勾股定理及二次根式综合复习(含答案)

勾股定理及二次根式复习一、知识梳理：（一）勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。2.勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。）*附：常见勾股数：3,4,5；6,8,10；9,12,15；5,12,133.判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形；（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。5.勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边；（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系；（3）用于证明线段平方关系的问题；（4）利用勾股定理，作出长为n的线段.（二）二次根式：1.二次根式的概念：形如a（a≥0）的式子叫做二次根式（二次根式中，被开方数一定是非负数，否则就没有意义，并且根式a0）2.最简二次根式：同时满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式（分母中不含根号）；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．这样的二次根式叫做最简二次根式．3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式．4．二次根式的性质：①aa00（）②()aaa20（）③aaaaaaa20000||（）（）（）④ababab（，）00⑤babaab（，）005．分母有理化及有理化因式：把分母中的根号化去，叫做分母有理化；两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则称这两个代数式互为有理化因式．6.二次根式的运算（1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式．（3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．（4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算．7.使分母不带根号（分母有理化）常用方法：①化去分母中的根号关键是确定与分母相乘后，其结果不再含根号的因式。i.形如ba的式子，利用()aa2，分子、分母同乘以a得babaabaa()2ii.形如cabcaxby或的式子利用平方差公式，分子、分母同时乘以abaxby或（）得cabcababcaxbycaxbyaxby()()222或注意：分子、分母同时所乘以的式子必须不为0。即如：xyxyxyxyxyxyxy()()()()，这样运算不一定正确，因为xy有可能为0。②化去分母中的根号，有时通过约分来解决如：xyxyxyxy（且，）00()()xyxyxyxy二、知识梳理：例1、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，设AB=c，AC=b，BC=a，CD=h。求证：（1）222111hba；（2）hcba；（3）以hchba，，为三边的三角形是直角三角形.及时练习：1、在ABC中，若2a=（b+c）（b-c），则ABC是三角形.2、在ABC中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC的长为.例2、如图①，一个无盖的正方体盒子的棱长为10厘米，顶点C1处有一只昆虫甲，在盒子的内部顶点A处有一只昆虫乙．（盒壁的厚度忽略不计）（1）假设昆虫甲在顶点C1处静止不动，如图①，在盒子的内部我们先取棱BB1的中点E，再连接AE、EC1．虫乙如果沿路径A-E-C1爬行，那么可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲．仔细体会其中的道理，并在图①中画出另一条路径，使昆虫乙从顶点A沿这条路径爬行，同样可以在最短的时间内捕捉到昆虫甲；（请简要说明画法）（2）如图②，假设昆虫甲从顶点C1，以1厘米/秒的速度在盒子的内部沿棱C1C向下爬行，同时昆虫乙从顶点A以2厘米/秒的速度在盒壁上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？（精确到1秒）DABC解：（1）画出图①中A⇒E2⇒C1，A⇒E3⇒C1，A⇒E4⇒C1中任意一条路径；（E1、E2、E3分别为各棱中点）（2）由（1）可知，当昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙可以沿下列四种路径中的任意一种爬行：可以看出，图②-1与图②-2中的路径相等，图②-3与图②-4中的路径相等．①设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E→F爬行捕捉到昆虫甲需x秒钟，如图②-1-1，在Rt△ACF中，（2x）2=（10-x）2+202，解得x=10；设昆虫甲从顶点C1沿棱C1C向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径A→E2→F爬行捕捉到昆虫甲需y秒钟，如图②-1-2，在Rt△ABF中，（2y）2=（20-y）2+102，解得y≈8；所以昆虫乙从顶点A爬行捕捉到昆虫甲至少需8秒钟．