4-一元二次方程根与系数关系难题突破

学无忧教育·1对1细节决定未来授课教案学员姓名：授课教师：所授科目：数学学员年级：八年级上课时间：2015年月日时分至时分，共小时教学标题4-一元二次方程根与系数关系难题突破教学目标①判定一元二次方程根的情况，会利用判别式求待定系数的值、及取值范围。②掌握根与系数的关系及应用教学重难点掌握一元二次方程根与系数的关系；并会根据条件和根与系数的关系不解方程确定相关的方程和未知的系数值。上次作业检查授课内容：一、知识点梳理根与系数关系：（1）关于x的方程x2+px+q=0(p,q为常数,p2-4q≥0)的两根x1，x2与系数p，q的关系是：x1+x2=－p,x1.x2=q(注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零。)（2）形如的方程ax2+bx+c=0（a≠0），可以先将二次项系数化为1，再利用上面的结论。即：对于方程ax2+bx+c=0（a≠0）∵∴∴，二、典型例题1.巧妙运用韦达定理例1先阅读下列第（1）题的解答过程（1）已知αβ是方程x2＋2x－7＝0的两个实数根。求α2＋3β2＋4β的值。解法1∵α、β是方程x2＋2x－7＝0的两实数根∴α2＋2α－7＝0β2＋2β－7＝0且α＋β＝－2∴α2＝7－2αβ2＝7－2β∴α2＋3β2＋4β＝7－2α＋3（7－2β）＋4β＝28－2（α＋β）＝28－2×（－2）＝32解法2由求根公式得α＝－1＋2β＝－1－2∴α2＋3β2＋4β＝（－1＋2）2＋3(－1－2)2＋4(－1－2)＝9－4＋3(9＋4－4－8)＝32解法3由已知得：α＋β＝－2αβ＝－7∴α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝18令α2＋3β2＋4β＝Aβ2＋3α2＋4α＝B∴A＋B＝4（α2＋β2）＋4（α＋β）＝4×18＋4×（－2）＝64①A－B＝2(β2－α2)＋4(β－α)＝2(β＋α)(β－α)＋4(β－α)＝0②①＋②得：2A＝64∴A＝32请仿照上面解法中的一种或自己另外寻找一种方法解答下列各题（2）已知x1、x2是方程x2－x－9＝0的两个实数根，求代数式。x13＋7x22＋3x2－66的值。例2已知a＋a2－1＝0，b＋b2－1＝0，a≠b，求ab＋a＋b的值．0a02acxabxabxx21acxx2122222222涂改无效学无忧教育·1对1细节决定未来2.先恒等变形，再应用韦达定理若已知条件或待证结论，经过恒等变形或换元等方法，构造出形如a＋b、a·b形式的式子，则可考虑应用韦达定理．例3若实数x、y、z满足x＝6－y，z2＝xy－9．求证：x＝y．3.已知一元二次方程两根的关系(或系数关系)求系数关系(或求两根的关系)，可考虑用韦达定理例5已知方程x2＋px＋q＝0的二根之比为1∶2，方程的判别式的值为1．求p与q之值，解此方程．例6设方程x2＋px＋q＝0的两根之差等于方程x2＋qx＋p＝0的两根之差，求证：p＝q或p＋q＝－4．4.关于两个一元二次方程有公共根的题目，可考虑用韦达定理例7．m为问值时，方程x2＋mx－3＝0与方程x2－4x－(m－1)＝0有一个公共根？并求出这个公共根．作业：预留纸质作业学生成长记录：签字确认：学员：教师：教学总监：学无忧教育·1对1细节决定未来1.已知关于x的方程4x2＋4bx＋7b＝0有两个相等的实数根，y1、y2是关于y的方程y2＋(2－b)y＋4＝0的两个根。求以、为根的一元二次方程。3.已知关于x的方程（a2－1）x2＋2(a＋2)x＋1＝0有实数根。求a的取值范围。（提示：分a2－1＝0，a2－1≠0讨论）4.已知关于x的方程x2－2(k＋1)x＋k2＋2k－1＝0①（1）求证，对任意实数k的方程①总有两个不相等的实数根。（2）如果a是关于y的方程y2－(x1＋x2－2k)y＋(x1－k)(x2－k)＝0②的根。其中x1、x2是方程①的两根求代数式（－）÷·的值。课后巩固（一）基础练习1.已知方程2x2－2ax＋(a＋4)a＝0的两实根分别为x1、x2且满足(x1－1)(x2－1)＝，求a的值。2.关于x的方程x2－(5k＋1)x＋k2－2＝0是否存在负数k，使方程的两个实数根的倒数和等于4，若存在，求出满足条件的k的值，若不存在，请说明理由。3.设α、β是方程x2＋x＋2＝0的两根，不解方程，求＋的值。4.已知关于x的方程k2x2＋(2k－1)x＋1＝0有两个不相等的实数根x1、x2。（1）求k的取值范围。（2）是否存在实数k，使方程的两实根互为相反数？如果存在求出k的值。如果不存在，请说明理由。解：（1）根据题意，得Δ＝(2k－1)2－4k20的解得k.∴当k时，方程有两个不相等的实数根。（2）存在如果方程的两实数根x1、x2互为相反数，则x1＋x2＝－＝0①解得k＝,经检验k＝是方程①的解。∴当k＝时，方程的两实数根x1、x2互为相反数。读了上面的解答过程，请判断是否错误，如果有指出错误之处，并直接写出正确答案。1y2ya11aa14aaa1221100109104141212kk212121学无忧教育·1对1细节决定未来5.如图已知△ABC中，∠ACB＝90°,CD⊥AB于D，若AD、BD的长是关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根，且tgA－tgB＝2，CD＝1，求p、q的值，并解此二次方程。（二）能力提升题1.关于x的方程x2－(2a－1)x＋(a－3)＝0.（1）求证：无论a为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根。（2）以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数a的值。2.已知方程5a2＋2002a＋9＝0及9b2＋2002b＋5＝0且ab≠1，求的值。3.已在△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x2－(2k＋3)x＋k2＋3k＋2＝0的两个实数根，第三边BC的长为5。