2020年高中数学(理)一轮复习必考题型探究课件：第三章-导数及其应用-13

第三章导数及其应用第13节导数的概念及运算考纲呈现1．了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝1x，y＝x的导数．3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，并能利用复合函数的求导法则求简单复合函数的导数，并对导数的几何意义和物理意义做充分理解.诊断型·微题组课前预习·诊断双基1．导数与导函数的概念(1)一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0fx0＋Δx－fx0Δx，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作，即f′(x0)＝limΔx→0ΔyΔx＝.(2)如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点处都有导数，其导数值在(a，b)内构成一个新函数，这个函数称为函数y＝f(x)在开区(a，b)间内的导函数．记作f′(x)或y′.f′(x0)或y′|x＝x0limΔr→0fx0＋Δx－fx0Δx2．导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k，即k＝．f′(x0)3．基本初等函数的导数公式基本初等闲数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝f(x)＝xα(α∈Q)f′(x)＝f(x)＝sinxf′(x)＝f(x)＝cosxf′(x)＝f(x)＝exf′(x)＝f(x)＝ax(a0，a≠1)f′(x)＝f(x)＝lnxf′(x)＝f(x)＝logax(a0，a≠1)f′(x)＝0αxα－1cosx－sinxexaxlna1x1xlna4.导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有(1)[f(x)±g(x)]′＝；(2)[f(x)·g(x)]′＝；(3)fxgx′＝(g(x)≠0)．f′(x)±g′(x)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)f′xgx－fxg′x[gx]25．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝，即y对x的导数等于的导数与的导数的乘积．yu′·ux′y对uu对x1．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过点P的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．(2018天津测试)设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝3，则x0＝()A．e2B．eC．ln22D．ln2【答案】A【解析】f′(x)＝lnx＋x·1x＝1＋lnx，∵f′(x0)＝3，∴1＋lnx0＝3，即lnx0＝2，∴x0＝e2，故选A.2．(2018贵州贵阳二模)过点(－1,0)作抛物线y＝x2＋x＋1的切线，则其中一条切线为()A．2x＋y＋2＝0B．3x－y＋3＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0【答案】D【解析】y′＝2x＋1，设切点坐标为(x0，y0)，则切线的斜率为2x0＋1，且y0＝x20＋x0＋1，于是切线方程为y－x20－x0－1＝(2x0＋1)(x－x0)，因为点(－1,0)在切线上，可解得x0＝0或－2.当x0＝0时，y0＝1；当x0＝－2时，y0＝3，这时可以得到两条直线方程，验证D正确．故选D.3．(选修2－2P19B组T2改编)曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线与y轴交点的纵坐标是()A．－9B．－3C．9D．15【答案】C【解析】因为y＝x3＋11，所以y′＝3x2，所以y′|x＝1＝3，所以曲线y＝x3＋11在点P(1,12)处的切线方程为y－12＝3(x－1)．令x＝0，得y＝9，故选C.4．(选修2－2P3例题改编)在高台跳水运动中，ts时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10，则运动员的速度v＝________，加速度a＝________.【答案】－9.8t＋6.5－9.8【解析】v＝h′(t)＝－9.8t＋6.5，a＝v′(t)＝－9.8.形成型·微题组归纳演绎·形成方法导数的运算求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(x－2)2；(3)y＝x－sinxcosx.【解】(1)∵y＝(2x2＋3)(3x－1)，∴y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9；(2)∵y＝(x－2)2，∴y′＝2(x－2)(x－2)′＝2(x－2)·12x＝1－2x；(3)∵y＝x－sinxcosx＝x－12sin2x，∴y′＝1－12(2x)′cos2x＝1－12xcos2x.微技探究1．求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．2．复合函数求导时，先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元．(2018石家庄模拟)分别求下列函数的导数：(1)y＝sin2x2；(2)y＝ln2x＋1x.【解】(1)∵y＝sin2x2＝12(1－cosx)＝12－12cosx，∴y′＝－12(cosx)′＝－12·(－sinx)＝12sinx.(2)y′＝ln2x＋1x′＝[ln2x＋1]′x－x′ln2x＋1x2＝2x＋1′2x＋1·x－ln2x＋1x2＝2x2x＋1－ln2x＋1x2＝2x－2x＋1ln2x＋12x＋1x2.导数的几何意义命题角度1求切线方程(2019威海质检)已知函数f(x)＝xlnx，若直线l过点(0，－1)，并且与曲线y＝f(x)相切，则直线l的方程为()A．