数值分析法的重要性

数值分析法的重要性◆1、随着电子计算机技术的发展，数值方法在工程技术领域中应用越来越广泛，且已成为数学与计算机之间的桥梁，数值分析是研究各种数学问题求解的数值计算方法。是科学和工程计算问题的理论基础。学习数值分析法对工程实践有重要的意义。数值分析法数值分析法的历史该方法出现在上世纪60至70年代。是在工程计算发展过程中形成的利用计算机解决实际工程问题为目的的计算方法。虽然历史比较短，但发展迅猛。逐渐成为了一套用计算机解决数学问题的理论。特别是伴随着计算机技术的发展，数值分析法在各个领域内得到了更广泛的运用。是工程力学计算中使用最普遍的分析方法。数值分析法数值分析法的实质◆1、所谓数值分析（或计算方法），主要是为用计算机解决数学问题的方法及其理论，是一门内容丰富、研究方向深刻、实用性很强的数学课程。而算法则是为计算机解决数学问题而构造的能用数值计算的实施方案。数值分析法数值分析法的分类数值分析方法是目前岩石力学计算中使用最普遍的分析方法。常用的数值分析法包括以下等几类方法：◆1、有限差分法(FDM)◆2、有限元法(FEM)◆3、边界元法（BEM）◆4、无限元法（IEM）◆5、离散元法（DEM）数值分析法数值分析法的应用◆1、科学技术的发展提出了大量只有计算机才能解决的问题，数值分析即为用计算机求解实际问题的数值方法和理论，数值分析在用计算机解决时间问题中的作用和地位，可从下面的方框图中反映出来这里指的实际问题，可以来源于生产实际，可以来源于科学技术工程，也可以来源于其他的数学的分支理论课题。开根号的近似值。数值分析法构造了可行性的算法，还要进行程序设计，才能在计算机上计算出结果。至于数学模型，含义就更加广泛。例如，函数的求值、代数方程的求解、定积分的求值、微分方程的求解等问题均属于数学模型。对数学模型的求解，有的可以用公式表示出来，叫做解析解，有的可求出近似解析解，有的只能求出在离散点处的数值解。当然，即使数学模型可以用解析解表示出来，如何从公式算出具体数值来，常常仍然离不开数值分析。所谓数值分析（或计算方法），主要是为用计算机解决数学问题的方法及其理论，是一门内容丰富、研究方向深刻、实用性很强的数学课程。而算法则是为计算机解决数学问题而构造的能用数值计算的实施方案。数值分析法数值分析法的特点数值分析除了具有高读抽象性和应用的广泛性以外，与纯数学相比，还具有很强的实践性和高度的技术性等特点，它不像纯数学那样只研究数学本身的理论，而着重研究的是求解的计算方法以及与此有关的理论问题。即便是理论问题的研究，也离不开在计算机上计算的可行性，应当注意的是，有的计算方法在理论上不够严格，或还没有得到证明，但通过实际计算、分析对比等手段被实践证明是行之有效的方法，也应当被采用。数值分析法数值分析法的发展趋势数值分析方法有两种发展趋势：一是有限元法的发展，从平面有限元到三维有限元，从弹性有限元到弹塑性有限元；二是大量新型数值计算方法的应用，如边界元法、离散元法、拉格朗日元法（有限差分法）等。数值解法分为区域型和边界型两大类区域型数值解法主要是有限元法(FiniteElementMethod，FEM)和有限差分(FiniteDifferenceMethod，FDM)法。边界型数值解法主要是边界元法(BoundaryElementMethod，BEM)。数值分析法通俗的理解，就是将所考虑的区域织成网格，用差分近似微分，把差分方程变成微分方程。通过数学上的近似，把求解微分方程的问题变换成求解关于结点未知量的代数方程的问题。常用的数值分析法1、有限差分法(FDM)有限差分方法(FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法，把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟的数值方法。数值分析法有限元分析是使用有限元方法来分析静态或动态的物理物体或物理系统，是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的近似解，然后推导求解这个域总的满足条件，从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。