矩阵特征根

线性代数第五章线性变换2§5.3特征值与特征向量一特征值与特征向量的概念定义6.1设T是数域P上线性空间V中的一个线性变换，对于数域P上一个数0，如果存在一个非零向量使得0()T则称0为T的一个特征值，非零向量称为T的属于0的一个特征向量.一些基本性质:(1)一个特征向量只能属于一个特征值0()T1()T01013§5.3特征值与特征向量(2)如果1、2都是T的属于特征值0的特征向量，则当1+20时，1+2也是T的属于特征值0的特征向量12120102012()()()()TTT(3)如果是T的属于特征值0的特征向量，则的任何一个非零倍数k也是T的属于特征值0的特征向量00()()()()TkkTkk属于特征值0的全部特征向量+零向量构成一个线性子空间4§5.3特征值与特征向量00(),VTV记定义5.6称为线性变换T的属于特征值0的特征子空间.0V二特征值与特征向量的求法设1,2,…,n是数域P上n维线性空间V的一个基，线性变换T在该基下的矩阵为A，0为T的一个特征值，属于特征值0的特征向量在该基下的坐标为12(,,...,)TnXxxx因为0()(0)T0(0)AXXX5§5.3特征值与特征向量00EAX也即011121121022221200nnnnnnnaaaxaaaxaaax求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题，存在的充要条件是：0111212102221200nnnnnnaaaaaaaaa6§5.3特征值与特征向量定义5.7设A是数域P上一个n阶方阵，为一个未知量，矩阵E-A的行列式称为A的特征多项式，记为011121210222120nnnnnnaaaaaaEAaaa()fEA()0f的根称为A的特征根（或特征值）7§5.3特征值与特征向量的非零解称为A的特征向量显然：当线性变换T对应于n阶方阵A时T的特征值对应于A的特征值T的特征向量坐标对应于A的特征向量当0为A的一个特征值时，方程0()0EAX（称为特征方程组）8§5.3特征值与特征向量求矩阵的特征值与特征向量的步骤：(1)计算矩阵A的特征多项式12()()()nnEAn,,,21(2)由0nEA得所有根即为矩阵A的特征值(3)对A的不同特征值i,分别求解方程组得基础解系0)(XAEi12,,,r其线性组合rrkkk2211即为i的全部特征向量。12,,,rkkk不全部为零）（9§5.3特征值与特征向量例求矩阵特征值与特征向量.解:110430102A2110()430102(2)(1)fEAA特征值1232,110§5.3特征值与特征向量将特征值12代入特征方程组,得1()0EAX即1233104100100xxx得基础解系001属于特征值12的全部特征向量110001kk11§5.3特征值与特征向量将特征值代入特征方程组,得1232104200101xxx得基础解系121属于特征值的全部特征向量221201kk23123112§5.3特征值与特征向量例设1,2,3是数域P上3维线性空间V的一个基，线性变换T在该基下的矩阵为求线性变换T的特征值与特征向量.解:122212221A2122()212221(1)(5)fEAA特征值1231,513§5.3特征值与特征向量将特征值代入特征方程组121得线性无关的特征向量()0EAX12100111XX将特征值35代入特征方程组()0EAX得特征向量3111X14§5.3特征值与特征向量T的属于特征值121的线性无关的特征向量11231123131(,,)(,,)01X21232123230(,,)(,,)11XT的属于特征值121的全部特征向量1122kk12,kk不全部为零）（15§5.3特征值与特征向量T的属于特征值35的线性无关的特征向量312331231231(,,)(,,)11XT的属于特征值的全部特征向量33k3k不为零）（3516例R2上旋转变换T在单位向量组成的基e1,e2下的矩阵cossinsincosA§5.2线性变换的矩阵它的特征多项式2cossinsincos2cos1EA如果cos1k0EA无解17§5.3特征值与特征向量定理5.6相似的矩阵有相同的特征多项式证明:设AB,存在可逆阵P使得P-1AP=B11111EBEPAPPEPPAPPEAPPEAPEA线性变换的特征值与基的选取无关18§5.3特征值与特征向量线性变换的特征值与基的选取无关.