1.5定积分的概念资料

§1.5.1定积分概念一.引例曲边梯形面积曲边梯形:由连续曲线y=f(x),直线x=a,x=b及x轴所围成的图形y=f(x)ab0xy怎样求面积呢？abxyo?A1面积问题曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.二问题的提出)(xfy我们有两个问题要解决，一个是给出面积的定义，一个是找出计算面积的方法。微积分的最大功绩在于，用干净利索的方法解决了这一问题，并用非常有效的方法解决了相当复杂的图形的面积的计算问题。abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）解决问题的基本思路：变“曲”为“直”思想方法（分割）（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条在区间[a,b]中任取若干分点：bxxxxxxxannii11210把曲边梯形的底[a,b]等分成n个小区间：),,3,2,1(1nixxxii的长度记为小区间],[1iixx过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为iAxy0y=f(x)0xa1x3x1ixix1nxbxn2x（2）取近似：将这些细长条近似地看作一个个小矩形xfAfxfxxxxiiiiiiiii)()(,).(),],[11曲边梯形的面积，即面积来近似代替这个小的小矩形长用相应的宽为它所对应的函数值是上任取一点底在第i个小曲边梯形的为（xy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ（3）求和：小矩形的面积之和是曲边梯形面积的一个近似值。把n个小矩形的面积相加得和式xfnii)(1它就是曲边梯形面积A的近似值，即.)(1xfAniixy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ（4）取极限：当分割无限时，所有小矩形的面积之和的极限就是曲边梯形面积A的精确值。小区间长度最大值趋近于零，即0xfnii)(1xxfnii)(1和式的分割越细，就越接近于曲边梯形的面积A，当极限就是A，即xfAniix)(lim10可见，曲边梯形的面积是一和式的极限xy0y=f(x)0xa1x2x1ixix1nxbxnξｉf(ξ)ｉ例2路程问题设某质点作直线运动，速度)(tvv是时间间隔],[21TT上t的一个连续函数，求物体在这段时间内所经过的路程.把整段时间分割成若干小时间段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值．对于匀速运动，我们有公式路程=速度X时间解决变速运动的路程的基本思路（1）分割212101TtttttTnn1iittttvsii)(（3）作和tvsini)(1（4）取极限tvsniit)(lim10路程的精确值(2)取点ti三、定积分的定义定义：设函数y=f(x)在区间[a,b]上有定义。在区间[a,b]中任取分点,113210bxxxxxxxxannii将区间[a,b]等分成n个小区间，其长度为][1iixx，的和式：乘积作上，任取一点，在每个小区间),,2,1()()(][11nixfxxxxiiiiiii1iixxx),,2,1ni（.)(1xfnii,)(dxxfbadxxfxfbaniix)()(lim10如果不论对区间[a,b]采取何种分法及如何选取，当n个小区间的长度最大的趋于零，即时，和式（1）的极限存在，则称函数f(x)在区间[a,b]上可积，并称此极限值为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作0xi即（1）注意baIdxxf)(iinixf)(lim10被积函数被积表达式积分变量积分区间],[ba积分上限积分下限积分和3．定积分的值与积分变量用什么字母表示无关，即有bababaduufdttfdxxf)()()(4．规定：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxfbadxxf)(是一个和式的极限是一个确定的常数注：2.当xfini)(1的极限存在时，其极限值仅与被积函数及积分区间有关，而与区间ba,的分法及i点的取法无关。f(x)[a,b]曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成.badxxfAbaxfA)(],[)(即上的定积分，在区间等于函数其面积abxyo曲边梯形的面积baAdxxf)(,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积,0)(xfbaAdxxf)(曲边梯形的面积的负值四.定积分的几何意义abxyooyabx几何意义积取负号．轴下方的面在轴上方的面积取正号；在数和．之间的各部分面积的代直线的图形及两条轴、函数它是介于xxbxaxxfx,)(1A2A3A321)(AAAdxxfbaxyobadxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.