10[1].3-10.4二重积分在极坐标下的计算法及应用

1内容回顾1、直角坐标系下二重积分的计算—转化成二次积分(,)()dd,dDDfxyfyxyx21()()===d(,)dXbyxayxxfxyy型21()()===d(,)dYdxycxyyfxyx型1选择积分次序的原则：(1)积分容易；(2)尽量少分块或不分块.划线定限2但若被积函数是不可求积函数，则需慎重选择积分内容回顾次序,否则将导致无法计算.若不小心选错了积分次序，则需交换积分次序.交换积分次序的一般步骤：1、依据积分限作出积分区域D的图形.2、将二次积分转化为二重积分.3、重新选择积分次序,将二重积分转化为二次积分并计算.3第三节极坐标系下二重积分的计算法回顾极坐标的相关知识xOPrxy1、直角坐标与极坐标的关系：cosxrsinyr22rxy)0(arctanxxy42、常见曲线的极坐标方程：1、圆222xyara2、圆222xyax2cos([,])22ra3、圆222xyay2sin([0,])raxyoxyoxyo52、常见曲线的极坐标方程：5、阿基米德螺线raxya2O6、双纽线22cos2raxya444、心形线(1cos)raxya6所以面积元素为在极坐标系下,可用同心圆r=常数及射线=常数来划分区域D.则小区域的面积为xyokkkkrrk212kkkkkrrrkkkkrr221)(kkr221一、极坐标系下二重积分的表示kkkrrkrkrkkkrdddrr(,)d(cos,sin)ddDDfxyfrrrrcossinxryr又7)(1ro)(2r（极点在区域D的外部）D则(cos,sin)ddDfrrrr二、极坐标系下二重积分的计算公式（1）区域D特征如图:,D12()()r21()()d(cos,sin)dfrrrr8AoD)(r(cos,sin)ddDfrrrr（极点在区域D的边界）二、极坐标系下二重积分的计算公式（2）区域D特征如图:,D0()r()0d(cos,sin)dfrrrr则9DoA)(r(cos,sin)ddDfrrrr（极点在区域D的内部）二、极坐标系下二重积分的计算公式（3）区域D特征如图:02,D0()r则()020d(cos,sin)dfrrrr10在下述两种情况下,往往利用极坐标来计算二重积分：1)当积分区域D为圆域、环域或扇形域等时,D的边界2)被积函数具有等形式时,用极坐标积分)(22yxfaxyoxyo21用极坐标表示较为简单；较为容易.11a计算yxDyxdde22，其中D是由中心在原点，半径为a的圆周所围成的闭区域.解2dedrrr2012(e)2ar例1用极坐标计算,2(1e).axyoyxDyxdde22ra2eddrDrr020a2200dedarrr22012[ed()]2arr12222222edd(1e).xyaxyaxy利用本题结论还可以来推导一个在概率统计中十分有用的广义积分——Possion积分.20ed.2xx本题若选用直角坐标系,则22()eddxyDxy222222ededaaxxyaaxxy（无法计算）13222()eddxyRxy222222edd(1e).xyaxyaxy20ed.2xx22(ed)xx24.I记20edxIx,则解14作如下三个平面区域}|),{(2221RyxyxD}2|),{(2222RyxyxD{(,)|,}SxyRxRRyR1D2DSS1D2DRR222+e0,xy（）且显然有12,DSD从而22222212()()()ededed,xyxyxyDSD由例1结果,得2222()2(1e)ed(1e).RxyRS1522()edxyS又由夹逼准则,22(1e)4R2(1e)4R,R令则2(1e),44R22(1e).44R即20ed.2xIx从而2222()2(1e)ed(1e).RxyRS16其中积分区域为}41|),{(22yxyxD.解Dyxyxyxdd)sin(22222201dsindrr.4,dd)sin(2222Dyxyxyx计算二重积分例2区域D为环域,用极坐标计算xyo21D2112(cos)rsin()ddDrrrr17d222DyxR,其中D是Rxyx22所围成的闭区域；解xyRcosRr用极坐标计算,22ddDRrrr原式cos22202ddRRrrr原式3322(sin1)d3R333202sind33RR3332211(34).3339RRR例3cos22222021d()d()2RRrRr223cos2021()|d3RRr18d222DyxR,其中D是Rxyx22所围成的闭区域；解xyRcosRr用极坐标计算,22ddDRrrr原式cos22202ddRRrrr3322(sin1)d3R3332211(34).3339RRR例3常见错误：原式33322(1si)d33nRR19xyo922yx3例4解.d)6(d290222230xyyxyxxI计算直接做麻烦,化为极坐标,32200d(6)drrrr81(279)249.843230(3)|243rrr2(6)ddDIrrrr20作业：942P21内容回顾极坐标系下二重积分的计算(,)d(cos,sindd)DDfxyfrrrr21()()d(cos,cos)dfrrrr21选用极坐标计算的二重积分的特点：(1)积分区域D是圆域或环域等；(2)被积函数具有形式)(22yxf2222d.(1cos)()DxyDrara计算其中是由心脏线和圆所围的图形取圆外部．例5解d22Dyx2233d]1)cos1[(31a.)2922(3a)cos1(22ddaarrrddDrrr332202(cos3cos3cos)d3a3221(1331)3322a第四节二重积分的几何应用一、求平面图形的面积例1dD（）求由曲线和直线及x轴所lnyx(e1)yx围成的平面图形的面积.解xy(e1)yxlnyxDdD(用直角坐标)1(e1)0eddyyyxeyx(e1)xy(e,1)10(e+1e)dyyy3.224二、求曲顶柱体的体积求顶为224yxz,底为区域xyxD2:22,0x,0y的曲顶柱体体积。例2Oxyzxyoxyx2222解DyxVd422cos20220d4drrr203d)cos1(38.91634)322(38(用极坐标)2cosr322cos22001[(4)|]d3r((,)d)DVfxy曲顶柱体2626利用对称性简化二重积分的计算设积分区域D关于y轴对称，;0d),(Dyxfyx),(yxP)(xfyox-x),(yxP(1)若f(x,y)关于x是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于x是偶函数，则有其中是D的右半区域.1D,d),(2d),(1DDyxfyxf2727设积分区域D关于x轴对称，(1)若f(x,y)关于y是奇函数，则有(2)若f(x,y)关于y是偶函数，,d),(2d),(1DDyxfyxf则有其中是D的上半区域.1Dyxo1D;0d),(Dyxf注意：利用对称性简化二重积分的计算不仅要考虑区域的对称性,还要考虑函数的奇偶性.2828例3设有平面区域,},),{(ayxaxayxD,},0),{(1ayxaxyxD则Dyxyxxy_____dd)sincos(.(A)1ddsincos2Dyxyx(B)1dd2Dyxxy(C)1dd)sincos(4Dyxyxxy(D)0解如图将D分为4部分4321,,,DDDD,则:Dyxyxxydd)sincos(oxy1D2D3D4D2929(A)1ddsincos2Dyxyx(B)1dd2Dyxxy(C)1dd)sincos(4Dyxyxxy(D)0解oxy1D2D3D4D如图将D分为4部分4321,,,DDDD,则:Dyxyxxydd)sincos(2121ddsincosddDDDDyxyxyxxy4343ddsincosddDDDDyxyxyxxy000,ddsincos21Dyxyx选(A).30解2sin2002d(4sin)drrrd)sin38sin8(24202204202dsin316dsin162214331622116利用对称性化简，.3xyo2求DyxId)4(,其中}2|),({22yyxyxD.例41y(4)d======2(4)dDDDIxyy关于轴对称(用极坐标)2sinr31作业：1022P