比的知识点

一、主要内容：比的意义和基本性质、按比例分配问题二、学习目标：1、了解比的意义，掌握比的读、写方法，知道比的各部分名称以及比与分数、除法的关系。2、理解并掌握比的基本性质，能应用比的意义和基本性质求比值、化简比，能应用比的知识解答按比例分配的实际问题。3、经历比的概念的抽象过程，经历探索比与分数、除法的关系以及比的基本性质的过程，积累数学活动的经验，进一步体会数学知识之间内在联系，培养观察、比较、抽象、概括以及推理的能力。三、考点分析：1、两个数相除又叫做两个数的比。如：3÷2也就是3:2。比的前项除以后项所得的商叫做比值。比值通常用分数表示，也可以用小数表示，有时也可以是整数。3:2的比值是1.5。2、同除法比较，比的前项相当于被除数，后项相当于除数，比值相当于商；同分数比较，比的前项相当于分子，后项相当于分母，比值相当于分数值。3、比的基本性质相当于除法中的商不变性质和分数中的基本性质。因此应用比的基本性质可以将比进行化简。比的前项和后项为互质数时，这个比就是最简整数比。4、求比值和化简比的核心区别在于结果的表达形式不同，求比值的结果一定要是一个数，化简比的结果一定要是一个比。5、把一个数量按照一定的比来进行分配，这种分配的方法叫做按比例分配。四、典型例题例1、（重点展示）从甲地到乙地共300千米，甲车要行8小时，乙车要行6小时。甲车所行的路程与所用时间的比是（），比值是（）；乙车所行的路程与所用时间的比是（），比值是（）。分析与解：求哪两个量的比就把这两个量按先后顺序写下来，再在中间添上比号。求比值，就用前项除以后项。从甲地到乙地共300千米，甲车要行8小时，乙车要行6小时。甲车所行的路程与所用时间的比是（300:8），比值是（37.5）；乙车所行的路程与所用时间的比是（300:6），比值是（50）。点评：比与除法、分数之间有着密切的联系。但不不是说，它们之间是等同的。它们之间的区别是：比是两个量之间的关系，除法是一种运算，而分数是一个数。在理解意义的时候要注意区分。比与除法、分数之间的联系比（2:5）前项比号（:）后项比值分数（52）分子分数线（-）分母分数值除法（2÷5）被除数除号（÷）除数商例2、（重点展示）化简。（1）20:25（2）0.3:0.27（3）43:32分析与解：根据比的基本性质，第（1）题比的前项和后项直接除以5；第（2）题要先把前项和后项同时乘100，再化简；第（3）题要将比的前项和后项同时乘12，再化简。正确解答：（1）20:25=（20÷5）:（25÷5）=4:5（2）0.3:0.27=（0.3×100）:（0.27×100）=30:27=（30÷3）:（27÷3）=10:9（3）43:32=（43×12）:（32×12）=9:8点评：在化简过程中，如果比的前项和后项都是整数，那就同时除以它们的最大公约数；如果前项和后项是小数或是分数，先将它们同时乘一个数化成整数，再化简。要注意：最后化简到比的前项和后项是互质数的比是最简整数比。例3、（误点诊所）化简。（1）0.4:0.16（2）43:52错误解法：（1）0..4:0.16（2）43:52=4:16=43×52=1:4=103分析与解：将比的前项和后项同时乘或除以同一个数，进行化简。（1）0.4:0.16（2）43:52=40:16=（43×20）:（52×20）=5:2=15:8点评：第（1）题两个小数，一个是两位小数，一个是一位小数，要将两个数同时乘100化成整数，再化简，而不能一个乘10，一个乘100，那样比的大小就改变了；第（2）题不能为了约分而用乘法，应该将比的前项和后项同时乘12，化成整数比，再化简。例4、（难点突破）158的前项加上8，如果要使比值不变，后项应该加上（）。分析与解：把158的前项增加8，之后前项就变成了16，相当于前项乘了2，要使比值不变，后项也应当乘2，变成30，后项应该加上15。158的前项加上8，如果要使比值不变，后项应该加上（15）。点评：比的基本性质中讲的是前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。加上8，就要把这种加法之间的关系转化为乘法，再去判断。例5、（重点展示）公园里柳树和杨树的课数比是5:3，柳树和杨树共40棵。柳树和杨树各多少棵？分析与解：公园里柳树和杨树的课数比是5:3，也就是40棵树中，柳树占5份，杨树占3份，一共是（5+3）份，即柳树占总棵数的355，杨树占总棵数的353。柳树的棵数：40×355=25（棵）杨树的棵数：40×353=15（棵）答：柳树有25棵，杨树有15棵。点评：在解答按比例分配应用题时，还可以直接用份数来解。这道题目通过分析，已经知道柳树和杨树共8份，就可以用40÷8，求出每份有5棵，柳树有5份，用5×5=25（棵），求出柳树的棵数。同样，用5×3=15（棵），求出杨树的棵数。