2019长春高三三模数学理科

2019长春三模理科数学第1页共12页长春市普通高中2019届高三质量监测（三）数学试题卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.sin210A.12B.32C.12D.322.已知集合{1,0,1,2},{|(1)(2)0}ABxxx，则ABA.{1,0,1,2}B.{1,0,1}C.{0,1,2}D.{0,1}3.若复数1aii的实部与虚部相等，则实数a的值为A.0B.1C.2D.34.执行如图所示的程序框图，如果输入=4N，则输出p为A.6B.24C.120D.7205.已知等差数列{}na的前n项和为nS，且24a，42a，则6SA.0B.10C.15D.306.已知1e、2e是两个单位向量，且夹角为3，则1212(2)(2)eeeeA.32B.36C.12D.337.若8件产品中包含6件一等品，在其中任取2件，则在已知取出的2件中有1件不是一等品的条件下，另1件是一等品的概率为A.37B.45C.67D.12138.已知,mn为两条不重合直线，α,β为两个不重合平面，下列条件中，一定能推出α//β的是A.//,,mnmnB.//,,mnmnC.,//,//mnmnD.,,mnmn2019长春三模理科数学第2页共12页9．“科技引领，布局未来”科技研发是企业发展的驱动力量.2007年至2018年，某企业连续12年累计研发投入达4100亿元，我们将研发投入与经营收入的比值记为研发投入占营收比.这12年间的研发投入（单位：十亿元）用下图中的条形图表示，研发投入占营收比用下图中的折线图表示.根据折线图和条形图，下列结论错误．．的是A.2012-2013年研发投入占营收比增量相比2017-2018年增量大B.该企业连续12年研发投入逐年增加C.2015-2016年研发投入增值最大D.该企业连续12年研发投入占营收比逐年增加10.函数2()()41xxxeefxx的部分图象大致是11.已知O为坐标原点，抛物线2:8Cyx上一点A到焦点F的距离为6，若点P为抛物线C准线上的动点，则||||OPAP的最小值为A.4B.43C.46D.632019长春三模理科数学第3页共12页12.已知函数1ln,1()11,122xxfxxx≥，若12xx，且12()()2fxfx，则12xx的取值范围是A.[32ln3,)B.[1,)eC.[32ln2,)D.[2,)二、填空题：本题共4小题，每小题5分.13.已知函数()sin()(0)4fxx的最小正周期为，则_____________，若2()210f，则sin2____________.14.已知矩形ABCD，12AB，5BC，以,AB为焦点，且过,CD两点的双曲线的离心率为.15.我国古代数学名著《九章算术·商功》中阐述：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”若称为“阳马”的某几何体的三视图如图所示，图中网格纸上小正方形的边长为1，对该几何体有如下描述：①四个侧面都是直角三角形；②最长的侧棱长为26；③四个侧面中有三个侧面是全等的直角三角形；④外接球的表面积为24.其中正确的描述为.16.已知数列{}na中，12a，1(N)12nnnnaanna，则11nkka.三、解答题：共70份，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.(本小题满分12分)在ABC中，6AB，42AC.（1）若22sin3B，求ABC的面积；（2）若点D在BC边上且2,BDDCADBD，求BC的长.2019长春三模理科数学第4页共12页18.(本小题满分12分)某工厂有两个车间生产同一种产品，第一车间有工人200人，第二车间有工400人，为比较两个车间工人的生产效率，采用分层抽样的方法抽取工人，并对他们中每位工人生产完成一件产品的时间（单位：min）分别进行统计，得到下列统计图表（按照[55,65)，[65,75)，[75,85)，[85,95]进行分组）.（Ⅰ）分别估计两个车间工人中，生产一件产品时间小于75min的人数；（Ⅱ）分别估计两个车间工人生产时间的平均值，并推测哪个车间工人的生产效率更高？（同一组中的数据以这组数据所在的区间中点的值作代表）（Ⅲ）从第一车间样本中生产时间小于75min的工人中随机抽取3人，记抽取的生产时间小于65min的工人人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望.19.(本小题满分12分)如图，等腰梯形ABCD中，ABCD∥,1ADABBC,2CD，E为CD中点,AE与BD交于点O，将ADE沿AE折起，使点D到达点P的位置（P平面ABCE）.(1)证明:平面POB平面ABCE；(2)若直线PB与平面ABCE所成的角为4，求二面角APEC的余弦值.20.(本小题满分12分)如图所示，椭圆2222:1(0)xyCabab离心率为22，1B、2B是椭圆C的短轴端点，且1B到焦点的距离为32，点M在椭圆C上运动，且点M不与1B、2B重合，点N满足11NBMB，22NBMB.（1）求椭圆C的方程；（2）求四边形21MBNB面积的最大值.2019长春三模理科数学第5页共12页21.(本小题满分12分)已知aR，函数2()lnfxaxx.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）若2x是()fx的极值点，且曲线()yfx在两点1122(,()),(,())PxfxQxfx12(6)xx处的切线互相平行，这两条切线在y轴上的截距分别为1b、2b，求12bb的取值范围.（二）选考题：共10分，请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.22.