培优导数与零点题型归纳

导数与函数零点方法技巧用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明（2）要求证一个函数“有且只有一个”零点，先要证明函数为单调函数，即存在零点；再用“函数零点的存在性定理”求证函数零点的唯一性。题型一判断，证明函数零点个数例1设函数()lnfxx，。若方程()fxmx在区间2[1,]e上有唯一实数解，求实数m的取值范围；练习1设函数()()lnfxxax，2()exxgx.已知曲线()yfx在点(1(1))f，处的切线与直线20xy平行.(I)求a的值；(II)是否存在自然数k，使得方程()()fxgx在(1)kk，内存在唯一的根？如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；练习2设函数axxxfln)(，axexgx)(，其中a为实数．若)(xg在),1(上是单调增函数，试求)(xf的零点个数，并证明你的结论．练习3．设函数,)(xexfmx其中.Rm（1）求函数)(xf的最值；（2）判断，当1m时，函数)(xf在区间)2,(mm内是否存在零点。练习4设函数2ln2xfxkx，0k．（I）求fx的单调区间和极值；（II）证明：若fx存在零点，则fx在区间1,e上仅有一个零点．例2已知函数21()32fxx，()hxx．（Ⅰ）设函数F(x)＝f(x)－h(x)，求F(x)的单调区间与极值；（Ⅱ）设aR，解关于x的方程42233log[(1)]log()log(4)24fxhaxhx；练习1设函数lnmfxxx，m∈R.(1)当m＝e(e为自然对数的底数)时，求f(x)的极小值；(2)讨论函数3xgxfx＝零点的个数；练习2已知函数ln()xfxeaa为常数是实数集R上的奇函数，函数singxfxx是区间[一1，1]上的减函数．(I)求a的值；(II)若21gxtt在x∈[一1，1]上恒成立，求t的取值范围．(Ⅲ)讨论关于x的方程2ln2()xxexmfx的根的个数。题型二已知零点个数，求参数范围例3已知函数2()sincosfxxxxx（1）若曲线()yfx在点(,())afa处与直线yb相切，求a与b的值。（2）若曲线()yfx与直线yb有两个不同的交点，求b的取值范围。练习1已知函数xfxemx在(1,)上没有零点，求m的取值范围；练习2已知函数f（x）＝12m（x－1）2－2x＋3＋lnx，m∈R．当m＞0时，若曲线y＝f（x）在点P（1，1）处的切线l与曲线y＝f（x）有且只有一个公共点，求实数m的值．练习3已知函数1()1xfxxe(aR,e为自然对数的底数).若直线:1lykx与曲线()yfx没有公共点,求k的最大值.例4、已知函数f(x)=－x2+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。