerf=bkerf2020/3/2713同态核性质应用例设f为G1到G2的同态,则f−1(f(a))=akerf,证a∈G1,x∈f−1(f(a))⇔f(x)=f(a)⇔f(a)−1f(x)=e2⇔f(a−1x)=e2⇔a−1x∈kerf⇔x∈akerf2020/3/2714商群定义商群G/H={Ha|a∈G},其中H⊴G定义运算HaHb=Hab说明：良定义性质：Ha=Hx,Hb=Hy⇒Hab=Hxy可结合He是单位元Ha-1是Ha的逆元2020/3/2715商群的性质性质：|G/H|=[G:H]，商群的阶是|G|的因子．|G|=|H||G/H|=|H|[G:H]保持群G的性质：交换性，循环性等.2020/3/2716同态基本定理(1)H为G的正规子群，则G/H是G的同态像(2)若G’为G的同态像（f(G)=G’），则G/kerf≅G’.例：G1=Z,+,G2=Zn,⊕,G1到G2的满同态f:Z→Zn,f(x)=(x)modn2020/3/2717同态基本定理推论(同态基本定理)若G’为G的同态像（f(G)=G’），则G/kerf≅G’.|f(G)|整除于|G|2020/3/2718小结:集合和二元运算构成半群,独异点,群群(集合及元素)的基本性质群G的给定子集H构成子群群G的给定子群是正规的f是群G1到G2的同态映射循环群，置换群2020/3/2719EX5(1)a*b=a*(a*a)(a*a=b)=(a*a)*a(结合律)=b*a(a*a=b)(2)证明:由于V中只有a,b两个元素，故分a*b=a和a*b=b两种情况讨论。°1若a*b=a，则：b*b=(a*a)*b(a*a=b)=a*(a*b)(结合律)=a*a(a*b=a)=b(a*a=b)题例分析°2若a*b=b，则：b*b=(a*a)*b(a*a=b)=a*(a*b)(结合律)=a*b(a*b=b)2020/3/2720EX12（x,n）=1iff存在整数a,b使得ax+bn=1题例分析2020/3/2721EX15设G为群，若xGx2=e,则G为Abel群。证x,yG,xy=(xy)-1=y-1x-1=yx分析：x2=ex=x-1幂运算规则题例分析2020/3/2722EX19设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a,b,ab,且ab=ba。证G中一定含有阶数大于2的元素a,否则由EX15知G为交换群（矛盾）。考虑b=aa,则ab（否则a是幂等元从而是单位元，阶为1（矛盾））,显然ab=ba。分析：aa2=a2a幂运算规则题例分析2020/3/2723EX18若G为偶数阶群，则G中必存在2阶元.证若xG，|x|2，则xx-1由于|x|=|x-1|,大于2阶的元素成对出现，总数有偶数个.G中1阶和2阶元也有偶数个.由于1阶元只有单位元，因此2阶元有奇数个，从而命题得证.分析：|x|=|x-1|,x2=ex=x-1题例分析2020/3/2724例1若群G中只有唯一2阶元，则这个元素与G中所有元素可交换。证设2阶元为x,yG,|yxy-1|=|x|=2yxy-1=xyx=xy分析：|yxy-1|=|x|题例分析2020/3/2725例2设G为有限群，x,yG,y为2阶元，xe,且x2y=yx,求|x|解：x2y=yxyx2y=x(yx2y)(yx2y)=x2yx4y=x2=yxyx4=xx3=e|x|=3分析：关键是导出关于xk=e的等式.根据xk=e|x||k，使用幂运算规则,结合律，消去律，|x|=2x=x-1,题例分析2020/3/2726作业P204，25,27