高等数学公式定理整理

高等数学公式定理整理1.01版本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。蓝色为定理红色为公式三角函数恒等公式：两角和差tanαanα·ta+tanβanβ)-(tanα=β)-tan(αtanαanα·ta-(1tanβa+(tanα=β)+tan(αcosαosα·s±sinαinα·c=β)±sin(αsinαinα·s+cosαosα·c=β)-cos(αβsinαsinβcosαcos)βαcos(和差化积]2β)-(α]sin[2β)+(α-2sin[=cosβ-cosα]2β)-(α]cos[2β)+(α2cos[=cosβ+cosα]2β)-(α]sin[2β)+(α2cos[=sinβ-sinα]2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sinβ+sinα积化和差β)]-cos(α-β)+[cos(α21-=sinαinα·sβ)]-cos(α+β)+[cos(α21=cosαosα·cβ)]-sin(α-β)+[sin(α21=cosαosα·sβ)]-sin(α+β)+[sin(α21=sinαinα·c倍角公式（部分）：很重要！αtan-1αtan2=tan2αα2sin-1=1-α2cos=αsin-αcos=α2coscotαo+(tanα2=2sinαsinα·=sin2α22222一、函数函数的特性：1.有界性：假设函数在D上有定义，如果存在正数M，使得对于任何的x∈D都满足|f(x)|≤M。则称f（x）是D的有界函数。如果正数M不存在，则称这个函数是D上的无界函数。2.单调性设f（x）的定义域为D，区间ID。X1，x2∈I，那么，如果x1x2,那么就是单调增加函数；如果x1x2,那么就是单调减少函数。3.奇偶性如果f(-x)=f(x),那就成为偶函数，如果f(-x)=-f(x)，那就是奇函数。4.周期性设函数的定义域为D，若存在不为零的数T，使得任一x∈D有（x±T）∈D，且f（x±T）=f（x）总是成立，就称该函数为周期函数，如sinx，cosx，它们就是以2π为周期的周期函数。反函数：就是用自变量X来表示原函数Y，如下列式子：原函数f(x)=x+5，它的反函数为x=f(x)-5,也就是f（x）=x-5；复合函数和初等函数：重要！：六个基本初等函数是：幂函数（xa）,指数函数（ax），对数函数（logax，lgx【log10x】，lnx【logex】），三角函数（sinx，cosx，tanx，ctnx，secx，cscx），反三角函数（常见反三角函数为arcsinx，arccosx，arctanx）复合函数就是初等函数，初等函数是基本初等函数经过有限次的运算后得到的，分段函数不是初等函数。二、极限与连续极限就是一个数无限趋近于一个值，函数极限就是函数无限趋近于一个值，用limx→x0f（x）=A如何得知一个函数有极限？算出左极限和右极限。并且左右极限相等。极限运算法则limx→x0[f（x）±g(x)]=limx→x0f（x）±limx→x0g（x）=A±Blimx→x0[cf（x）]=climx→x0f（x）=cAlimx→x0f（x）·limx→x0g（x）=limx→x0f（x）·g（x）=A·B)(lim)(lim)()(lim000xgxxxfxxxgxfxx=BA（B≠0）n00)](lim[)]([limAxfxxxfxxnnnnnAxfxxnfxx)(lim)(lim00重要！：两个重要极限1.夹逼准则如果xn，yn，zn满足xn≤yn≤zn那么axnlimznlimynlimnnn这就是夹逼准则。2.1x1x1sinxlimxsinx0xlim或者图1如图1，∠AOC=x（0x2/π），由于|BD|=x，弧BC=x，|CA|=tanx且△OBC面积＜扇形OBC面积＜△AOC面积，于是有：xxxtan2121sin21化简xxtansinx两边同时除以sinx1sincosxcossin1sintansin1xxxxxxxxx即即根据夹逼准则得出10limsin0limcos0limxxxxxx所以1xsinx0xlim3.ex11xlimex10xlimxx1）（或）（（这是标准公式，题目有类似的把它转换成标准公式即可）4.无穷大量和无穷小量（1）性质1，无穷小量和有界函数的积仍为无穷小量（2）性质2，两个无穷小量之积仍为无穷小量（3）性质3，两个无穷小量的代数和仍为无穷小量定理1，在自变量变化过程中，函数有极限的充分必要条件是函数可写成常数和无穷小量的和。定理2，b与a是等价无穷小的充分必要条件为b=a+o（a）定理3,设a~a’,b~b’，且limb’/a’存在，则lima/b=lima’/b’。无穷小量的比较：高阶无穷小0ablim低阶无穷小ablim同阶无穷小0ablimC等价无穷小1ablim其中等价无穷小可运用到极限运算中（加减关系不能用，乘除关系可以用，且x趋于0）等价公式：当x→0时，sinx~x，tanx~x，arcsinx~x，arctanx~x，1-cosx~(1/2)*（x^2）~secx-1，（a^x）-1~x*lna(（a^x-1)/x~lna)，（e^x）-1~x，ln(1+x)~x，(1+Bx)a-1~aBx，[(1+x)1/n]-1~（1/n）*x，loga(1+x)~x/lna，（1+x)a-1~ax(a≠0)，5.连续定义设函数f（x）在x0的某个去心邻域内有定义，若lim（△x→0）△y=0，则称函数f（x）在x0这个点连续。条件：（1）f（x0）有定义，有数值；（2）lim（x→x0）有极限，（3）且左右极限相等；才连续。