及时练习：1、如图，在四边形ABCD中，AC=BD=6，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则EG2+FH2=.如图，连接EF，FG，GH，EH，EG与FH相交于点O。∵E、H分别是AB、DA的中点，∴EH是△ABD的中位线。∴EH=12BD=3。同理可得EF=GH=12AC=3，FG=12BD=3。∴EH=EF=GH=FG=3。∴四边形EFGH为菱形。∴EG⊥HF，且垂足为O。∴EG=2OE，FH=2OH。在Rt△OEH中，根据勾股定理得：OE2+OH2=EH2=9。等式两边同时乘以4得：4OE2+4OH2=9×4=36。∴（2OE）2+（2OH）2=36，即EG2+FH2=36。DCBAFE2、如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm、3dm、2dm，A和B是这个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是25分米.x2=202+[（2+3）×3]2=252例3、如图，在长方形ABCD中，DC=5，在DC边上存在一点E，沿直线AE把△ABC折叠，使点D恰好在BC边上，设此点为F，若△ABF的面积为30，求折叠的△AED的面积.解：由折叠的对称性，得AD=AF，DE=EF．由S△ABF=12BF•AB=30，AB=5，得BF=12．在Rt△ABF中，由勾股定理，得AF＝13．所以AD=13．设DE=x，则EC=5-x，EF=x，FC=1，在Rt△ECF中，EC2+FC2=EF2，即（5-x）2+12=x2．解得x＝135.故S△ADE＝12AD•DE＝12×13×135＝16.9(cm2)．及时练习：1、如图所示，在RtABC中,90,,45BACACABDAE,且3BD,4CE,求DE的长.5DEDF设BF=x，b2+x2=（a-x）2，∴x=222aba．∴S=2S△ABF=2×12bx=2×12·b·222aba=22()2baba．2、把一张长方形纸片ABCD折叠起来，使其对角顶点A、C重合，若其长BC为a，宽AB为b，则折叠后不重合部分的面积是.例4、若0＜x＜1，化简4)1(2xx－4)1(2xx.及时练习：1、实数a，b，c，如图所示，化简2a－│a－b│+2()bc=__c____．oc1-1baABCACB862、已知ab0，a+b=6ab，求abab的值.解：∵ab0，∴（a+b）2=a+b+2ab=8ab，（a－b）2=a+b－2ab=4ab∴22()412,22()8abababababab例5、计算：（1）2222dcabdcab；（a、b、c为正数，d为负数）；（2）（235）（235）；（3）（a2mn－mabmn＋mnnm）÷a2b2mn.三、巩固提高：1、已知,0)10(8262cba则以a、b、c为边的三角形是.2、一架长2.5m的梯子，斜立在一竖起的墙上，梯子底端距离墙底0.7m（如图），如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动米3、如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙面上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离1米，（填“大于”，“等于”，或“小于”）4、如图，梯子AB斜靠在墙面上，AC⊥BC，AC=BC，当梯子的顶端A沿AC方向下滑x米时，梯足B沿CB方向滑动y米，则x与y的大小关系是（）A.yxB.yxC.yxD.不能确定5、小明想知道学校旗杆的高度，他发现旗杆上的绳子吹到地面上还多1m，当他把绳子的下端拉开5米后，发现绳子下端刚好触到地面，试问旗杆的高度为米设直角三角形的两直角边为a、b，根据题意列方程得：2222,226abab即224,6.abab12ab=12．∴S=126、已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，则这个三角形的面积为12．7、如上图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个得到，可得△ABC，则边AC上的高为（）①②A.223B.5103C.553D.5548、如图，点P是正△ABC内的点，且PA=6，PB=8，PC=10，若将△PAC绕点A旋转后，得到△ABP'，则点P与点P’之间的距离为，∠APB=.9、当22aa有意义时，a的取值范围是（）A．a≥2B．a＞2C．a≠2D．a≠－210、已知233xx＝－x3x，则………………（）（A）x≤0（B）x≤－3（C）x≥－3（D）－3≤x≤011、对于二次根式92x，以下说法不正确的是（）A．它是一个正数B．是一个无理数C．是最简二次根式D．它的最小值是312、把aba123分母有理化后得（）A．b4B．b2C．b21D．bb213、若ba是二次根式，则a，b应满足的条件是（）A．a，b均为非负数B．a，b同号C．a≥0，b0D．0ba14、计算：ababba1等于（）A．abab21B．abab1C．abb1D．abb15、若x＜y＜0，则222yxyx＋222yxyx＝（）A.2xB.2yC.－2xD.－2y16、化简aa3(a＜0)得（）A.aB.－aC.－aD.a17、当a＜0，b＜0时，－a＋2ab－b可变形为（）A.2)(baB.－2)(baC.2)(baD.2)(ba18、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=.解：作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA