8.2古典概率和几何概率

1古典概率和几何概率知识回顾一、几何概率模型1.几何概率模型(1)对于一个随机试验,我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一个点被取到的机会都一样，而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点.这里的区域可以是线段、平面图形、立体图形等.用这种方法处理随机试验,称为几何概型.(2)如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型简称几何概型.2.几何概型的基本特点：(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.3.几何概型的概率公式：)(Ap)()(面积或体积的区域长度试验的全部结果所构成面积或体积的区域长度构成事件A.二、古典概率模型1.古典概率模型特点：(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；(2)每个基本事件出现的可能性相等.2.古典概率模型公式：(1)基本事件总数为n的古典概型中，每个基本事件的概率为n1(2)对于古典概型，任何事件的概率AP=基本事件的总数包含的基本事件的个数A三、古典概型和几何概型的联系和区别联系：是每个基本事件的发生都是等可能的;区别：是古典概型的基本事件是有限的，而几何概型的基本事件是无限的，另外两种概型的概率计算公式的含义也不同.知识运用例1：在长为12cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32cm2的概率为(A)16(B)13(C)23(D)45例2：如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地选一地点,则该地点无信号的概率是(A)41(B)12(C)22(D)412DACBEF2例3：节日前夕，小李在家门前的树上挂了两串彩灯．这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮．那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是A．41B．21C．43D．87设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为x，y，由题意可得0≤x≤4，0≤y≤4，它们第一次闪亮的时候相差不超过2秒，则|x-y|≤2,由几何概型可得所求概率为上述两平面区域的面积之比例4：已知函数4()fxaxx.(1)从区间(2,2)内任取一个实数a，设事件A={函数()2yfx在区间(0,)上有两个不同的零点}，求事件A发生的概率；(2)若连续掷两次骰子(骰子六个面上标注的点数分别为1,2,3,4,5,6）得到的点数分别为a和b，记事件B{2()fxb在(0,)x恒成立}，求事件B发生的概率.答案（1）函数()2yfx在区间(0,)上有两个不同的零点，()20fx，即2240axx有两个不同的正根1x和2x，1212020404160axxaxxaa104a114()416PA（2）由已知：0,0ax，所以4()2fxaxx，即()4fxa，min()4fxa，2bxf在0,x恒成立24ab……()当1a时，1b适合()；当2,3,4,5a时，1,2b均适合()；当6a时，1,2,3b均适合()；满足()的基本事件个数为18312.而基本事件总数为6636，121()363PB.知识巩固1．下列关于几何概型的说法中，错误的是A．几何概型是古典概型的一种，基本事件都具有等可能性B．几何概型中事件发生的概率与它的位置或形状无关C．几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限多个D．几何概型中每个结果的发生都具有等可能性2．在区间(15,25]内的所有实数中随机取一个实数a，则这个实数满足17a20的概率是A.31B.21C.103D.1053．设P为圆周上一定点，在圆周上等可能地任取一点与P连接，则弦长超过半径的概率为A、21B、31C、43D、32如图所示，图中AB＝AC＝OB(半径)，则弦长超过半径，即是动点落在阴影部分所在的扇形圆弧上，由几何概型的概率计算公式，得P＝240πOB1802πOB＝23.故选D.34．将一个长与宽不等的长方形，沿对角线分成四个区域(如图所示)，并涂上四种颜色，中间装个指针，使其可以自由转动，则对指针停留的可能性下列说法正确的是A.一样大B.蓝白区域大C.红黄区域大D.由指针转动圈数决定指针停留在哪个区域的可能性大，即表明该区域的张角大，显然，蓝、白区域大.故选B5．如图所示，四个可以自由转动的转盘被平均分成若干个扇形.转动转盘，转盘停止转动后，有两个转盘的指针指向白色区域的概率相同，则这两个转盘是A.转盘1和转盘2B.转盘2和转盘3C.转盘2和转盘4D.转盘3和转盘4本题考查与面积有关的几何概型，根据每个转盘中白色区域面积与转盘总面积的比值分别计算出指向白色区域的概率，P1＝38，P2＝26＝13，P3＝212＝16，P4＝13，故P2＝P4.6．已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为21，则ABAD=A.21B.41C.23D.477．任取实数a，b1,1，则a，b满足22ab的概率为788．设点)(ba,是区域01001yxyx内的随机点，则满足122ba的概率是69．已知实数ab、满足||||2ab，则使函数2()21fxxax与函数()22gxbxab的图象没有公共点的概率为_________.9.8解析：此题是考查概率中的几何概型问题。求出基本事件所满足的平面区域和满足条件的事件所满足的平面区域是解决本题的关键。由22212()1202yxaxxabxabybxab可得2224()4(12)01ababab，所围成的面积为而||||2ab所围成的面积为8，且圆221ab在正方形||||2ab内,故所求概率为8.10．点M(,)xy在2xy表示的平面区域内，则点M(,)xy满足10xy的概率为0.25411．甲、乙两人约定6时到7时之间在某处会面，并约定先到者应等候另一人一刻钟，过时即可离去，求两人能会面的概率．解析：事件A＝“两人能见面”．以x和y分别表示甲、乙两人到达约定地点的时间，则两人能够会面的充要条件是|x－y|≤15，在如图所示平面直角坐标系下，(x，y)的所有可能结果是边长为60的正方形，而事件A的可能结果由图中阴影部分表示．12．已知集合A}13|{xx，B}032|{xxx(1)求A∩B，A∪B；(2)在区间(4,4)上任取一个实数x，求“xA∩B”的概率；(3)设(a,b)为有序实数对，其中a是从集合A中任意的一个整数，b是从集合B中任取一个整数，求“abA∪B”的概率.1.小波已游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋。游戏规则为以O为起点，再从A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这6个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记住这两个向量的数量积为X，若X0就去打球，若X0就去唱歌，若X0就去下棋(1)写出数量积X的所有可能取值(2)分别求小波去下棋的概率和不．去唱歌的概率解：（1）x的所有可能取值为-2，-1，0，1。（2）数量积为-2的只有25OAOA一种数量积为-1的有15OAOA，1624263435,,,,OAOAOAOAOAOAOAOAOAOA六种数量积为0的有13143646,,,OAOAOAOAOAOAOAOA四种数量积为1的有12234556,,,OAOAOAOAOAOAOAOA四种故所有可能的情况共有15种。所以小波去下棋的概率为1715p因为去唱歌的概率为2415p，所以小波不去唱歌的概率2411111515pp2.设(0,4),(0,4)xy。(1)若**,xNyN，以,xy作为矩形的边长，记矩形的面积为S，求4S的概率；(2)若,xRyR，求这两数之差不大于2的概率。2.（1）若**,xNyN，则(,)xy所有的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），共9个，满足4S的(,)xy所有的结果为（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个。故4S的概率为59。（2）所有结果的区域为{(,)|04,04},xyxy两数之差不大于2的所有的结果的区域为{(,)|04,04,2},xyxyxy则222423().44P