[原创]2014年《高考专题提升》数学(文科) 第二部分 第2讲 数形结合思想[配套课件]

第2讲数形结合思想1．(2013年山东)函数y＝xcosx＋sinx的图象大致为()ABCD解析：函数y＝xcosx＋sinx为奇函数，排除B；当x→0时，y0，排除C；当x＝π时，y＝－π0，排除A.故选D.答案：D2．(2012年北京)已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|(x＋1)(x－3)＞0}，则A∩B＝()次不等式，得B＝{x|x－1或x3}，画出数轴得A∩B＝{x|x3}．故选D.答案：DA．(－∞，－1)B.－1，－23C.－23，3D．(3，＋∞)解析：因为A＝{x∈R|3x＋20}⇒A＝xx－23，利用二3．(2013年北京)设关于x，y的不等式组2x－y＋10，x＋m0，y－m0表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是()A.－∞，43B.－∞，13C.－∞，－23D.－∞，－53(1)(2)图D31答案：C解析：如图D31，其中图(2)为极限位置，将点(－m，m)代入x0－2y0＝2，－m－2m＝2，m＝－23.则m的取值范围是－∞，－23.A．5个C．7个B．6个D．8个4．(2012年辽宁)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x)＝f(2－x)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.又函数g(x)＝|xcos(πx)|，则函数h(x)＝g(x)－f(x)在－12，32上的零点个数为()答案：B解析：因为当x∈[0,1]时，f(x)＝x3.所以当x∈[1,2]时，(2－x)∈[0,1]，f(x)＝f(2－x)＝(2－x)3，当x∈0，12时，g(x)＝xcos(πx)．当x∈12，32时，g(x)＝－xcos(πx)，注意到函数f(x)，g(x)都是偶函数，且f(0)＝g(0)，f(1)＝g(1)，g12＝g32＝0，作出函数f(x),g(x)的大致图象，函数h(x)除了0,1这两个零点之外，分别在区间－12，0，0，12，12，1，1，32上各有一个零点，共有6个零点．故选B.1．数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法．数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．它是数学的规律性与灵活性的有机结合．纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”．2．数形结合的思想方法应用广泛，常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系；②函数与图象的对应关系；③曲线与方程的对应关系；④以几何元素和几何条件为背景，建立起来的概念，如复数、三角函数等；⑤所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义．运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程．这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野．运用数形结合思想判断方程的解的个数用函数的图象讨论方程的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想先把方程两边的代数式看作两个熟悉的函数，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象交点的个数即为方程解的个数．例1：(2013年安徽)已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，若f(x1)＝x1x2，则关于x的方程3[f(x)]2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数为()A．3B．4C．5D．6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两根x1，x2，方程3[f(x)]2＋2af(x)＋b＝0的实根得解方程f(x)＝x1和f(x)＝x2，根据已知有f(x1)＝x1x2，观察图象(如图1)知方程f(x)＝x1有两个不同实根，方程f(x)＝x2有一个实根．故共有3个不同实根．图1答案：A【配对练习】A．2C．6B．4D．81．(2011年全国)函数y＝11－x的图象与函数y＝2sinπx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于()答案：D解析：图象法求解．y＝11－x的对称中心是(1,0)，它也是y＝2sinπx(－2≤x≤4)的中心，图象在x＝1的左侧有4个交点，则x＝1右侧必有4个交点．不妨把它们的横坐标由小到大设为x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，则x1＋x8＝x2＋x7＝x3＋x6＝x4＋x5＝2.故选D.运用数形结合思想讨论函数的性质函数的单调性经常联系函数图象的升、降，奇偶性经常联系函数图象的对称性，最值经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标．作出函数的图象，善于利用图象的几何特征，对函数性质的理解往往能收到事半功倍的效果．例2：(2013年湖北)已知函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0)B.0，12C．(0,1)D．(0，＋∞)答案：B解析：f′(x)＝lnx＋x·1x－2ax＝lnx＋1－2ax，函数f(x)＝x(lnx－ax)有两个极值点，就是f′(x)＝0在0，＋∞内有两个不同的根，即y＝2a与y＝g(x)＝lnx＋1x有两个不同交点，g′(x)＝－lnxx2，当x∈0，1时，y＝g(x)单调递增，当x∈(1，＋∞)时，y＝g(x)单调递减，当x＝1时，y＝g(x)有极大值g(1)＝1，又x→0时，g(x)→－∞；当x→＋∞时，g(x)0→0，结合图象，y＝2a与y＝g(x)＝lnx＋1x有两个不同交点，即02a1,0a12.【配对练习】2．(2012年广东肇庆二模)直线y＝2与曲线y＝x2－|x|＋a有四个交点，则a的取值范围是()A.34，1B.1，54C.2，74D.2，94图D32答案：D解析：如图D32，在同一直角坐标系内画出直线y＝2与曲线y＝220,0xxaxxxax－＋,＋＋,，观图可知，a的取值必须满足24124aa，解得2a94.运用数形结合思想求最值很多函数、方程都具有明显的几何意义，作出图象求最值更直观．主要题型有直线与圆相切(利用点到直线的位置关系)、点与圆的关系(利用两点间的距离公式)、化折为直(利用对称或圆锥曲线的定义等)．例3：已知P为抛物线y＝12x2上的动点，点P在x轴上的射影为M，点A的坐标是6，172，则|PA|＋|PM|的最小值是()A．8B.192C．10D.212【思维点拨】此题容易错选为C，在解决抛物线的问题时经常需要把到焦点的距离和到准线的距离互相转化．解析：抛物线x2＝2y的焦点为F0，12，点P到准线的距离为d，则|PA|＋|PM|＝|PA|＋d－12＝|PA|＋|PF|－12，所以当P，A，F三点共线时，最小值为|AF|－12＝192.答案：B【配对练习】A．6B．7C．8D．93．P是双曲线x29－y216＝1右支上的一点，M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，则|PM|－|PN|的最大值为()答案：D解析：P是双曲线x29－y216＝1右支上的一点，F1(－5,0)，F2(5,0)是两个焦点，则|PF1|－|PF2|＝6，又M，N分别是圆(x＋5)2＋y2＝4和(x－5)2＋y2＝1上的点，|MF1|＝2，|NF2|＝1,∴|PM|－|PN|≤|PF1|＋2－(|PF2|－1)＝9.故选D.