蠓的分类问题

蠓的分类问题摘要：早在1981年，两类蠓虫Af和Apf已由生物学家W.L.Grogna和W.W.Wirth根据它们的触角长度和翼长加以区分。根据翼长和触角长来识别一只标本是Af还是Afp是重要的。本文采用判别分析法讨论蠓的分类问题。针对问题一，采用Mahalanobis距离判别法，Fisher判别法，Bayes判别法来区别给定的蠓是Af类或Afp类。根据交叉确认估计法求得三种方法的误判率以及运用三种方法，得到问题二的最终判断结果如下表：问题三需要考虑各总体的先验概率和错判损失，故本文采用Bayes判别法，使得所带来的平均错判损失最小。最终判断结果为：[1代表x=（1.24,1.80）;2代表x=（1.28,1.84）;3代表x=(1.40,2.04)]文章中涉及的三种判别分析方法是相当成熟的，用它们讨论蠓的分类问题非常恰当。本文建立的模型便于修正，而且随着样品数量的增加，精度提高的很快，样本的期望值，标准差和相关函数也很容易重新计算。判别方法Mahalanobis距离判别法Fisher判别法Bayes判别法误判率0.06670.06670.0667判别结果1.24,1.801.28,1.841.40,2.04xAfxAfxAf1.24,1.801.28,1.841.40,2.04xAfxAfxAf1.24,1.801.28,1.841.40,2.04xApfxApfxApf分类比值k0.20.40.60.81.21.41.61.82Af1,2,31,2,31,3\\\\\\Apf\\21,2,31,2,31,2,31,2,31,2,31,2,3关键字：Mahalanobis距离判别法Fisher判别法Bayes判别法误判率错判损失先验概率一、问题重述两种蠓Af和Apf己由生物学家W.L.Grongan和W.W.Wirth(1981年)根据它们的触角长度和翼长加以区分(见图89A-1)，6只Af蠓用“●”标记，9只Apf蠓用“○”标记。问题一：给定一只Af或者Apf族的蠓，你如何正确地区分它属于哪一族?问题二：将你的方法用于触角长和翼长分别为(1.24，1.80)、(1.28，1.84)、(1.40，2.04)的三个标本。问题三：设Af是宝贵的传粉益虫，Apf是某种疾病的载体，是否应该修改你的分类方法，若需修改，怎么改?二、模型假设与符号说明2.1模型假设1、两种蠓虫的触角长和翼长服从二元正态分布。2、所给的样本数据是无误差的。2.2符号说明2.2.1问题一、二的符号说明Afx：Af族的均值向量Apfx：Apf族的均值向量AfS：Af族的协方差矩阵ApfS：Apf族的协方差矩阵X:待判样本空间1G:Af族的总体2G:Apf族的总体2.2.2文题三的符号说明:P总的误判概率；:L总的误判损失；(1/2):c把Apf误判为Af所引起的误判损失；(2/1):c把Af误判为Apf所引起的误判损失；1():fx类别Af的密度函数；2():fx类别Apf的密度函数；1:P类别Af的先验概率；2:P类别Apf的先验概率；三、问题分析3.1问题一、二的分析问题一要求根据某个个体的指标（触角长、翼长）值来判断该个体所属的类别。类似这样的问题数学上称之为判别问题。解决这类问题的方法很多，我们选取三种方法，1）距离判别方法2）“Fisher”判别方法。3）“Bayes”判别方法。对于问题二，运用这三种方法判断出的结果并不完全相同，那么哪个判别结果才是最优的呢?这就需要计算每种方法的误判率，通过比较，误判率小的当然是此问题的最佳解决方法，在该方法下得出的结果是最优的。3.2问题三的分析被判样本具有特殊性质，一类是的传粉益虫，一种是病毒载体，一旦误判可能造成严重损失。这种情况下，当然应该选择“Bayes”判别方法。四、模型建立与求解4.1问题一、二的模型建立与求解4.1.1Mahalanobis距离判别法提取训练样本的数据：96.130.100.228.100.226.186.120.196.118.178.114.1Af08.256.182.154.182.148.170.140.190.138.182.138.164.138.174.136.172.124.1Apf根据训练样本，求得（matlab实现）：8044.14133.1Afx9267.12267.1Apfx0.00980.00810.00810.0169ApfS0.00390.00430.00430.0078AfS样品x到G的Mahalanobis距离为：1,TMdxGxVx其中V-1为V的逆。，V用样本均值代替。221211112211121112212121,,2222TTTTTTTdXGdXGXXXXXXX其中，112121,2将Mahalanobis距离用于判别模型，其判别准则为：若20TX，则判断2xG,若20TX，则判断2xG;若20TX，则可判断1xG也可判断2xG.求解过程由matlab编程实现：设任给一蠓虫,Txaw，判断结果为：1.24,1.801.28,1.841.40,2.04xAfxAfxAf交叉确认估计法求误判概率（求解过程由matlab编程实现）：去掉1x，利用剩余的14个样本建立建立距离判别法，带入1x验证，一次循环检验15次，得到a次验证成功，15-a次验证失败，则误判概率。11515ap。求解结果为1p=0.6674.1.2“Fisher”判别方法1、由所给的15只样本计算各总体的样本均值ix向量和总的平均向量x。