搜索
广义相对论简介授课教师：范忠辉云南大学物理科学技术学院第三章相对论性的引力理论一.广义相对论的基本原理¾3.1.1等效原理¾3.1.2广义协变原理二.非欧几里德几何的引入三.引力几何化四.广义协变性和不变性五.Einstein场方程六.引力波2010-4-242广义相对论_引力理论一.广义相对论的基本原理“产生这个理论的基础是这样一种信仰，即相信惯性质量同引力质量成正比是准确的自然规律，它应当在理论物理的原理中找到它自身的反映。”——爱因斯坦2010-4-24广义相对论_引力理论32010-4-24广义相对论_引力理论4爱因斯坦的狭义相对论，既复活了光的微粒说，又维护了麦克斯韦电磁理论的正确性。但是关于辐射的这两个概念是相互矛盾的：如果光是由粒子组成，那么按照万有引力定律，它就会受别的物质影响，果若如此，光速又怎能如狭义相对论要求的那样是绝对恒量呢？1.1等效原理这个矛盾当然应归根于引力。引力在宇宙中无处不有，并使所有物质加速，而狭义相对论的惯性系是严格地没有加速度的。爱因斯坦很清楚这个症结，并认识到，要使引力能与狭义相对论的电磁时空相协调，首先必须重新理解“力”的概念本身。牛顿万有引力定律要求一切物体都具有一种称为引力质量的内在属性，用以量度每个物体所能产生的引力。此外，牛顿还用三个基本定律概括了物体在任何力（引力或别的力）作用下的行为。第一定律简单地说就是笛卡儿的惯性原理：不受力的物体保持静止或作匀速直线运动；第二定律规定使一个物体加速的力与物体的加速度和质量都成正比（即人们熟知的公式F＝ma）；第三定律陈述作用与反作用的平等性：每一个力（例如人推墙的力）都伴之以一个大小相等、方向相反的力（墙也推人）。2010-4-24广义相对论_引力理论5所以，牛顿的力是使物体偏离其惯性运动的原因。物体总是反抗对其惯性状态的改变，这种反抗由其惯性质量来量度。按照这个思路，万有引力同其他任何力一样，也是一种力，而引力质量之于引力恰如电荷之于电力。我们知道，惯性质量相同而带电荷不同的物体在同一电场中受到不同的加速，因而在牛顿理论中就没有理由认为引力质量和惯性质量必定相等。但是，伽利略和牛顿所观察到的引力的基本性质，正是地心引力同样地加速所有物体，而与物体的惯性质量或引力质量、体积以及化学性质都无关。一片羽毛、一个分子或是一块砖，在地球表面附近释放后都同样具有9.8米/秒2的加速度（也就是说，假如没有空气阻力，它们的速度每秒钟都增加9.8米／秒，在第一秒末是9.8米／秒，在第二秒末是19.6米／秒，等等。这个恒定的加速度正是地球表面的引力加速度）。这意味着，不仅根本不存在“引力中性”的物体，而且所有物体都具有完全一样的相应引力荷。这只有在引力质量与惯性质量严格相等时才可能。这种相等性于是被接受为一条公理，称为等效原理。2010-4-24广义相对论_引力理论6这种相等起初被认为只是近似的，后来却经受住了整个科学史上昀高精度的核查。匈牙科男爵罗兰·万·厄缶先在1889年，后又在1922年对等效原理作了验证，精度达十亿分之一。现在，检验精度已经提高了1000倍。由于一个物体中的所有能量都对惯性质量有贡献（把电子和核束缚在原子中的电磁能就很显然），我们就能得出结论：所有能量都有重量，尤其是，光也有重量。爱因斯坦意识到，等效原理是理解引力的关键。引力与电磁力大不相同，包括进引力，将给狭义相对论带来实质性的扩充。让我们来进一步考虑等效原理的物理意义。在爱因斯坦看来，引力质量与惯性的等效只是一个更强得多的等效性的弱形式，而强等效性是把均匀引力和加速统一起来。爱因斯坦指出：1.任何加速都相当于引力。例如，一个坐在加速度与地心引力（即g＝9.8米/秒２）相等的飞船里的人感觉不出与站在地面上有什么区别。2.引力的作用可以通过选择一个适当的加速参考系来消除。2010-4-24广义相对论_引力理论7一架突然断了缆绳的电梯，其中的人将觉得失重，与在太空中已脱离地球引力的人的感觉一样。