搜索
第一章1.1第二课时基本计数原理的应用把握热点考向应用创新演练考点一考点二考点三第二课时基本计数原理的应用[例1](1)从0,1,2,3,4,5这六个数字中任取三个不同数字组成三位数，则三位数的个数为()A．120B．80C．90D．100(2)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有________个．(用数字作答)[思路点拨](1)分三步，即分百位、十位、个位；(2)此题可利用间接法，即先求出不受限制条件的个数，再减去不符合要求的个数即得解．[精解详析](1)分三步：第一步，取1个数字排在百位上，不能取0，有5种方法；第二步，从余下的五个数字中取1个作十位，有5种方法；第三步，从余下的4个数字中取1个作个位，有4种方法．根据分步乘法计数原理，共有5×5×4＝100种方法，即得100个三位数．(2)若不考虑数字2,3至少都出现一次的限制，则个位、十位、百位、千位每个“位置”都有两种选择，所以共有24＝16个四位数，然后再减去“2222,3333”这两个数，故共有16－2＝14个满足要求的四位数．[答案](1)D(2)14[一点通]对于组数问题的计数，一般按特殊位置由谁占领分类，每类中再分步来计数．当分类较多时，可先求出总个数，再减去不符合条件的数的个数．1．由数字1,2,3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为()A．15B．12C．10D．5解析：分三类，第一类组成一位整数，偶数有1个；第二类组成两位整数，其中偶数有2个；第三类组成3位整数，其中偶数有2个．由分类加法计数原理知共有偶数5个．答案：D2．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻，这样的四位数有()A．36个B．18个C．9个D．6个解析：分三步完成，第一步，确定哪一个数字被使用2次，有3种方法；第二步，把这2个相同的数字排在四位数不相邻的两个位置上，有3种方法；第三步，将余下的2个数字排在四位数余下的两个位置上，有2种方法．故有3×3×2＝18个不同的四位数．答案：B[例2]如图所示，要给三、维、设、计四个区域分别涂上3种不同颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同的颜色，有多少种不同的涂色方法？[思路点拨]从“三”或“计”区域开始涂色，分四步完成．[精解详析]三、维、设、计四个区域依次涂色，分四步完成．第一步，涂三区域，有3种选择；第二步，涂维区域，有2种选择；第三步，涂设区域，由于它与三、维区域颜色不同，有1种选择；第四步，涂计区域，由于它与维、设区域颜色不同，有1种选择．所以根据分步乘法计数原理，得到不同的涂色方法共有3×2×1×1＝6种．[一点通]涂色(种植)问题的一般思路：①为便于分析问题，先给区域(种植品种)标上相应序号；②按涂色(种植)的顺序分步或按颜色(种植品种)恰当选取情况分类；③选择适当的计数原理求解．3．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有()A．24种B．18种C．12种D．6种解析：法一：(直接法)若黄瓜种在第一块土地上，则有3×2＝6种不同的种植方法．同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上均有3×2＝6种不同的种植方法．故不同的种植方法共有6×3＝18种．法二：(间接法)从4种蔬菜中选出3种种在三块地上，有4×3×2＝24种方法，其中不种黄瓜有3×2×1＝6种方法，故共有不同的种植方法24－6＝18种．答案：B4.如图是某校的校园设施平面图，现用不同的颜色作为各区域的底色，为了便于区分，要求相邻区域不能使用同一种颜色．若有6种不同的颜色可选，则有________种不同的着色方法．操场宿舍区餐厅教学区解析：法一：操场可从6种颜色中任选1种着色；餐厅可从剩下的5种颜色中任选1种着色；宿舍区和操场、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色；教学区和宿舍区、餐厅的颜色都不能相同，故可从其余的4种颜色中任选1种着色．根据分步乘法计数原理，共有6×5×4×4＝480种着色方法．法二：分两类：第一类，操场与教学区用同一种颜色，有6×5×4＝120种着色方法；第二类，操场与教学区不同色，有6×5×4×3＝360种着色方法．根据分类加法计数原理，共有120＋360＝480种不同的着色方法．答案：480[例3](10分)有一项活动，需在3名老师、8名男同学和5名女同学中选部分人员参加．(1)若只需一人参加，有多少种不同选法？(2)若需老师、男同学、女同学各一人参加，有多少种不同的选法？(3)若需一名老师、一名同学参加，有多少种不同选法？[思路点拨]第(1)问属于分类问题，用分类加法计数原理；第(2)问属于分步问题，用分步乘法计数原理；第(3)问是综合类问题，需先分类再分步．[精解详析](1)有三类：3名老师中选一人，有3种方法；8名男同学中选一人，有8种方法；5名女同学中选一人，有5种方法．由分类加法计数原理知，有3＋8＋5＝16种选法．(2分)(2)分三步：第一步选老师，有3种方法；第二步选男同学，有8种方法；第三步选女同学，有5种方法．由分步乘法计数原理，共有3×8×5＝120种选法．(5分)(3)可分两类，每一类又分两步．第一类，选一名老师再选一名男同学，有3×8＝24种选法；(7分)第二类，选一名老师再选一名女同学，共有3×5＝15种选法．(9分)由分类加法计数原理，共有24＋15＝39种选法．(10分)[一点通]应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理的关键是分清“分类”与“分步”．使用分类加法计数原理时必须做到不重不漏，各类中的每一种方法都能独立完成；使用分步乘法计数原理时，分步必须做到每步均是完成事件必须的、缺一不可的步骤．5．a，b，c，d排成一行，其中a不排第一、b不排第二、c不排第三、d不排第四的不同排法有()A．9种B．18种C．23种D．24种解析：依题意，符合要求的排法可分为三类，即第一个可排b，c，d中的一个．把第一个排b的不同排法逐一列出如下：共3种不同的排法．同理可得，第一个排c，d各有3种不同的排法，故符合题意的不同排法共有9种．badcbcdabdac答案：A6．有红、黄、蓝旗各3面，每次升一面、二面或三面在旗杆上纵向排列表示不同的信号，顺序不同则表示不同的信号，共可以组成多少种不同的信号？解：每次升1面旗可组成3种不同的信号；每次升2面旗可组成3×3＝9种不同的信号；每次升3面旗可组成3×3×3＝27种不同的信号．根据分类加法计数原理，共可组成3＋9＋27＝39种不同的信号．1．使用两个原理解题的本质分类→将问题分成互相排斥的几类，逐类解决→加法计数原理分步→把问题分化为几个互相关联的步骤，逐步解决→乘法计数原理2．利用两个计数原理解决实际问题的常用方法列举法――――→种数较少将各种情况一一列举间接法――――→正面复杂用总数减去不满足条件的种数点击下图进入“应用创新演练”