(本小题满分10分)选修4-4坐标系与参数方程选讲在直角坐标系xOy中，直线1l的倾斜角为30且经过点(2,1)A.以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线2:lcos3，从原点O作射线交2l于点M，点N为射线OM上的点，满足||||12OMON，记点N的轨迹为曲线C.（1）求出直线1l的参数方程和曲线C的直角坐标方程；（2）设直线1l与曲线C交于P，Q两点，求||||APAQ的值.23.(本小题满分10分)选修4-5不等式选讲已知函数()|21||1|fxxx.(1)求不等式()4fx≤的解集；(2)设函数()fx的最小值为m，当,,abcR，且abcm时，求212121abc的取值范围.2019长春三模理科数学第6页共12页长春市2019年高三质量监测（三）数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.A【命题意图】本题考查诱导公式.【试题解析】A1sin2102.故选A.2.D【命题意图】本题考查集合运算.【试题解析】D{|12},{0,1}BxxAB.故选D.3.A【命题意图】本题考查复数的运算.【试题解析】A1(1),02aaiza.故选A.4.B【命题意图】本题考查程序框图.【试题解析】B可知.故选B.5.C【命题意图】本题主要考查等差数列的相关知识.【试题解析】C161,5,15daS.故选C.6.A【命题意图】本题主要考查平面向量.【试题解析】A可知.故选A.7.D【命题意图】本题考查条件概率的相关知识.【试题解析】D可知.故选D.8.B【命题意图】本题主要考查空间直线与平面位置关系.【试题解析】B可知.故选B9.D【命题意图】本题考查统计识图能力.【试题解析】D可知ABC正确.故选D.10.B【命题意图】本题主要考查函数性质的相关知识.【试题解析】B确定函数为偶函数，代入特殊值，可排除A，C，当,()xfx.故选B.11.C【命题意图】本题主要考查抛物线的相关知识.【试题解析】C做O点关于准线的对称点M，则所求距离和的最小值为|AM|.故选C.12.C【命题意图】本题主要考查函数与导数的相关知识.【试题解析】C先确定121xx，借助条件等式，用2x表示1x，1212lnxx，得到关于2x的函数关系式122212lnxxxx，通过构造函数并求导确定该函数的单调性求出答案.故选C.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，13题对一个给3分，共20分）13.242,25【试题解析】由周期公式2=T得=2，由2()210f得2sin()410所以1sincos5，平方得11+2sincos25∴24sin22514.32【试题解析】在焦点ABC中，12,5,13ABBCAC∴离心率2||1232||||1352cABeaACBC15.①②④【试题解析】如图长宽高分别为4,2,2，易得①②④正确.16.2534nn【试题解析】由112nnnnaana得112nnnanana（），即2019长春三模理科数学第7页共12页112(1)nnnnaanana，两边同时除以1(1)nnnnaa得1211(1)(1)nnnnnana由累加法得154=2nnnan∴154=2nna为等差数列所以2111(154)53224nkknnnna三、解答题17.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查解三角形的相关知识.【试题解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得：426sinC223，所以sin1C，2C，所以226(42)2BC，所以1242422S.（6分）（Ⅱ）设DCx，则2BDx，则2ADx，所以222222(2)(2)6(2)(42)22222xxxxxxxx解得：523x所以352BCDC.（12分）18.(本小题满分12分)【命题意图】本题考查统计知识及概率相关知识.【试题解析】（Ⅰ）由题意得，第一车间样本工人20人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有6人，第二车间样本工人40人，其中在75min内（不含75min）生产完成一件产品的有40(0.0250.05)1030人，故第一车间工人中有60人，第二车间工人中有300名工人中在75min内生产完成一件产品；（4分）（II）第一车间样本平均时间为60270480109047820x甲（min），第二车间样本平均时间为600.25700.5800.2900.0570.5x乙（min），∵xx甲乙，∴乙车间工人生产效率更高；（8分）（III）由题意得，第一车间样本生产时间小于75min的工人有6人，从中抽取3人，其中生产时间小于65min的有2人，随机变量X服从超几何分布，X可取值为0，1，2，03243641(0)205CCPXC，122436123(1)205CCPXC，21243641(2)205CCPXCX的分布列为：X012P153515数学期望131()0121555EX.（12分）19.(本小题满分12分)【命题意图】本小题以四棱锥为载体，考查立体几何的基础知识.本题考查学生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力.【试题解析】（Ⅰ）证明：在PAE△中，OPAE，在BAE△中，OBAE，AEPOB平面，AEABCE平面，所以平面POB平面ABCE；（4分）（Ⅱ）在平面POB内作PQOBQ，PQABCE平面.QPOECBA2019长春三模理科数学第8页共12页∴直线PB与平面ABCE夹角为4PBQ