2、有限元法(FiniteElementMethod，FEM)有限元法是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种弹性力学问题的数值求解方法。采用有限元法时，将所考虑的区域分割成有限小区域，称为有限单元。这些单元仅在有限结点上相连接，根据变分原理把微分方程变换成变分方程，它是通过物理上的近似，把求解微分方程的问题变换成求解关于结点未知量的代数方程的问题。数值分析法它具有降一维的特性。所占的计算机时小、计算时问省，与有限元相耦合能较好地解决工程实际问题。由于边界元法本身适用于无限域和半无限域，所以这一方法已在各个工程领域获得了广泛应用。但在处理多介质问题、非物质问题、复杂的非线性问题以及分步开挖及施工过程等方面，不如有限元法方便有效。3、边界元法（BoundaryElementMethod，BEM）边界元法是继有限差分法、有限元法之后发展起来的又一数值计算方法。采用边界元法求解时，根据积分定理，将区域内微分方程变换成边界上的积分方程，然后，将边界分割成有限大小的边界元。把边界积分方程离散成代数方程，把求解微分方程的问题变换成求解关于结点未知量的代数方程的问题。与有限元法在连续体域内划分单元的基本思想不同，边界元法是在定义域的边界上划分单元，用满足控制方程的函数去逼近边界条件，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。数值分析法无限元应用的主要优点在于：①有效地解决了有限元分析中的“边界效应”及人工边界的缺点，在动力问题中尤为突出；②提高了求解精度及计算效率，对三维问题尤为显著；③显著减小了解题规模，为微机应用提供了十分有利的条件。4、无限元法（InfiniteElementMethod，IEM）无限域单元或称无限元是有限元中专门模拟无限域边界的特殊单元，可视为另一种耦合方法。无限元的特点是采用一种特殊的形函数及位移插值函数使其能反映在无限元处的边界条件。数值分析法它是一种动态的数值分析方法，可以用来模拟边坡岩体的非均质、不连续和大变形等特点，因而，也就成为目前较为流行的一种岩土体稳定性分析数值方法。5、离散元法（DistinctElementMethod，DEM）有限元法、有限差分法和边界元法这些有力的数值技术建立在连续性假设的基础上，离散元法主要处理物体间具有不连续性问题的数值方法，重点是求解多个物体间的接触和冲击问题。一个物体与另一个物体是通过边界接触联系的，边界接触可以随时间变化，一个单元与另一个单元在任何处接触没有限制，可以是结点与结点的接触，也可以是结点与边界接触，接触单元之间产生的接触力遵循不同的接触原则。数值分析法它是研究岩石、颗粒等非连续介质动力学问题的有效方法，已经在岩土工程和粉体工程中得到了广泛的应用。近年来，离散元法的应用领域又扩展到求解连续介质及连续介质向非连续介质转化的力学问题。但是，目前的连续介质离散方案既缺乏严密的理论基础又没有根据建模的需要而实现在排列上的灵活性，严重制约了离散元法的广泛应用。建立适于连续介质的离散元模型的理论框架并提出实用有效的离散元模型成为急需解决的工作。数值分析法学习数值分析法过程中存在的问题数值分析是一门与计算机使用密切结合的实用性很强的数学课程，如果用单一的传统的教学模式，我们很难全面地理解和运用书中的算法，如有些算法在理论上虽然不够严格，但通过实际计算、对比分析等，证明是行之有效的方法，在实际中也是可以采用的。在数值分析的过程中，误差是一个影响比较大的因素。但在传统教学中我们很难把握误差的影响程度。数值分析法学习数值分析法的方法根据数值分析理论性强、实践应用性强、直观性差等特点，应该采用更加灵活的学习方式。1、经过理论学习后，应联合实际问题思考，让理论知识和实际问题联系起来。2、建立模拟数学模型，让理论和实践同时进行，对模型进行理论分析，列出求解模型的方程。数值分析法3、对方程进行分析，思考出合理的计算方式并上机实现。4、对结果的误差进行分析，和实际结果进行对比，分析理论结果和实际结果之间的关系。5、总结数值分析法的应用方法通过以上方式可以更全面地理解理论知识、更直观地了解数值分析法的实际应用步骤。并且可以熟悉一般工程问题的解决方法和计算机程序的实现。为我们以后的工作积累必要的经验。数值分析法