选修4-5-一般形式的柯西不等式

新课导入回顾旧知1.二维形式的柯西不等式的代数形式?若a,b,c,d都是实数，则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,当且仅当ad=bc时，等号成立.2.二维形式的柯西不等式的向量形式？设αβ是两个向量，则│α.β│≤│α││β│,当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α=kβ时，等号成立.从三维的角度思考问题，关于柯西不等式会有什么结论（结合图像）？思考0xzy123,,aaa123,,bbb0xy,ab,cd观察图，从平面向量的集合背景可以得到二维形式的柯西不等式.类似地，从空间向量的集合背景也可以得到│α.β│≤│α││β│将空间向量的坐标代入，化简得(a12+a22+a32)(b12+b22+b32)≥(a1b1+a2b2+a3b3)2，当且仅当α=β共线时，即β=0.或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,3)时，等号成立.探究对比二维形式和三维形式的柯西不等式，你能猜想出一般形式的柯西不等式吗？教学目标知识与能力1.掌握一般形式的柯西不等式的内容.2.灵活应用柯西不等式.过程与方法1.通过二维柯西不等式推导出一般形式的柯西不等式.2.通过例题熟悉柯西不等式的应用.情感态度与价值观培养学生的逻辑思维能力.教学重难点重点难点运用柯西不等式分析解决一些简单问题.一般形式的柯西不等式的证明思路.柯西不等式的一般形式为(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2(2)猜想分析如果设A=a12+a22+…+an2,B=a1b1+a2b2+…+anbn,C=b12+b22+…+bn2,不等式(2)就是AC≥B2.我们可以构造二次函数，通过讨论相应的判别式来证明.证明当a1=a2=…=an=0或b1=b2=…=bn=0时，(2)式显然成立.设a1,a2,…,an中至少有一个不为0，则a12+a22+…+an20.因为对于任意实数x，f(x)=(a1x+b1)2+(a2x+b2)2+…+(anx+bn)2≥0,所以二次函数f(x)的判别式△≤0，即4(a1b1+a2b2+…+anbn)-4(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≤0.于是(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当f(x)有唯一零点时，判别式△=0，以上不等式取等号.此时，有唯一实数x，使aix=bi(i=1,2,…,n).若x=0，则b1=b2=…=bn=0,(2)式成立；若x≠0，则有，总之，当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或ai=kbi(i=1,2,…,n)时，等号成立.iiiabb定理（一般形式的柯西不等式）设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.例11222221212,1.......nnnaaaaaaaaan已知，...,为实数，试证：分析用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式.根据柯西不等式，有(12+12+…+12)(a12+a22+…+an2)≥(1×a1+1×a2+…+1×an)2,所以n(a12+a22+…+an2)≥(a1+a2+…+an)2即证明222212121.......nnaaaaaan例2已知a,b,c,d是不全相等的正数，证明a2+b2+c2+d2ab+bc+cd+da.分析上式两边都是a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明.证明222222222abcdbcdaabccdda根据柯西不等式，有2222222222,,,,abcdabcdbcdaabcdabbccddaabcdabbccdda因为是不全相等的正数，所以等式不成立，所以即例3分析由x+2y+3z=1以及x2+y2+z2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题.已知x+2y+3z=1以及x2+y2+z2的最小值.2222222123231,xyzxyz根据柯西不等式，得解：2222221,,14123113.,,14714xyzxyzxyzxyz所以当且仅当即时，取最小值课堂小结1.一般形式的柯西不等式:设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k，使得ai=kbi(i=1,2,…,n）时，等号成立.2.一般形式的柯西不等式的应用.对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。掌握柯西不等式的结构特点，灵活应用.随堂练习1.已知a,b,c,d∈R+，且a+b+c+d=1,求证a2+b2+c2+d2≥1.4证明因为4(a2+b2+c2+d2)≥(a.1+b.1+c.1+d.1)2=(a+b+c+d)2=1,所以a2+b2+c2+d2=1121222212122.,,...,,...1.1....1111nnnnxxxRxxxxxxxxxn设且求证证明22212122221212122122221212...1111...11...1111...11....1111nnnnnnnnxxxnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxn因为所以习题答案习题3.2（第41页）推广：若且，则2212n+12n212n1111111.(++)=(++)(a+b+c)abcabc111(a+b+c)abc=3=9x,x,xR,x+x++x=1111+++nxxx………则证212n12n12n12n22111111111+++nxxx111111(+++)=(+++)(x+x++x)xxxxxx111(x+x++x)=nxxx……………