第7讲三角函数的综合问题1.配方法、换元法、数形结合法、基本不等式法等是三角函数综合问题中的常用数学方法,学习中要突出这些数学方法.2.将二元问题转化为一元问题的常用方法有两种:一是代入法,二是代换法.最常用的代换就是三角代换.形如条件x2+y2=1,通常设x=_______,y=_______.cosθsinθBB1.函数y=cos2x+2sinxcosx的最小正周期T=()A.2πB.πC.π2D.π32.对于函数f(x)=sinx+1sinx(0xπ),下列结论正确的是()A.有最大值而无最小值B.有最小值而无最大值C.有最大值且有最小值D.既无最大值又无最小值D3.定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数.若f(x)的最小正周期是π,且当x∈[0,π2]时,f(x)=sinx,则f5π3的值为()A.-12B.12C.-32D.32解析:∵f(x)的最小正周期是π,∴f5π3=f5π3-2π=f-π3,∵函数f(x)是偶函数,∴f-π3=fπ3=sinπ3=32,∴f5π3=32.4.观察下列结论:sinx+sin3x=sin22xsinx;sinx+sin3x+sin5x=sin23xsinx;sinx+sin3x+sin5x+sin7x=sin24xsinx;…,则sinx+sin3x+sin5x+sin7x+…+sin(2n-1)x应等于_________.5.如果x≤π4,那么函数f(x)=cos2x+sinx的最小值是________.sin2nxsinx1-22sin2α+sin2α考点1三角函数与解析几何例1:已知直线l的倾斜角α是直线x-2y-6=0的倾斜角的2倍,求1-cos2α的值.解析:因为直线x-2y-6=0的斜率为12,所以tanα=2122112=43,则sin2α+sin2α1-cos2α=2sinαcosα+sin2α2sin2α=2cosα+sinα2sinα=2+tanα2tanα=2+432×43=54.直线的斜率是倾斜角的正切值,但要注意两条直线的倾斜角是两倍关系时,它们的斜率并非两倍关系.C1.已知D是由不等式组x+2y≥0x-3y≥0,所确定的平面区域,则圆x2+y2=9在区域D内的弧长为()A.π4B.π2C.3π4D.3π2【互动探究】图6-7-1解析:如图6-7-1,不等式组所表示的区域如图中阴影部分所示,其中tanα=13,tanβ=12,∴tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=13+121-13·12=1,∴α+β=π4,所求弧长为3×π4=3π4.考点2三角函数与不等式例2:已知定义在R上的奇函数f(x)是增函数,对任意θ∈R,不等式f(cos2θ-3)+f(2m-sinθ)0恒成立,求实数m的取值范围.解题思路:利用函数的单调性和奇偶性,化简不等式f(cos2θ-3)+f(2m-sinθ)0.解析:∵奇函数f(x)在R上是增函数且f(cos2θ-3)+f(2m-sinθ)0恒成立⇔f(cos2θ-3)-f(2m-sinθ)恒成立⇔f(cos2θ-3)f(sinθ-2m)恒成立⇔cos2θ-3sinθ-2m恒成立,若一个不等式恒成立,求其中参数的取值范围的问题,通常采取分离参数法,转化为求最值问题.分离出m得,msinθ+142+1516恒成立,即msinθ+142+1516的最大值.∵当sinθ=1时,sinθ+142+1516的最大值为52,∴m>52.故实数m的取值范围是52,+∞.【互动探究】2.设x=log2(sinθ+cosθ),θ∈0,π2.(1)求x的取值范围;(2)设y=x+1x,试问当θ变化时,y有没有最小值?如果有,求出这个最小值;如果没有,说明理由.解:(1)x=log22sinθ+π4,∵0θπ2,∴π4θ+π43π4,∴12sinθ+π4≤2,即0x≤12.∴x的取值范围是0x≤12.(2)设u(x)=x+1x,则u′(x)=1-1x2,当0x≤12时,u′(x)0,故u(x)在0,12上是减函数,∴当x=12时,u(x)有最小值52,∴当θ变化时y=x+1x有最小值.y最小值=52=102.错源:未对参数进行分类讨论例3:设关于x的定义域为R的函数y=2cos2x-2acosx-(2a+1),其中a为常数.(1)求函数的最小值为f(a);(2)试确定满足f(a)=12的a的值.误解分析:不会利用三角函数的有界性,不会分类讨论.正解:(1)设cosx=t,则y=2t-a22-a2+4a+22,记φ(t)=2t-a22-a2+4a+22,t∈[-1,1].①若a2≤-1,即a≤-2时,函数φ(t)在区间[-1,1]上是单调递增函数,所以其最小值为φ(-1)=1;②若-1a21,即-2a2时,函数φ(t)在区间[-1,1]上最小值为函数φ(t)的极小值φ(a2)=-a22-2a-1;③若a2≥1,即a≥2时,函数φ(t)在区间[-1,1]上是单调递减函数,所以其最小值为φ(1)=1-4a.综上所述,函数的最小值f(a)=21(2)21(22)214(2)aaaaaa.(2)∵f(a)=12,∴1-4a=12⇒a=18∉[2,+∞),由-a22-2a-1=12,解得a=-1∈(-2,2),a=-3舍去,∴a的值为-1.【互动探究】B3.为使方程cos2x-sinx+a=0在0,π2内有解,则a的取值范围是()A.-1≤a≤1B.-1a≤1C.-1≤a0D.a≤-54解析:设sinx=t,则方程cos2x-sinx+a=0变为a=t2+t-1,其中t∈(0,1].∵t2+t-1∈(-1,1],∴-1a≤1.解题思路:3x+1和6x+6是一次与二次的关系,结合三角函数的值域即可切入.例4:已知角A是一个凸四边形的最小内角,sinA的取值范围是D,当x∈D时,求函数1231y=log66xx的最小值,并求取得最小值时x的值.解析:∵角A是一个凸四边形的最小内角,∴0A≤π2,∴0sinA≤1,即D=(0,1],设t=3x+1,∵0x≤1,∴1t≤2,x=t2-13.设M=3x+16x+6,∴3x+16x+6=t2t2+4=12t+4t≤142=28.当且仅当2t=4t,即t=2时,Mmax=28.∵y=log0.5M在(0,+∞)上是减函数,∴ymin=log0.528=log0.52-log0.58=52,此时t=2即3x+1=2,∴x=13.【互动探究】凸四边形的最小内角不超过π2,否则内角和将大于2π.4.已知0≤θ≤π2,求sin3θ+cos3θ的最大值与最小值.解:设t=sinθ+cosθ.∵0≤θ≤π2,∴π4≤θ+π4≤3π4,∴t=sinθ+cosθ=2sin(θ+π4)∈1,2.sin3θ+cos3θ=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)=(sinθ+cosθ)(1-sinθcosθ)=t1-t2-12=32t-12t3.设f(t)=32t-12t3,t∈1,2.∵t∈1,2,∴f′(t)=32-32t2≤0,∴函数f(t)=32t-12t3在区间1,2上为减函数,∴f(t)min=f(2)=22,f(t)max=f(1)=1,即sin3θ+cos3θ的最大值是1,最小值是22.1.在解析几何中常用三角代换,将二元转化为一元问题.向量、解析几何、实际应用等中的旋转问题也常引入角变量,转化为三角函数问题.利用三角函数的有界性,可以求函数的定义域、值域等.2.求三角函数最值的常用方法有:①配方法;②化为一个角的三角函数;③数形结合法;④换元法;⑤基本不等式法等.