左右连续和左右极限相同，如图：)()(xxlim)()(xxlim00xfxfxfxf就是说只有左右连续相等，且有定义，那么才连续。（1）间断点根据函数连续的定义，可以分成四个间断点。可去间断点：左右极限存在且相等，但是却没有定义。跳跃间断点：左右极限存在却不相等，在该点有（无）定义。震荡间断点：极限不存在，函数值在几个数之间摇摆。无穷间断点：在区间内极限区域无穷大。闭区间连续函数的性质：1、[a,b]区间里连续函数，必定存在最小值和最大值；2、函数f（x）在[a,b]区间连续，则在[a,b]必定有界；3、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)=A,f(b)=B,又A≠B，C是介于A，B的一个值，则必定存在一个点ξ，使得f（ξ）=C；4、若函数f(x)在[a,b]连续，且f(a)，f(b)异号，则一定存在一个x0∈（a，b），使得f（x0）=0；三、导数导数的几何意义就是f(x)在x点函数的切线的斜率；求某一点的导数000)()(lim)('xxxfxfxxxf连续不一定可导，可导一定连续；导数的求导公式：1.y=c(c为常数)y'=02.y=xny'=nx(n-1)3.y=axy'=axlnay=exy'=exy=lnxy'=1/x5.y=sinxy'=cosx6.y=cosxy'=-sinx7.y=tanxy'=1/cos2x8.y=cotxy'=-1/sin2x9.y=arcsinxy'=1/√1-x210.y=arccosxy'=-1/√1-x211.y=arctanxy'=1/1+x212.y=arccotxy'=-1/1+x2函数的求导法则：2)]([)]()[()()]'([]')()([)]()[()()]'([)]'()([)]'([)]'([)]'()([xgxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxfxgxf复合函数求导法则：链式法则：依次循环dxdu·dudydxdy例：111)(')'1()(')(xxxexfxexfexf隐函数求导法：（1）两端同时求导yxdxdyxdxdyydxdyyxydxdxdxddxdyxdxdyx220222525)(25222222求导整理（2）等式两端取对数1.先将等式两边取自然对数；2.对等式两边求导；参数方程求导法：罗尔定理：[a,b]连续，(a,b)可导，且f(a)=f(b),则有一个数ξ，使得f’(ξ)=0。拉格朗日定理：[a,b]连续，(a,b)可导，则(a,b)至少有一点ξ，使得f(b)-f(a)=f’(ξ)(b-a)即)ξ(')()(fabafbf罗必塔法则，求极限，如果函数的关系诸如00或者的未定式，可以直接对分子分母求导运算。如果是0·∞时可通过·011·0·0来求。如果是0-0或∞-∞可以通分来求。函数的单调性和极值：四步走：1.求定义域；2.求导；3.在定义域中求一阶导数为0的点（驻点）；4.列表说明单调增减函数的凹凸率，1.求定义域；2.求二阶导；3.求定义域中二阶导为0的点（拐点）；4.根据拐点和定义域列表。二阶导为正数则是凹，为负数则是凸；四、不定积分不定积分和导数是逆运算关系；不定积分求法分三种：直接积分（直接使用基本公式求）；第一类换元积分（用一个字母代替变量，如：cxxxd2sin22cosxdx2cos）；第二类换元积分法（当被积函数中有诸如bxax这样的根式，可令根式为u，然后依次往下，带入原式）；分部积分法：duvuvudv五、定积分1.求定积分上限函数和下限函数分；符号倒过来变成上限积就是求下限积分时，把下限函数）（上限函数)]'(2[2tdt'xx22tdt1x1xxx2.牛顿拉布尼茨公式（用不定积分的公式求，最后不加常数c）3.广义积分（积分上（下）限无穷和瑕积分）（1）积分区间的无穷区间即求广义积分的敛散性，如果；所以这个积分是收敛的则是发散；如例题：可以称为收敛，反之，如果他们极限存在，则1]1[][limelimexdxxdxxdxxdxxdx000axaxaalimlimxxxxxxxeedxdx（2）瑕积分（在无穷间断点的广义积分）的敛散性；讨论广义积分112x1dx这题可别被外表蒙蔽，因为函数极限在f（0）外连续，在f（0）处无定义201limxx，所以x=0是被积函数的无穷间断点；于是：；所以，该函数是发散的是偶函数因为函数]11[lim]x1[limx1lim)x1(x1x10x10x0120x2012112dxdxdx六、微分方程1.可分离变量的通解，直接计算2.齐次方程通解，用u代替xy3.一阶线性非齐次方程的通解形如0)(q)()('xxqyxpy备注])([ey)()(cexqdxxpdxxp附：一阶线性齐次方程的通解cdxxp)(ey4.可降解二阶微分方程通解，依次计算，）令（依次降阶计算，令，要有两个常数连续积分两次，注意，dxduu''yu'y,'y'y',u''y'uy'x),(y''y'c2c1)(''yxy5.二阶线性齐次方程通解形如0)(')(''yxqyxpy参数方程求法;r21r0)()(2，解一元二次方程组，得xqrxpr如果r1，r2是不相同的两个实数根（单根），那么xrxreCeCy2121如果r1，r2是两个相同的实数根（重根），那么rxexCC)21(y如果r1，r2是两个非实数根（共轭复数根），那么)sin2cos1(bxCbxCeybiarax二阶线性非齐次微分方程的通解二阶线性非齐次方程的通解等于对应二阶线性齐次方程的通解加上二阶线性废非弃次方程的特解yYy二阶线性非齐次方程的特解：自由项)()(xPxfn的特解Pn*(x)=xkQ(x)eλxQ（x）：看他是多少次的，例如二次就是Ax2+Bx+C，一