x＋y－1＝0B．x－y－1＝0C．x＋y＋1＝0D．x－y＋1＝0【答案】B【解析】∵点(0，－1)不在曲线f(x)＝xlnx上，∴设切点为(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋lnx，∴y0＝x0lnx0，y0＋1＝1＋lnx0x0，解得x0＝1，y0＝0.∴切点坐标为(1,0)，∴f′(1)＝1＋ln1＝1.∴直线l的方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.命题角度2求参数的值(2018天津西青区模拟)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－2【答案】B【解析】设切点为(x0，y0)，由y′＝1x＋a，则有y0＝x0＋1，1x0＋a＝1，y0＝lnx0＋a，解得x0＝－1，y0＝0，a＝2.命题角度3导数与函数图象(2018广东、江西、福建三省十校联考)已知f(x)＝14x2＋sinπ2＋x，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是()【答案】A【解析】∵f(x)＝14x2＋sinπ2＋x＝14x2＋cosx，∴f′(x)＝12x－sinx，它是一个奇函数，其图象关于原点对称，故排除B，D，又f″(x)＝12－cosx，当－π3＜x＜π3时，cosx＞12，∴f″(x)＜0，故函数y＝f′(x)在区间－π3，π3上单调递减，故排除C.故选A.微技探究导数的几何意义是切点处切线的斜率，应用时主要体现在以下几个方面：(1)已知切点A(x0，f(x0))求斜率k，即求该点处的导数值k＝f′(x0)．(2)若求过点P(x0，y0)的切线方程，可设切点为(x1，y1)，由y1＝fx1，y0－y1＝f′x1x0－x1求解即可．(3)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况．1.(2018皖南八校联考)函数f(x)＝lnx－2xx的图象在点(1，－2)处的切线方程为()A．2x－y－4＝0B．2x＋y＝0C．x－y－3＝0D．x＋y＋1＝0【答案】C【解析】由f′(x)＝1－lnxx2，则f′(1)＝1，故该切线方程为y－(－2)＝x－1，即x－y－3＝0.2.(2018贵州遵义联考)已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝12x2＋mx＋72(m＜0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1))，则m的值为()A．－1B．－3C．－4D．－2【答案】D【解析】∵f′(x)＝1x，∴直线l的斜率为k＝f′(1)＝1.又f(1)＝0，∴直线l的方程为y＝x－1.g′(x)＝x＋m，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0＋m＝1，y0＝x0－1，又y0＝12x20＋mx0＋72，m＜0，解得m＝－2.故选D.3.(2018徐州模拟)如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1B．0C．2D．4【答案】B【解析】由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，即f′(3)＝－13.又g(x)＝xf(x)，所以g′(x)＝f(x)＋x·f′(x)，所以g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，由题图可知f(3)＝1，所以g′(3)＝1＋3×－13＝0.故选B.易错警示求曲线切线方程考虑不周致误【典例】(2018届浙江杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是()A．1B．164C．1或164D．1或－164【易错分析】(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况．(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义联系起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻．【答案】C【解析】易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，f′(x)＝3x2－6x＋2.(1)当O(0,0)是切点时，k＝f′(0)＝2，∴切线方程为y＝2x与y＝x2＋a联立，得x2－2x＋a＝0，由题意Δ＝0，即4－4a＝0，∴a＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x20－6x0＋2.①又k＝y0x0＝x20－3x0＋2，②由①②联立，得x0＝32(x0＝0舍去)，∴k＝－14.∴所求切线l的方程为y＝－14x.由y＝－14x，y＝x2＋a，得x2＋14x＋a＝0.依题意，得Δ＝116－4a＝0，∴a＝164.综上，a＝1或a＝164.微技探究1．求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异．2．熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．函数y＝lnx(x0)的图象与直线y＝12x＋a相切，则a等于()A．2ln2B．ln2＋1C．ln2D．ln2－1【答案】D【解析】设切点为(x0，y0)，且y′＝1x，∴y′＝1x0＝12，则x0＝2，y0＝ln2.又点(2，ln2)在直线y＝12x＋a上，∴ln2＝12×2＋a.∴a＝ln2－1.故选D.目标型·微题组瞄准高考·使命必达1．(2018全国Ⅰ，5)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x【答案】D【解析】∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y