（1）k为何值时，△ABC是以BD为斜边的直角三角形。（2）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长。（三）思维拓展题已知1x、2x是一元二次方程01442kkxkx的两个实数根。（1）是否存在实数k，使23)2)(2(2121xxxx成立？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由。（2）求使21221xxxx的值为整数的实数k的整数值。一元二次方程根与系数的关系习题一、单项选择题：1．关于x的方程0122xax中，如果0a，那么根的情况是（）（A）有两个相等的实数根（B）有两个不相等的实数根（C）没有实数根（D）不能确定2．设21,xx是方程03622xx的两根，则2221xx的值是（）235ba学无忧教育·1对1细节决定未来（A）15（B）12（C）6（D）33．下列方程中，有两个相等的实数根的是（）（A）2y2+5=6y（B）x2+5=25x（C）3x2－2x+2=0（D）3x2－26x+1=04．以方程x2＋2x－3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（）（A）y2+5y－6=0（B）y2+5y＋6=0（C）y2－5y＋6=0（D）y2－5y－6=05．如果21xx，是两个不相等实数，且满足12121xx，12222xx，那么21xx等于（）（A）2（B）－2（C）1（D）－1二、填空题：1、如果一元二次方程0422kxx有两个相等的实数根，那么k＝。2、如果关于x的方程012)14(222kxkx有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是。3、已知21xx，是方程04722xx的两根，则21xx＝，21xx＝，221)(xx＝4、若关于x的方程01)2()2(22xmxm的两个根互为倒数，则m＝。5、当m＝时，方程042mxx有两个相等的实数根；6、已知关于x的方程07)3(102mxmx，若有一个根为0，则m=，这时方程的另一个根是；若两根之和为－35，则m=，这时方程的两个根为.7、如果5)1(222mxmx是一个完全平方式，则m=；8、方程6)4(22xmxx没有实数根，则最小的整数m=;9、已知方程)4()3)(1(2mxmxx两根的和与两根的积相等，则m=;10、设关于x的方程062kxx的两根是m和n，且2023nm，则k值为;11、若方程01)12(22mxmx有实数根，则m的取值范围是;12、一元二次方程02qpxx两个根分别是32和32，则p=,q=;13、已知方程01932mxx的一个根是1，那么它的另一个根是，m=;14、若方程012mxx的两个实数根互为相反数，那么m的值是;15、nm、是关于x的方程01)12(22mxmx的两个实数根，则代数式nm=。16、已知方程0132xx的两个根为α,β，则α+β=,αβ=;学无忧教育·1对1细节决定未来17、如果关于x的方程042mxx与022mxx有一个根相同，则m的值为;18、已知方程0322kxx的两根之差为212，则k=;19、若方程03)2(22xax的两根是1和－3，则a20、①、若关于x的方程04)1(222mxmx有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m的值为;②、已知关于x的一元二次方程01)1()1(22xaxa两根互为倒数，则a=。21、如果关于x的一元二次方程022axx的一个根是1－2，那么另一个根是，a的值为。22、如果关于x的方程062kxx的两根差为2，那么k=。23、已知方程0422mxx两根的绝对值相等，则m=。24、一元二次方程)0(02prqxpx的两根为0和－1，则q∶p=。25、已知方程0132xx，要使方程两根的平方和为913，那么常数项应改为。26、已知方程0242mxx的一个根α比另一个根β小4，则α=；β=；m=。27、已知关于x的方程0)1(232mmxx的两根为21xx，，且43x1x121，则m=。28、关于x的方程0322mxx，当时，方程有两个正数根；当m时，方程有一个正根，一个负根；当m，方程有一个根为0。三、解答下列各题：1、已知3－2是方程072mxx的一个根，求另一个根及m的值。2、m取什么值时，方程012)14(222mxmx3、求证：方程0)4(2)1(222mmxxm没有实数根。4、求证：不论k为何实数，关于x的式子2)2)(1(kxx都可以分解成两个一次因式的积。5、当k取什么实数时，二次三项式12)14(222kxkx可因式分解.6、已知a是实数，且方程0122axx有两个不相等的实根，试判别方程0)1(21122222axaaxx有无实根？7、已知关于x的方程022nxmx两根相等，方程0342nmxx的一个根是另一个根的3倍。求证：方程学无忧教育·1对1细节决定未来0)()(2mkxnkx一定有实数根。8、已知方程03522nmxx的两根之比为2∶3，方程0822mnxx的两根相等(mn≠0)。求证：对任意实数k，方程01)1(2kxknmx恒有实数根。9、设21xx，是方程03422xx的两根，利用根与系数关系求下列各式的值：)1)(1()1(21xx、2111)2(xx、2112)3(xxxx、121212)4(xxxx、10、设方程03742xx的两根为21xx，，不解方程，求下列各式的值:(1)2221xx(2)21xx（3）21xx（4）21xx11、已知21xx，是方程01322xx的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值：(1))32)(32(21xx；(2)321231xxxx12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192ss和且099192tt求代数式tsst14的值。13、设：011632aa，011632