2、21TiiiiBnxxxx21TiiiiiiVnxxxx。3、求1V，1VB。4、求1VB的最大特征值及相应单位特征向量。5、判别函数Txx。6、,iiwwx将iw从小到大排序则1G,2G的阈值为12961,215cwwy。7、若(2,1)(1,2)ccywxy，判断则1xG，若2,11,2ccyxwy，则判断2Gx。求解过程由matlab编程实现：判断结果为：1.24,1.801.28,1.841.40,2.04xAfxAfxAf交叉确认估计法求误判概率（求解过程由matlab编程实现）：去掉1x，利用剩余的14个样本建立Fisher判别法，带入1x验证，一次循环检验15次，得到b次验证成功，15-b次验证失败，则误判概率21515bp。求解结果为2p=0.6674.1.3“Bayes”判别方法由于两个总体的各指标服从一元正态分布，故总体服从二元正态分布。又协方差矩阵相等，即(1/2)(2/1)cc。此时有：212111111121122112211111221112211*(2/1)*(1/2)*()*()*()*()*()*()*()*()[()()]RRRRRRRRRPPPPPPfxdxPfxdxPfxdxPfxdxPfxdxPfxdxPPfxdxPfxdxPPfxPfxdx要使得总误差概率最小，则有2211()()0PfxPfx。故判别准则为：1221122211{:*()*()}{:*()*()}RxPfxPfxRxPfxPfx由已知可得出现的先验概率12()6/150.4;()9/150.4;pGpG结合相关知识我们可得概率密度函数为：222211(,)exp{[()2()()()]}2(1)21yyxxxxyyxyyuyuxuxufxy其中xu、yu、x、y、分别表示期望、方差和相关系数。再结合matlab软件运行可得相关参数为：（见附录3）auwuawAf1.22671.92670.06280.08820.7841Apf1.41331.80440.09900.12990.6285最终结果为：1.24,1.801.28,1.841.40,2.04xApfxApfxApf。交叉确认估计法求误判概率：去掉1x，利用剩余的14个样本建立Fisher判别法，带入1x验证，一次循环检验15次，得到c次验证成功，15-c次验证失败，则误判概率31515cp。求解结果为3p=0.667三种判别方法的误判率相同，所以可以用任意一种方法讨论蠓虫分类问题，各自得到的判断结果都有一定的意义。4.2问题三的模型建立与求解该问题继续用“Bayes”判别方法进行求解，此时协方差矩阵不相等，即(1/2)(2/1)cc。故有：21211111211221122111112211*(2/1)*(2/1)*(1/2)*(1/2)*(2/1)*()*(1/2)*()*(2/1)*()*(1/2)*()*(2/1)*()*(2/1)*()*(1/2)*()*(2/1)*(RRRRRRRLPcPPcPPcfxdxPcfxdxPcfxdxPcfxdxPcfxdxPcfxdxPPcfxdxPcfx1112211)[*(1/2)*()*(2/1)*()]RRdxPPcfxPcfxdx由于(1/2)(2/1)cc、并未给定，因此我们给定一系列(1/2)(2/1)ckc，所以要使得误差损失最小，则有2211**()*()0PkfxPfx。所以判别准则为：1221122211{:**()*()}{:**()*()}RxPkfxPfxRxPkfxPfx又由已知可得出现的先验概率12()6/150.4;()9/150.4;pGpG结合相关知识我们可得概率密度函数为：222211(,)exp{[()2()()()]}2(1)21yyxxxxyyxyyuyuxuxufxy其中xu、yu、x、y、分别表示期望、方差和相关系数。再结合matlab软件运行可得相关参数为：（见附录3）auwuawAf1.22671.92670.06280.08820.7841Apf1.41331.80440.09900.12990.6285分类比值k0.20.40.60.81.21.41.61.82P(1/2)0.0720.0510.0410.0350.0270.0250.0230.0210.020最终运行结果为：由表中可知：当k=0.2、0.4时，应该修改分类，分类结果变为：1.24,1.801.28,1.841.40,2.04xAfxAfxAf；当k=0.6时，应该修改分类，分类结果变为：(1.24,1.80);(1.28,1.84);(1.40,2.04);xAfxApfxAf。五、模型评价5.1模型优缺点距离判别及Fisher判别模型不涉及到各类别的分布情况，只要求均值、方差或协方差存在即可,使应用方便,。不足的是：不能计算误判概率从而考虑因误判引起的损失。Bayes判别模型依据各类别分布的信息，以考虑误判而引起的损失最小的角度出发，建立判别准则，有较大的实用价值。参考文献全国大学生数学建模组委会，《全国大学生优秀论文汇编（1992-2000）》，中国物价出版社，2002年三月出版附录：附录1%距离判别法clear;clc412194595P(2/1)0.00650.01060.01380.01660.02140.02340.02540.02720.0289P*0.03290.02680.02480.02400.02400.02