任意角的三角函数定义

任意角的三角函数定义教学目标：知识目标：通过任意角三角函数的两种定义的学习，使学生理解一些特殊角三角函数的求法，掌握特殊角三角函数值及其简单的综合运算能力目标：会求特殊角三角函数的正弦、余弦、正切的值，能熟记特殊角三角函数值，培养学生的基本运算能力情感目标：通过学习使学生逐步树立数形结合的数学思想，激发学生学习的兴趣教学重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号）；教学难点：1.解题过程中如何应用任意角的三角函数的两种定义解题2.如何利用任意角的正弦、余弦、正切的定义求任意角的各个三角函数值教学过程：（一）自主学习问题1：将点取在使线段OP的长1r的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数为：sinMPOP；cosOMOP；如图，设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)Pxy，那么：（1）叫做的正弦(sine)，记做sin；（2）叫做的余弦(cossine)，记做cos；（3）yx叫做的正切(tangent)，记做tan.即：siny，cosx，tan=yx试试：角34与单位圆的交点坐标为，则3sin4，3cos4，反思：yP（a，b）rOM①当()2kkZ时，α的终边在轴上，终边上任意一点的横坐标x都等于，所以无意义.②如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢?在直角坐标系中，设α是一个任意角，α终边上任意一点P（除了原点）的坐标为(,)xy，它与原点的距离为2222(||||0)rrxyxy，则：sinyr；cos=；想想：由于角的集合与实数之间可以建立一一对应关系，三角函数可以看成是以实数为自变量的函数，即实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)也就是说，三角函数是以角(实数)为自变量，以比值为函数值的函数.既然是研究函数，那么就要从函数最主要的内容——三要素入手，而其中又以定义域和对应法则更重要，三角函数的对应法则我们可以由解析式中直接看出.下面我们研究各个函数的定义域.：这几函数的定义域并不难求，只是同学们一定要明确，函数的自变量是角.定义域由同学们一一做答：(教师板书)y=sin∈Ry=cos∈Ry=tan≠2,（二）师生互动例1：求53的正弦、余弦和正切值.变式：求56的正弦、余弦和正切值.小结：作角终边→求角终边与单位圆的交点→利用三角函数定义来求.例2：已知角的终边经过点P(2，－3)(如图)，求的正弦、余弦和正切值.变式：已知角的终边经过P(4,3)，求2sin+cos的值.例3：求函数y＝－cosx＋sinx的定义域．[解析]要使函数有意义，则需－cosx≥0sinx≥0，即2kπ＋π2≤x≤2kπ＋32π(k∈Z)2kπ≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，∴2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π(k∈Z)，∴函数的定义域为{x|2kπ＋π2≤x≤2kπ＋π，k∈Z}．（三）巩固练习1.tan()4（）.A.1B.1C.22D.222.7sin6（）.A.12B.12C.32D.323.如果角α的顶点在原点，始边在x轴的正半轴重合，终边在函数5(0)yxx的图象上，那么tan的值为（）.A.5B.－5C.15D.154.cos(30)。5.已知点(3,4)Paa(0)a在角α的终边上，则tan=。6.已知角的终边过点0(3,4)P，求角的正弦、余弦和正切值。7.（1）0；（2）π；（3）32；（4）2.8．求函数y＝|sinx|sinx＋cosx|cosx|＋|tanx|tanx的值域。（四）教学反思每一种方法都有它的适用前提和范围，这就要求我们要根据题意找到一种更适合的方法将问题解决。结合每道题目的特征活学活用，多角度分析，寻求解题思路。（五）课堂小结学生总结：1．本节课我们学习了任意角三角函数的哪几种定义？分别是怎么定义的？2．通过学习任意角三角函数的两种定义学会了哪几种题型的做法？教师简单总结：本节课的重点和难点就是任意角三角函数的定义，而其余内容均是关于任意角的函数的定义的应用，所以对于这一定义，不仅安排了复习锐角的三角函数，而且还安排了三道应用定义的例题，此外，三角函数与同学们以往所学过的函数从形式上看区别很大，有的学生可能一时找不对自变量，所以，我们着重注意强调了三角函数的自变量是角，并在此基础上，应用新学的任意角三角函数的定义，求出各个三角函数的定义域.（六）课后作业1.已知角α的终边经过(2,3)tt（0t），求sin,cos的值。2.已知角α的终边在直线y＝2x上，求α的正弦、余弦、正切值。3.已知是第三象限角，试判断sin(cos)cos(sin)的符号。