当A,B表示同一个线性变换在两个基(过渡矩阵为可逆阵P)下的矩阵时:A,B有相同的特征多项式19§5.3特征值与特征向量0AXX考察特征向量:设X为A的特征向量:1100BPXPPBPXPPBPXPAXPXPXPX为B的特征向量,而X和PX为同一个向量在两个基(过渡矩阵为可逆阵P)下的坐标线性变换的特征向量与基的选取无关.20§5.3特征值与特征向量三特征多项式的基本性质观察特征多项式：121212222111()nnnnnnaaaafEAaaaaa只有主对角线项可能包含n和n-1项n和n-1项必定来自于111221122nnnnnnaaaaaa21§5.3特征值与特征向量(1)特征多项式f()是关于项的n次多项式(2)n次项(n项)的系数为1(3)n-1次项(n-1项)的系数为–(a11+a22+…+ann)括弧中主对角线元素之和称为矩阵A的迹，记为另外，在多项式f()中令未知量为0，应得到常数项，(4)常数项的系数为(0)(1)nfAA1122()nntrAaaa22§5.3特征值与特征向量另一方面，在复数域，特征多项式f()必定有n个根，因此可以分解为：1211212()()(1)nnnnnnf特征多项式f()在复数域的n个根（特征值）：1212(1)()(2)nntrAA23§5.3特征值与特征向量定理5.7(Hamilton-Cayley定理)设A是数域P上一个n阶方阵，f()=E-A是A的特征多项式，则矩阵多项式11122()(1)0nnnnnfAAaaaAAE证明：设B()是(E-A)的伴随矩阵，即(E-A)*，由行列式性质,()()()BEAEAEfE设120111120110111201021121()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnnnBBBBBEABBBBABABABBBABBABBABA24§5.3特征值与特征向量111111()()nnnnnnnnfaaafEEaEaEaE01012121211nnnnnBEBBAaEBBAaEBBAaEBAaE01110121221122121211nnnnnnnnnnnnnnnnBAABABAaABABAaABABAAAAAaABAEEa1110()nnnnAaAaAaEfA25§5.3特征值与特征向量Hamilton-Cayley定理的意义:对于数域P上任意一个n阶方阵，提供一种方法使得我们能找到一个n次多项式，使得将该矩阵代入这个多项式等于零矩阵,由此我们在计算高阶矩阵多项式时能通过多项式除法先把次数降低,然后再计算,由于多项式运算的复杂度一般大大低于矩阵运算,由此降低整个运算的复杂度.例设102011010A计算8542()234gAAAAAE26§5.3特征值与特征向量解:3102()0110121fEA令8542()234g5322()()(245914)()243710gf234826()2437100956106134gAAAE27§5.3特征值与特征向量四特征向量的线性无关性定理5.8属于不同特征值的特征向量线性无关.证明:设1,2,…,k是矩阵A的k个不同的特征值,X1,X2,…,Xk是分别属于它们的特征向量对向量个数用数学归纳法,k=1时自然成立.设向量个数为k-1时成立,设1122110kkkkaXaXaXaX一方面,两边同时乘矩阵A:1122110kkkkaAXaAXaAXaAX28§5.3特征值与特征向量1112221110kkkkkkaXaXaXaX另一方面,两边同时乘k:1122110kkkkkkkkaXaXaXaX两个等式相减:1112221211110kkkkkkkaaaaXXaaX29§5.3特征值与特征向量111122221111000000kkkkkkkaaaaaaaaa根据归纳法假设:1122110kkkkaaXaXaXX0kkaX0ka30§5.3特征值与特征向量定理5.9如果1,2,…,k是矩阵A的k个不同的特征值,而是属于特征值i的ri个线性无关特征向量,则12,,,(1,2,,)iiiirXXXik12111212122212,,,,,,,,,,,,krrkkkrXXXXXXXXX线性无关.31§5.4矩阵的对角化定理5.10n阶矩阵A相似于对角矩阵的充要条件是A具有n个线性无关的特征向量.证明:必要性,设121nPAP12nAPP32§5.4矩阵的对角化令12,,,nPXXX得121212,,,,,,nnnAXXXXXX121122,,,,,,nnnAXAXAXXXX(1,2,,)iiiAXXin因Xi线性无关,Xi不等于0,为特征向量.33§5.4矩阵的对角化充分性,设A有n个线性无关的特征向量(1,2,,)iiiAXXin令12,,,nPXXX