[原创]2014年《高考专题提升》数学(文科) 第二部分 第4讲 转化与化归思想[配套课件]

第4讲转化与化归思想都有|f(x)|≤a，则实数a的取值范围是________．答案：a≥21．(2013年江西)设f(x)＝3sin3x＋cos3x，若对任意实数x解析：f(x)＝3sin3x＋cos3x＝2sin3x＋π6，|f(x)|max＝2，∴a≥2.2．(2013年大纲)记不等式组x≥0，x＋3y≥4，3x＋y≤4，所表示的平面区域为D，若直线y＝a(x＋1)与D有公共点，则a的取值范围是________．图D40解析：如图D40，将点A0，4，C1，1与D－1，0求斜率得最小值为12，最大值为4.答案：12，43．(2013年湖南)已知a，b是单位向量，a·b＝0.若向量c满足|c－a－b|＝1，则|c|的最大值为()A.2－1B.2C.2＋1D.2＋2答案：C解析：a，b是单位向量，a·b＝0.根据平行四边形法则知，|a＋b|＝2，又|c－a－b|＝1,则|c|的最大值为2＋1(当且仅当向量c与向量a＋b同向时取最大值)．A．必要不充分条件C．充要条件B．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件4．(2011年湖北)若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则称a与b互补，记φ(a，b)＝a2＋b2－a－b，那么φ(a，b)＝0是a与b互补的()答案：C解析：若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab＝0，则a与b至少有一个为0，不妨设b＝0，则φ(a，b)＝a2－a＝a－a＝0；反之，若φ(a，b)＝a2＋b2－a－b＝0，a2＋b2＝a＋b≥0，两边平方，得a2＋b2＝a2＋b2＋2ab⇔ab＝0，则a与b互补．故选C.1．解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，对自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．2．化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化的思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知转化，复杂问题向简单问题转化，新知识向旧知识的转化，命题之间的转化，数与形的转化，空间向平面的转化，高维向低维转化，多元向一元转化，高次向低次转化，超越式向代数式的转化，函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．3．转化有等价转化和非等价转化．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．4．化归与转化应遵循的基本原则：(1)熟悉化原则：将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟知的知识、经验和问题来解决．(2)简单化原则：将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或获得某种解题的启示和依据.(3)和谐化原则：化归问题的条件或结论，使其表现形式更符合数与形内部所表示的和谐的形式，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律．(4)直观化原则：将比较抽象的问题转化为比较直观的问题来解决．(5)正难则反原则：当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获解．5．常见的转化与化归的方法对于立体几何问题，通常要转化为平面几何问题，对于多元问题，要转换为少元问题，对于高次函数，高次方程问题，转化为低次问题，特别是熟悉的一次，二次问题，对于复杂的式子，通过换元转化为简单的式子问题，等等．函数、方程与不等式之间的转化与化归函数、方程与不等式就像“同胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题也需要借助于方程、不等式．因此通过函数、方程与不等式之间的转化与化归可以将问题化繁为简．解：由以上分析，问题转化为二次方程ax2＋2x－2a－1＝0.在区间[－1,2]上恰有两个不相等的实根，由y＝f(x)的图象(如图1所示)，得等价不等式组：图1例1：已知二次函数f(x)＝ax2＋2x－2a－1，其中x＝2sinθ0θ≤7π6.若二次方程f(x)＝0恰有两个不相等的实根x1和x2，求实数a的取值范围．Δ＝4＋4a2a＋10，－1－22a2，af－1＝a－a－3≥0，af2＝a2a＋3≥0.解得实数a的取值范围为－3，－32.【思维点拨】注意0θ≤7π6，则－1≤2sinθ≤2，即－1≤x≤2，问题转化为二次方程根的分布问题，根据图象得出等价的不等式组．本题体现了函数与方程的转化、数与形的转化，直观明了．【配对练习】)数，则a的取值范围是(A．[－1,0]B．[－1，＋∞)C．[0,3]D．[3，＋∞)1．