三角形倒角压轴题

学而思教研中心主任：韩春成老师题库资料【例1】(北京市竞赛题)在ABC中，三个内角的度数均为整数，且ABC，47CA，则B的度数为．【解析】设Cx，则4()7Ax，111801807BACx，则41118077xxx，解得7084x，又47x是整数，得77x，故44A，59B．【例2】ABC中，A是最小角，B是最大角，且25BA，若B的最大值是m，最小值是n．则mn．【解析】25AB，依题意得2718055BBB≤≤，解得75100B≤≤，故175mn．【例3】⑴(河南竞赛题)若三角形的三个外角的比是234∶∶，则这个三角形的最大内角的度数是．⑵ABC的内角A、B、C满足35AB，32CB≤，则这个三角形是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定⑴三角形内角和360，故最小的外角为2360809，它对应的内角为最大内角为100．⑵C．∵35BA，∴2235CBA≤，∴BCA，180AA，90A．【例5】在ABC中，若2ABBC，2BA，判断ABC的形状(锐角三角形、直角三角形或钝角三角形)，并写出理由．DABCB．ABC是直角三角形．理由：如上图，∵2ABBC，∴ABBC，根据大边对大角：ACBA，作ACDA，CD与AB交于点D，根据等角对等边：ADCD，由外角定理：2BDCAACDA，又∵2BA，∴BBDC，由等角对等边：CDBC，又∵2ABBC，∴12ADBDCDBCAB，∴60BBCDBDC，∴1302ACDBDC，∴90ACBACDBCD．【例6】如下图所示，在ABC中，90ACB，D、E为AB上两点，若AEAC，45DCE，求证：BCBD．学而思教研中心主任：韩春成老师题库资料54321EDCBAC．如图，∵245，AEAC，∴523453．∴43A，15(453)(90)345445BAA．∴4145BCD，∴BCBD．【例7】如图，ABC中，120BAC，ADBC于D，且ABBDCD，则C的大小是()A20B25C30D大于30ABCDEABCDD．如图，在DC上取DEDB，连接AE，易得RtRtABDAED≌．ABAECE，2AEBC，所以22(902)120BACEADCCC，得20C．【例8】在ABC中，50A，高BE、CF所在直线交于点O，且点O不与点B、C重合，求BOC的度数．(1)(2)AABBCCEEFFOO【解析】对于没有给出具体图形的几何问题，一定有要根据题意画出图形，特别是要注意是否有多解的情况．若ABC是锐角三角形，如图(1)所示，BOCAABEACF(90)(90)180130AAAA若ABC是钝角三角形，如图(2)所示，909090(90)50BOCECOACFAA从本题我们能得到一个重要结论：三角形两边上的高相交所形成的角与第三边所对的角的关系是：当此三角形是锐角三角形时，它们互补；当此三角形是钝角三角形时，它们相等．【例9】如图，在ABC中，BE、CD分别是ABC、ACB的角平分线，且BDCEBC，则A的度数为．学而思教研中心主任：韩春成老师题库资料EDCBA【解析】60．【例10】如图所示，已知CBOA∥，100COAB，E，F在CB上，且满足FOBAOB，OE平分COF．⑴求EOB的度数；⑵若平行移动AB，那么OBC：OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值；⑶在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使OECOBA？若存在，求出其度数；若不存在，请说明理由．ABCEFO【解析】此题是一类重点题型，考查了学生的转化思想，题目难度较大，是角平分线与平行性质的综合，提高班及精英班老师可提前给学生渗透这种思想，让学生掌握此类问题的解法．⑴40；⑵1:2；⑶存在，60OECOBA．【例11】(2008年南通市)已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有以下三种方法：方法1：直接法．计算三角形一边的长，并求出该边上的高．方法2：补形法．将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差．方法3：分割法．选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．现给出三点坐标：(14)A，，(22)B，，(41)C，，请你选择一种方法计算ABC的面积，你的答案是ABCS_________．xyOABCD【解析】本题考查三角形面积的求法及在坐标系内求线段长度．利用方法2，如图，取点(44)D，，连接AD、BD、DC．ABCACDABDBCDSSSS△△△△．112555222ACDSADDC△，11()52522BCDDBSDCxx△，11()52522ABDDBSADyy△，∴2555522ABCS△．故应填52．