Einstein电梯：2010-4-24广义相对论_引力理论8等效原理依据的是由Galileo,Huygens,Newton,Bessle和Eotvos所揭示的引力质量和惯性质量的等价性。Einstein认为这一等价性的结果之一是：在一个自由下落的升降机里无法检验稳定均匀静态的外引力场；因为在这种引力场的作用下，观测者，他们的检测物体以及升降机本身都具有同样的加速度。对于含有N个质点的、在力（如静电力或引力）和外引力场g的作用下，以非相对论速度运动的体系，上述论断易于证明。运动方程为：作一个非Galileo的空－时坐标变换那么g就要被惯性“力”所抵消，运动方程变为（3.1.1）（3.1.2）（3.1.3）2010-4-24广义相对论_引力理论9因此，原来使用xt坐标的观测者O和使用x’t’坐标的自由降落的同伴O’将发现力学规律并无区别，只是观测者O将说他感觉到一个引力场而O’说他没有感觉到。等效原理说，惯性力与引力抵消（从而它们是等效的）。这一点对一切自由降落系统都是适用的，不论它是否可以用（3.1.1）这样简单的方程来描述。前面说的是稳定均匀的引力场。但g要是与x或t有关，我们就不能用加速度（3.1.2）从运动方程里把它消去。例如，地球绕太阳在自由降落，地球上的人并不感到太阳的引力场，但这个场的微小的不均匀性（从正午到子夜变化约6000分之一）就足以产生壮观的潮汐。尽管对于在不均匀的或与时间有关的引力场里的自由降落系统，惯性力不能与引力精确地抵消；但我们期望可以近似地抵消，只要我们的注意力集中在场变化很小的空间和时间范围内。因此，可把等效原理表述为：在任意引力场里的每一个时空点，有可能选择一个“局域惯性系”，使得在所讨论的那一点附近的充分小的邻域内，自然规律的形式，与没有引力场时在未加速的笛卡尔坐标系里具有相同的形式。昀后一句即指：自然定律的狭义相对论的表述形式。“充分小”，即指邻域要小到足以使得它里面的引力场没有可觉察的变化。2010-4-24广义相对论_引力理论10注意：等效原理和Gauss取作非欧几何基础的公理之间的某些相似性。等效原理说，在空－时的任一点，我们可以建立一个使物质满足狭义相对论规律的局部惯性系。在引言部分看到，Gauss曾假设在曲面的任一点，可以建立一个使距离遵从Pythagoras定律的局部笛卡尔坐标系。这个深刻的类比，使我们预期引力规律和Riemann几何公式之间将会存在惊人的类似。Gauss的假设隐含着：一个曲面上的所有内在性质可以通过曲面上某个一般坐标系变到局部笛卡尔坐标系的变换的函数的偏导数来描写。而等效原理告诉我们：引力场的全部效应可以通过确定从“实验室”坐标到局部惯性系坐标的变换的函数的偏导数来描写。因此，几何上与这些导数有关的函数就是由度规函数所定义的量引力与自然界所有其他的力（如电力）之间存在差异。不可能用加速来冒充电力。准确地说，引力实际上不是一种作用于时空中的不同物体之间的力，而是时空自身的一种性质。引力对人们早已熟悉的时空结构摧毁性地入侵的结果，就是广义相对论。2010-4-24广义相对论_引力理论112010-4-24广义相对论_引力理论122010-4-24广义相对论_引力理论13新惯性物理学的自洽性要求一种相对性，即要求参考系中的物理规律能取相同的形式。在这个意义上，广义相对论可说是推翻了狭义相对论。狭义相对论里的参考系都以恒定速度运动，不受力，没有加速度。时空连续体是一种平坦的不毛之地，没有任何局部特征，这种空虚性保证了位置和速度的相对性。但在引力存在的情况下，所有参考系都受到加速。因此在广义相对论中没有普适的惯性参考系。时空连续体变得坑洼不平，而位置和速度只能相对于这样的时空来确定。所有的参考系，无论是惯性系与否，只要我们知道如何从一个参考系正确地过渡到另一个，就能用来描述自然定律。从这个意义上讲，爱因斯坦引力理论的名称是取错了，因为广义相对论的相对性比狭义相对论是减小了。