(2013年大纲)若函数f(x)＝x2＋ax＋1x在12，＋∞是增函答案：D解析：f′(x)＝2x＋a－1x2≥0，a≥－2x＋1x2在12，＋∞恒成立，a≥－2x＋1x2max，而－2x＋1x2在12，＋∞单调递减，－2x＋1x2max＝－1＋4＝3，即a≥3.故选D.陌生的问题与熟悉的问题之间的转化与化归解决新定义问题，首先要把定义读懂理解透，把陌生的新内容转化为熟悉的已知的内容，在此基础上进一步研究熟悉的问题．＋4x＋1，g(x)＝mx＋5.(1)当m0时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)是否存在小于零的实数m，使得对任意的x1，x2∈[1,2]，都有g(x1)－f(x2)≤1，若存在，求m的范围；若不存在，请说明理由．例2：(2013年湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝13mx3－(2＋m2)x2解：(1)∵f(x)＝13mx3－(2＋m2)x2＋4x＋1.∴f′(x)＝mx2－(4＋m)x＋4＝(mx－4)(x－1)，当m0时，f′(x)＝mx－4m(x－1)①若4m1即0m4，当x∈(－∞，1)∪4m，＋∞时有f′(x)0，当x∈1，4m时有f′(x)0，∴当0m4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，1]，4m，＋∞；②若m＝4时，f′(x)＝4(x－1)2≥0，∴m＝4时，f′(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；③若04m1，即m4，当x∈(－∞，4m)∪(1，＋∞)时有f′(x)0，当x∈4m，1时有f′(x)0，∴m4时，f′(x)的单调递增区间为(－∞，4m]，[1，＋∞)．(2)当m0时，f′(x)＝mx2－(4＋m)x＋4＝mx－4m(x－1)，且4m1.∴当x∈(1，＋∞)时，f′(x)0，∴当m0时，f(x)在[1,2]上单调递减且g(x)＝mx＋5在[1,2]上单调递减．∴x∈[1,2]时，f(x)min＝f(2)＝23m＋1，g(x)max＝g(1)＝m＋5，依题意g(x)max－f(x)min＝(m＋5)－23m＋1≤1，解得m≤－9，综上所述，存在m∈(－∞，－9]，对任意的x1，x2∈[1,2]都有g(x1)－f(x2)≤1成立．【思维点拨】是否存在小于零的实数m，使得对任意的x1，x2∈[1,2]，都有g(x1)－f(x2)≤1，这句话比较抽象，其实质就是[g(x1)－f(x2)]max≤1，而[g(x1)－f(x2)]max＝g(x)max－f(x)min，这样就将问题转化为我们非常熟悉的求最值得问题了．【配对练习】2．从点P(x,3)向圆C：(x＋2)2＋(y＋2)2＝1作切线，切线PA的长度最短为()答案：BA．4B．26C．5D.112解析：点P(x,3)在直线y＝3上，圆C的半径r＝1，显然有|PA|＝|PC|2－r2＝|PC|2－1，“PA长度最短”实质上就是“PC长度最短”的“伪装”，|PC|min＝|－2－3|＝5，即|PA|min＝52－1＝26.空间与平面、未知与已知之间的转化与化归研究立体问题常常以平面为基准，把立体问题转化为平面问题，把曲线问题转化为直线问题，把空间角与距离的计算总是转化为平面内来求解，这就是空间与平面之间的转化与化归．例3：若方程x4＋ax2＋a2－1＝0有且仅有一个实根，那么)实数a值的个数有(A．1个C．3个B．2个D．4个解：(方法一)设f(x)＝x4＋ax2＋a2－1，则f(x)为偶函数⇒f(x)与x轴交于原点⇒a2－1＝0⇒a＝±1，经检验a＝－1原方程有三个实数根，不合题意．故选A.(方法二)设x2＝t≥0，方程x4＋ax2＋a2－1＝0转化为一元二次t2＋at＋a2－1＝0，原方程x4＋ax2＋a2－1＝0有且仅有一个实根，等价于t2＋at＋a2－1＝0有一负根一零根，a2－1＝0，a＝±1，经检验a＝－1原方程有三个实数根，不合题意．故选A.【思维点拨】t2＋at＋a2－1＝0有两正根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有4个不同实根；t2＋at＋a2－1＝0一正根一零根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有3个不同实根；t2＋at＋a2－1＝0有一正根一负根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有2个不同实根；t2＋at＋a2－1＝0一负根一零根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有1个实根；t2＋at＋a2－1＝0有两负根或无根⇔方程x4＋ax2＋a2－1＝0有无实根．【配对练习】3．如图2，有一圆柱形的开口容器(下表面密封)，其轴截面是边长为2的正方形，P是BC中点，现有一只蚂蚁位于外壁A处，内壁P处有一米粒，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为____________．图2解析：把圆柱侧面展开，并把里面也展开，如图D41所示，则这只蚂蚁取得米粒所需经过的最短路程为展开图中的线段AP，则AB＝π，BP＝3，AP＝.图D41答案：π2＋9π2＋9