学而思教研中心主任：韩春成老师题库资料【例12】如右图所示，BD是ABC的角平分线，CD是ACB的角平分线，BD、CD交于D，试探索A与D之间的关系：．ABCD【解析】∵在BDC中，180DDBCDCB∴180DBCDCBD∵12DBCABC，12DCBACB∴1()1802ABCACBD∵在ABC中，180AABCACB∴2180DA，即1902DA【例13】(05年山东中考题改编)如右图所示，BD是ABC的外角平分线，CD也是ABC的外角平分线，BD、CD交于点D，试探索A与D之间的关系：．ABCDEF【解析】∵EBCAACB，FCBAABC∴180EBCFCBAABCACBAA∴11()9022EBCFCBA∵12DBCEBC，12DCBFCB∴11()9022DBCDCBEBCFCBA∵在DBC中，180DDBCDCB∴1901802DA，即1902DA【例14】如右图所示，BD是ABC的角平分线，CD是ABC的外角平分线，BD、CD交于点D，试探索A与D之间的关系：．ABCDE【解析】∵ACEAABC学而思教研中心主任：韩春成老师题库资料∵12DCEACE，12DBCABC∴12DCEADBC∵DCEDDBC∴12DDBCADBC，即12DA【例15】如右图所示，在ABC中，CD、BE是外角平分线，BD、CE是内角平分线，BE、CE交于E，BD、CD交于D，试探索D与E的关系：．ABCDEFGO【解析】在BEO和DCO中，∵11118090222EBOABFABC同理90DCO∴EBODCO∵EOBDOC，∴DE【例16】如图所示，点E和D分别在ABC的边BA和CA的延长线上，CF、EF分别平分ACB和AED，试探索F与B，D的关系：．ABCDEFGH【解析】EGD与CGF中，EGDCGF∴FDDEGFCG同理BHC与FHE中，BHCFHE∴FBHCBHEF∵DEGHEF，FCGHCB∴2FDB即1()2FDB，也可连接EC，而后利用等量代换求证．【例17】如图所示，DC平分ADB，EC平分AEB，试探索DCE与DBE和DAE的关系：．ABCDEABCDE学而思教研中心主任：韩春成老师题库资料【解析】连接DE，∵在BDE中，180DBEBDEBED∴180BDEBEDDBE∵在ADE中，180DAEADEAED又∵ADEADBBDE，AEDAEBBED∴180()DAEADBAEBBDEBED180(180)DBEDBE∴ADBAEBDBEDAE在DCE中，180DCECDECED∵1()()2CDECEDADBAEBBDEBED∴1180()()2DCEDBEDAEBDEBED11()()22DBEDBEDAEDBEDAE，即：1()2DCEDBEDAE【例18】如图，在三角形ABC中，42A，ABC和ACB的三等分线分别交于D、E，求BDC的度数．ABCDE【解析】设ABC的三分之一为x，ACB的三分之一为y，因为三角形内角和为180，所以有：3342180xy，即180423xy，所以180421802883BDC．【例19】如图，60A，线段BP、BE把ABC三等分，线段CP、CE把ACB三等分，则BPE的大小是．【解析】思路1：分析可知BPCAABPACP，因为60A，故可以先考虑求出ABPACP的度数，根据题设条件，线段BP、BE把ABC三等分，线段CP、CE把ACB三等分，所以13ABPABC，13ACPACB，12BPEBPC，这样只要求出ABCACB的度数，就可以解决问题，只需利用三角形内角和定理，即可求出．解法1：在BPC中，因为BE平分CBP，CE平分BCP，所以PE是BPC的平分线．即12BPEBPC．因为60A，所以120ABCACB，学而思教研中心主任：韩春成老师题库资料又因为BP、BE把ABC三等分，CP、CE把ACB三等分．所以13ABPABC，13ACPACB，又因为BPCAABPACP，所以12()3BPEAABCACB，所以11601205026BPE．思路2：结合本题特有条件，还可以把着眼点集中于BPC中，直接利用三角形内角和定理解决这一问题．同样由两个三等分得到12BPEBPC，不同在于我们利用三等分的另一个结论，23BCPACB，23CBPABC．解法2：在BPC中，因为BE平分CBP，CE平分BCP，所以PE是BPC的平分线，即12BPEBPC．因为60A，所以120ABCACB．2()803BCPCBPABCACB，所以100BPC，所以1100502BPE．【总结】图1和图2中，分别是两个内角的2等分线，3等分线相交．易得结论：图1中有0011809022AAP，图2中有001180226033AAP，00001218029090120263PAAP．【例20】如图，延长四边形ABCD对边AD，交BC于F，DC，AB交于E．若AED，AFB的平分线交于O，求证：1()2EOFEAFBCD．ABCDEFOABCDEFHO【解析】延长FO交AE于H点，学而思教研中心主任：韩春成老师题库资料22()2()EOFFHEOEAFAEAFHOEA2FAEBCDFBEOEAFAE22FAEAFHOEAFAE2(