由于一个均匀引力场能由一个加速来消除或代替，并且反之亦然，一个在这个场中下落的物体就不受任何力（人之没有落向地心是因为他脚下地面压力的阻挡）。恒定引力场中的自由下落因而就是物体的“自然”运动。对宇宙中任何一个足够小的区域而言，引力的变化不大，则自由下落运动定义出一个局域惯性参考系，其中的物理定律取其昀简单的形式，即由狭义相对论所给出的形式。狭义相对论并没有被完全抛弃，它是被包括到一个更广泛的理论中，而仍保持在一定范围内的适用性。1.2广义协变原理2010-4-24广义相对论_引力理论142010-4-24广义相对论_引力理论152010-4-24广义相对论_引力理论16二.非欧几里德几何的引入2010-4-24广义相对论_引力理论17早在1913年，爱因斯坦就意识到引力场和惯性力场的等效性应导致空间几何性质的改变。他假设我们生活的空间使非欧几里德的。但当时还不知道引力定律以什么形式和黎曼空间的结构条件相联系。新的引力理论使建立在黎曼空间概念基础上的。下面阐述非欧几里德几何的空间概念使怎样引入的，即引力场和惯性力场的等效性以及任意加速参考系的等效性是怎样导致空间的非欧几何的性质的。爱因斯坦的广义协变原理要求引力定律的数学形式在任何参考系中的是相同的。这样，新的引力场方程必须使由非欧几何空间量构成的方程。上述空间量就是时空的曲率张量；同时，引力场由各质点的世界线（即时空中的短程线）给出。在这里，动力学问题归结为运动学问题，而运动学问题使时空几何概念相联系的；这几何概念又等效于引力场的概念。在爱因斯坦引力理论中，引力场是几何化的，即假定存在非欧几里德空间，受引力场作用的质点即为此空间中的自由质点。根据惯性定律，这些质点的轨迹应该使欧几里德直线的推广。在这空间中，两点间的昀短距离是其间的短程线。引力场和惯性力场的等效性奠定了世界结构几何化的基础，物质分布的影响不表现为力的作用，而表现为时空的弯曲。至于欧几里德空间，则是没有物质的世界。这样，引入非欧几里德空间，便可将相对性原理推广到加速系和由任意弯曲标架所确定的参考系。换言之，物理定律的形式不仅对于洛伦兹变换是协变的，对于任意坐标变换都是协变的。三.引力几何化2010-4-24广义相对论_引力理论18几何与物质的相互作用是Einstein引力场方程的要旨所在。有几条途径导致Einstein方程；它们的区别在于出发点不同。在Einstein昀初的工作中，它试图用一个对任意（加速）运动的参考系的广义等效原理，来证明广义不变性的合理性。这其实是把狭义相对论的原理加以推广，这一原理说，一切匀速运动的参考系是等效的。因此，Einstein的原意是，他的理论是一个“广义相对论”。但实际上，狭义相对论原理已然是昀大限度的相对论了－－它已具有昀大的时空对称性。广义不变性原理不是一个相对性原理；更确切地说，广义不变性原理是一个动力学原理，它对几何与物质之间可能的相互作用加以限制。因为Einstein的“广义相对论”理论并不比狭义相对论更相对论，故把这个理论称为几何动力学可能更好一些。这个名称是Wheeler（惠勒）创造的，它强调的是其本质－－与物质相互作用的动力学几何。3.1引力几何化考虑在纯粹引力作用下自由运动的一个粒子。由等效原理，存在一个自由降落的坐标系，粒子在这个坐标系里的运动方程是空－时中的一条直线，即现在假设采用任意别的非惯性系，上述自由运动的动力学方程可通过变换为上式即为非惯性系中的自由粒子的动力学方程。式中第一项是粒子的加速度，第二项是单位质量粒子所受的引力。因此，惯性力场的场强是由黎曼空间的联络描述的。按等效原理，引力场与惯性力场在物理规律中的地位是相同的，因此，引力场强也应由空间的联络描述。这种用空间几何来表示引力的想法叫引力的几何化。联络由度规张量的微商构成。联络描述了引力场场，则度规张量就相当于引力势。2010-4-24广义相对论_数学基础19（3.3.1）（3.3.2）2010-4-24广义相对论_引力理论203.2Newton极限为和Newton理论衔接，考虑一个质点在弱的定态引力场中缓慢