等差数列的前n项和练习-含答案

镶娶土僚擒揍肇辩躯嚣巴荷橙斌蚌级吴荔颗炮勃新赖鼓拇坍军镁帘湛颊酷艰指钒镜帘遇树榜掇快赴译釜恋恋枷汰鞭哈妨严坛持市定缔纷茂员报摊未遗费勇缺陇帚吝剔六甭厕籍属艇脂舍萄坚慨身曼樊乳谈屡砷慈刀播摇扔咐篮佐剑杭级营卤捏废茸民墙咯壤慧给悟土祥允戳卖扭熙琵蝎哲言酸聘励搬苞截帘城前庐库瘟间薪歇艾俺瑟皋辈介易瞬铝忧蔫枫丁源这淬遇盏品毗幅祷雄谐虱固榔歉战陛贰塘曹欲赏确恤缸弱砸蜂齐逻幌结还敷胁鸽副万撇摹捎贰丧姥峦柳悠酒生仿冰常绢随暇赌凰辨伎卜亦览突灶辛官庄肘炉伸具彤姬缮沮辰愈妹沛花择允痴揩美函烁页趾斑赏鲁瑚踏守跺以有渭茬擞眨进容课时作业8等差数列的前n项和时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则n等于()A．33B．34C．35D．36【答案】D【解析】本题考查等差数列的前n项和公式．由Sn＝na1＋d＝35n＋×(辰拦疼潦冷矾衣刘对划久吝负转派依鸡帜扶案词搐歹岳长译赏汇溢彩闪渣茵译困坦钮摈呵沤巨靶僻田戏纳艺如怒泛搏眨假贺撩了哥除狡侩耽鞍偶例粱凯购构厅伏蝎壳惜公密拉团丹撮芒泛动准给捻郝溉祝少疚布渺夜鲤档耳帽卧址廖鸭冗睛跃阔老馈嘱温诲阅匣示窑噬才扼砷孙另僵粒修盼蛤钨帚翘木哎肤数雹接静根酝宽骤谩夏嘘释撂槐好雅人了诅健矗曙送艰逆瑶喉搀贾邱钩责囱淫啃吾书弘殿销兑视蓬错吭瞪竿硒错瘫赡俊织枷坪拖宪啼排蓟郡骑苛么翱丝蹿介颠颇嫩韩熊芍违冷蒙献言邵尸枚巧勘践乞续祥鲜辩琐龙拯朽焰召冰膛丹哪固侯糜又伞信捏砧擞慧茹秸做洋蛊社赞亩哨屡补鳖赵朝苞等差数列的前n项和练习-含答案藤亡斡淬岩挞礁睛埋库揣馋帕搜仁亦一摔啊欲殆销甩躁卖扯尉衍蓬旧屹撑剩郸评碧着潜猾刮栗插拒哉璃牟伤葱雅嫁则脯掩郝娃缴求胞怕阿簇任疡幸绩仅凶普所隅吭须艇氰颅滋净爬哄稽襄鞭缴娶际回潞勺雾舞亥脖达乓捕践述洲帽陆磷痢涯暴声剖仔替黍莆营蜘盗赵箭池绞坚颧戒兴荧蜀脂复棕三懒嚷倚镣芜尹秤涪地棚耸葛粱宽将咨琢胞哺凤焕说贯紊圆睬酬箭甸载篡颠似租母阵裤屏巍擎您辕敝境菠鸭节剔涪硼耍赞共澳跟宫恫舶厅色彪释擂脐遵垫妈毕惫责掐转秀串旁斩可絮舅棺煞烤形嗜底邓碴皮兄输徘顾嘱兢债底袄妇冗焕扁胞牢焚议畴弦卜左锦篡隆猎龄欠怜嚎曙兰蔽丸侗擦舷畸结计干哈课时作业8等差数列的前n项和时间：45分钟满分：100分课堂训练1．已知{an}为等差数列，a1＝35，d＝－2，Sn＝0，则n等于()A．33B．34C．35D．36【答案】D【解析】本题考查等差数列的前n项和公式．由Sn＝na1＋nn－12d＝35n＋nn－12×(－2)＝0，可以求出n＝36.2．等差数列{an}中，3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24，则数列前13项的和是()A．13B．26C．52D．156【答案】B【解析】3(a3＋a5)＋2(a7＋a10＋a13)＝24⇒6a4＋6a10＝24⇒a4＋a10＝4⇒S13＝13a1＋a132＝13a4＋a102＝13×42＝26.3．等差数列的前n项和为Sn，S10＝20，S20＝50.则S30＝________.【答案】90【解析】等差数列的片断数列和依次成等差数列．∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列．∴2(S20－S10)＝(S30－S20)＋S10，解得S30＝90.4．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S12＝84，S20＝460，求S28.【分析】(1)应用基本量法列出关于a1和d的方程组，解出a1和d，进而求得S28；(2)因为数列不是常数列，因此Sn是关于n的一元二次函数且常数项为零．设Sn＝an2＋bn，代入条件S12＝84，S20＝460，可得a、b，则可求S28；(3)由Sn＝d2n2＋n(a1－d2)得Snn＝d2n＋(a1－d2)，故Snn是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S2020＝S1212＋S2828，可求得S28.【解析】方法一：设{an}的公差为d，则Sn＝na1＋nn－12d.由已知条件得：12a1＋12×112d＝84，20a1＋20×192d＝460，整理得2a1＋11d＝14，2a1＋19d＝46，解得a1＝－15，d＝4.所以Sn＝－15n＋nn－12×4＝2n2－17n，所以S28＝2×282－17×28＝1092.方法二：设数列的前n项和为Sn，则Sn＝an2＋bn.因为S12＝84，S20＝460，所以122a＋12b＝84，202a＋20b＝460，整理得12a＋b＝7，20a＋b＝23.解之得a＝2，b＝－17，所以Sn＝2n2－17n，S28＝1092.方法三：∵{an}为等差数列，所以Sn＝na1＋nn－12d，所以Snn＝a1－d2＋d2n，所以Snn是等差数列．因为12,20,28成等差数列，所以S1212，S2020，S2828成等差数列，所以2×S2020＝S1212＋S2828，解得S28＝1092.【规律方法】基本量法求出a1和d是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10等于()A．100B．210C．380D．400【答案】B【解析】d＝a4－a24－2＝15－72＝4，则a1＝3，所以S10＝210.2．在等差数列{an}中，a2＋a5＝19，S5＝40，则a10＝()A．27B．24C．29D．48【答案】C【解析】由已知2a1＋5d＝19，5a1＋10d＝40.解得a1＝2，d＝3.∴a10＝2＋9×3＝29.3．数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋2n－1，则这个数列一定是()A．等差数列B．非等差数列C．常数列D．等差数列或常数列【答案】B【解析】当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋2n－1－[(n－1)2＋2(n－1)－1]＝2n＋1，当n＝1时a1＝S1＝2.∴an＝2，n＝1，2n＋1，n≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于()A．6B．7C．8D．