注意：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,性质3性质：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf补充:A.与区间及被积函数有关；B.与区间无关与被积函数有关C.与积分变量用何字母表示有关；D.与被积函数的形式无关)(xfy在ba,上连续，则定积分badxxf)(的值4.223sintdt中，积分上限是积分下限是积分区间是2.及x轴所围成的曲边梯形的面积，用定积分表示为12xy与直线3,1xx1.由曲线举例dxx)1(2312-2[-2,2]0A222)1(dxx3.定积分应用例1.用定积分表示图中四个阴影部分面积积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图①中，被积函数（,0)(]0[)(12xfaxxf解：dxxAa200000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图②中，被积函数（,0)(]21[)(22xfxxf解：dxxA2210000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④积为义，可得阴影部分的面根据定积分的几何意上连续，且，在）在图③中，被积函数（,0)(][1)(3xfbaxf解：dxAba0000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④ab拓展：)(abkkdxba可得阴影部分的面积为根据定积分的几何意义，上，在上，上连续，且在，在）在图④中，被积函数（0)(]20[,0)(]01[]21[1)1()(42xfxfxxf解：dxxdxxA]1)1[(]1)1[(2202010000ayxyxyxyxf(x)=x2f(x)=x2-12f(x)=1ab-12f(x)=(x-1)2-1①②③④成立。说明等式利用定积分的几何意义0sin22xdx例2：解：所以并有上，在上，上连续，且在，在在右图中，被积函数,,0sin]20[,0sin]02[]22[sin)(21AAxxxxf0)(1222AAdxxf222A1Axyf(x)=sinx1-1xdxxdxcos,1cos2220求已知总结：当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.练习：总结：当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.证,)()()(00aaaadxxfdxxfdxxf在0)(adxxf中令tx,利用定积分的几何意义，判断下列定积分值的正、负号。20sinxdx212dxx利用定积分的几何意义，说明下列各式。成立：0sin20xdx200sin2sinxdxxdx1）．2）.1）．2）.练习：试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。0yxy=x2120xy=f(x)y=g(x)aby例3利用定义计算定积分.102dxx解将]1,0[n等分，分点为nixi，(ni,,2,1)小区间],[1iixx的长度nxi1，(ni,,2,1)取iix，(ni,,2,1)iinixf)(1iinix21,12iniixx(1)分割（2）取点（3）求和nnini121niin12316)12)(1(13nnnn,121161nnnx0dxx102xinix210limnnn121161lim.31（4）求极限例2dxx1021计算积分义知，该积分值等于解：由定积分的几何意的面积（见下图）所围及轴，曲线10,12xxxxyx1y面积值为圆的面积的4141102dxx所以１定积分的实质：和式的极限．２定积分的思想方法：求近似以直（不变）代曲（变）取极限取点、求和积零为整分割化整为零取极限精确值——定积分小结dxxfxfbaniix)()(lim10是一个确定的常数，只与区间和函数有关dxxfba)(.1A-A0)(xf0)(xfA表示以y=f(X)为曲边的曲边梯形面积ababy=f(x)0y=f(x)0xxyy00AA3.几何意义321)(AAAdxxfba则2.如果f(x)在[a,b]上时正，时负，如下图3.结论：的代数和表示积的值都可用曲边梯形面dxxfba)(几何意义abxyy=f(x)2A1A3A0badxxgxf)]()([badxxf)(badxxg)(.（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）性质1babadxxfkdxxkf)()((k为常数).性质2badxxf)(bccadxxfdxxf)()(.注意：不论的相对位置如何,上式总成立.cba,,性质34性质：abbadxxfdxxf)()(0)(aadxxf补充:)(abkkdxba性质4当)(xf在],[aa上连续，且有①)(xf为偶函数，则aaadxxfdxxf0)(2)(；②)(xf为奇函数，则aadxxf0)(.