例6、（误点诊所）商店运来一批洗衣机，卖出24台，卖出的台数与剩下的台数的比是3:5，这批洗衣机一共有多少台？错误解法：24÷3×5=40（台）分析与解：卖出的台数与剩下的台数的比是3:5，即卖出的台数是3份，剩下的台数是5份，这批洗衣机的总台数是8份。24台对应的份数是3份，可以先求出每份是多少台，再求8份是多少台。24÷3×（5+3）=64（台）答：这批洗衣机一共有64台。点评：在用份数来解按比例分配应用题时，要注意份数和量之间的对应关系。这道题目，是求的总台数，就要用每份数乘总台数所对应的份数。而3份和5份分别是卖出的份数和剩下的份数，它们的和才是总台数所对应的份数。在解题时要仔细思考。例7、（难点突破）已知A、B、C三个数的比是2:3:5，这三个数的平均数是90，这三个数分别是多少？分析与解：三个数的平均数是90，那么这三个数的和是90×3=270，A、B、C三个数的比是2:3:5，那么A是2份，B是3份，C是5份，总共是2+3+5=10（份），那么就可以求出每份是多少，再逐步求出A、B、C分别是多少？90×3=270270÷10=2727×2=5427×3=8127×5=135答：这三个数分别是54，81，135。点评：按比例分配应用题的特点是告诉几个量的比，及这几个量的和或差，或其中的一个量，求出每个量或其中的某些量。但是有些题目，并不是直接知道和或差，而是通过间接条件求出和或差。【模拟试题】一、基础巩固题1、一辆汽车上午3小时行驶96千米，下午4小时行驶140千米。（1）上、下午行车时间的比是（）。（2）上、下午所行路程的比是（）。（3）下午与上午行驶速度的比是（）。2、在括号里填上适当的数。5:4=（）:241.5:0.18=（）:188:15=24:（）36:12=9:（）（）:0.5=9:514:（）=7:1.63、化简下面各比，并求出比值。比35:1483:410.9:1.352:92最简整数比比值4、甲数与乙数的比是5:4，甲数是乙数的()()，乙数是甲数的()()，甲数是甲乙和的()()，乙数是甲乙和的()()。5、一批货物按3:4:5分配给甲、乙、丙三个队去运。甲队运了这批货物的()()，乙队运了这批货物的()()，丙队运了这批货物的()()。二、思维拓展题6、桃树有48棵，梨树是桃树的87，桃树和梨树的比是（）。7、被减数是150，减数与差的比是3:2，减数是（），差是（）。8、分别写出下列正方体棱长的比和体积的比，并化简。2厘米4厘米9、图书室买来540本新书，其中三分之一是连环画，其余的是文艺书和科技书，文艺书和科技书的比是3:2。三种书各是多少本？三、自主探索题10、把10克糖放入100克水中，糖与糖水的比是多少？11、把2:5的前项增加4，要使比值不变，后项应增加多少？12、一个长方形操场，周长76米，长与宽的比是10:9。这块操场的面积是多少平方米？【试题答案】一、基础巩固题1、一辆汽车上午3小时行驶96千米，下午4小时行驶140千米。（1）上、下午行车时间的比是（3:4）。（2）上、下午所行路程的比是（96:140）。（3）下午与上午行驶速度的比是（35:32）。2、在括号里填上适当的数。5:4=（30）:241.5:0.18=（150）:188:15=24:（45）36:12=9:（3）（0.9）:0.5=9:514:（3.2）=7:1.63、化简下面各比，并求出比值。比35:1483:410.9:1.352:92最简整数比5:23:22:39:1比值2.51.53294、甲数与乙数的比是5:4，甲数是乙数的)4()5(，乙数是甲数的)5()4(，甲数是甲乙和的)9()5(，乙数是甲乙和的)9()4(。5、一批货物按3:4:5分配给甲、乙、丙三个队去运。甲队运了这批货物的)4()1(，乙队运了这批货物的)3()1(，丙队运了这批货物的)12()5(。二、思维拓展题6、桃树有48棵，梨树是桃树的87，桃树和梨树的比是（8:7）。7、被减数是150，减数与差的比是3:2，减数是（90），差是（60）。8、分别写出下列正方体棱长的比和体积的比，并化简。2厘米4厘米棱长的比2:4=1:2体积的比8:64=1:89、图书室买来540本新书，其中三分之一是连环画，其余的是文艺书和科技书，文艺书和科技书的比是3:2。三种书各是多少本？连环画540×31=180（本）540–180=360（本）文艺书360×233=216（本）科技书360×232=144（本）三、自主探索题10、把10克糖放入100克水中，糖与糖水的比是多少？10:110=1:1111、把2:5的前项增加4，要使比值不变，后项应增加多少？1012、一个长方形操场，周长76米，长与宽的比是10:9。这块操场的面积是多少平方米？76÷2=38（米）38×91010=20（米）38×9109=18（米）20×18=360（平方米）