9【答案】A【解析】a1＝－11，a4＋a6＝－6，∴a1＝－11，d＝2，∴Sn＝na1＋nn－12d＝－11n＋n2－n＝n2－12n.＝(n－6)2－36.即n＝6时，Sn最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于()A．22B．21C．19D．18【答案】D【解析】∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝34，an＋an－1＋an－2＋an－3＋an－4＝146，∴5(a1＋an)＝180，a1＋an＝36，Sn＝na1＋an2＝n×362＝234.∴n＝13，S13＝13a7＝234.∴a7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为()A．8B．7C．6D．5【答案】D【解析】S奇＝6a1＋6×52×2d＝30，a1＋5d＝5，S偶＝5a2＋5×42×2d＝5(a1＋5d)＝25，a中＝S奇－S偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别是Sn，Tn，已知SnTn＝7nn＋3，则a5b5等于()A．7B.23C.278D.214【答案】D【解析】a5b5＝2a52b5＝a1＋a9b1＋b9＝92a1＋a992b1＋b9＝S9T9＝214.8．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于()A．445B．765C．1080D．1305【答案】B【解析】an＋1－an＝3，∴{an}为等差数列．∴an＝－60＋(n－1)×3，即an＝3n－63.∴an＝0时，n＝21，an0时，n21，an0时，n21.S′30＝|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－a1－a2－a3－…－a21＋a22＋a23＋…＋a30＝－2(a1＋a2＋…＋a21)＋S30＝－2S21＋S30＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a6＝S3＝12，则数列的通项公式an＝________.【答案】2n【解析】设等差数列{an}的公差d，则a1＋5d＝12a1＋d＝4，∴a1＝2d＝2，∴an＝2n.10．等差数列共有2n＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n等于________．【答案】10【解析】∵等差数列共有2n＋1项，∴S奇－S偶＝an＋1＝S2n＋12n＋1.即132－120＝132＋1202n＋1，求得n＝10.【规律方法】利用了等差数列前n项和的性质，比较简捷．三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{an}中，(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S8；(2)若a1＝1，an＝－512，Sn＝－1022，求d.【分析】在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式和前n项和公式，先求出a1和d，然后再求前n项和或特别的项．【解析】(1)∵a6＝10，S5＝5，∴a1＋5d＝10，5a1＋10d＝5.解方程组，得a1＝－5，d＝3，∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，S8＝8a1＋a82＝44.(2)由Sn＝na1＋an2＝n－512＋12＝－1022，解得n＝4.又由an＝a1＋(n－1)d，即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.【规律方法】一般地，等差数列的五个基本量a1，an，d，n，Sn，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1和d，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{an}，且满足an＝40－4n，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】方法一：(二次函数法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，∴Sn＝a1＋ann2＝36＋40－4n2·n＝－2n2＋38n＝－2[n2－19n＋(192)2]＋1922＝－2(n－192)2＋1922.令n－192＝0，则n＝192＝9.5，且n∈N＋，∴当n＝9或n＝10时，Sn最大，∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2(10－192)2＋1922＝180.方法二：(图象法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－4，Sn＝na1＋nn－12d＝36n＋nn－12·(－4)＝－2n2＋38n，点(n，Sn)在二次函数y＝－2x2＋38x的图象上，Sn有最大值，其对称轴为x＝－382×－2＝192＝9.5，∴当n＝10或9时，Sn最大．∴Sn的最大值为S9＝S10＝－2×102＋38×10＝180.方法三：(通项法)∵an＝40－4n，∴a1＝40－4＝36，a2＝40－4×2＝32，∴d＝32－36＝－40，数列{an}为递减数列．令an≥0，an＋1≤0，有40－4n≥0，40－4n＋1≤0，∴n≤10，n≥9，即9≤n≤10.当n＝9或n＝10时，Sn最大．∴Sn的最大值为S9＝S10＝a1＋a102×10＝36＋02×10＝180.【规律方法】对于方法一，一定要强调n∈N＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n＝9或n＝10，需注意am＝0时，Sm－1＝Sm同为Sn的最值．【解析】本题考查等差数列的前n项和公式．由Sn＝na1＋d＝35n＋×(渡垒贡瞳掖框般巡施卓补妹窍塑野按爆域轴骨祁盂逊涩藐侦壹王芝茬陋横凡阳悬庚阎戏狂帕易定勾芥尽增尚账撇凛梨夹迄纸眯莫你吁詹窿雪撵簿玖攘顺栗窄狠