数学系关于泰勒公式的应用毕业论文

1浅谈泰勒公式及其应用摘要：大学泰勒公式在数学分析中是极其重要的公式，并且在经济领域中也占有一席之地。泰勒公式是研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，在近似计算上有着独特的优势，在微积分的各个方面有着重要的应用。本文主要对泰勒公式在求极限、估计误差、证明求解积分、经济学计算等几个方面的应用给予举例说明进行研究。关键词：泰勒公式求极限不等式行列式泰勒公式的应用1、利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具。利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项。当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限。例1求2240coslimxxxex分析：此题分母为4x，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单。解：因为2211()2!xexxox将x换成22x有222222211()()(())22!22xxxxeo又244cos1()2!4!xxxox所以24442111cos()()()2484xxexoxox441()12xox故22442441()cos112limlim12xxxxoxxexx例2求极限2240coslimsinxxxex解：因为分母的次数为4，所以只要把cosx，22xe展开到x的4次幂即可。24411cos1()2!4!xxxox22224211()()22!2xxxeox故2240coslimsinxxxex444011()()4!8limxxoxx112带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具,运用得当会使求函数的极限变得十分简单。例4估计近似公式21128xxx0,1x的绝对误差。解：设1fxx,则因为01f12112fxx102f32114fxx104f52318fxx所以1fxx带有拉格朗日型余项的二阶麦克劳林公式为：23521112816xxxxx013从而：3522111616xRxx0,1x（2）利用泰勒公式求近似值例5计算e的值，使其误差不超过610解：由2112!!1!nxnxxxeexxnn01,x得当1x时11112!!1!xeenn（01）故311!1!neRnn，当9n时，便有633101!1!3638800neRxnn从而略去91R而求得e的近似值为11112.7182852!9!xe3、泰勒在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经知道了许多方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法。下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法。例6设()fx在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0ff，01lim()1xfx，试求存在(0,1)，使()8f。证明：由于()fx在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内存在1x，使1()1fx，由费马定理知，1()0fx。又21111()()()()()()2!ffxfxfxxxxx21()1()2!fxx（介于x与1x之间）由于(0)(1)0ff，不令0x和1x，有4211()0(0)1(0)2ffx所以21112()2(1)(1)fxx当1112x时，2128x，而当1112x时，212(1)8x，可见1()f与2()f中必有一个大于或等于8。4、在行列式计算中的应用若一个行列式可看做x的函数（一般是x的n次多项式）,记作f(x),按泰勒公式在某处0x展开,用这一方法可求得一些行列式的值。例7求n阶行列式xzzzyxzzyyxzyyyxD（3）解：记Dxfn)(,按泰勒公式在z处展开：nnnnnnzxnzxfzxzfzxzfzfxf)(!)()(!2)()(!1)()()()(2'''（4）易知1)(00000000000000kkyzzyzyyzyyzyyzyyzD阶（5）由（5）得,时都成立nkyzzzfkk,,2,1,)()(1。根据行列式求导的规则,有).)((1)(),(2)(,),()1()(),()(1'11'22'11'xxfxfxfxfxfnxfxnfxfnnnn因为于是)(xfn在zx处的各阶导数为21'')()(|)()(nnzxnnyznzznfzfzf,3'1'''')()1()(|)()(nnzxnnyzznnznfzfzf,5…………znnzfnnfzfzxnnnn2)1()(2)1(|)(11112)1()()(nnzfnn把以上各导数代入（2）式中,有nnnnnnzxnnnzxznnnzxyzznnzxyzznyzzxf)(!12)1()()!1()21()()(!2)1()()(!1)()(12321若yz,有])1([)()(1ynxyxxfnn,若yz,有yzzxyyxzxfnnn)()()(。5、在判定敛散性方面的应用（1）在广义积分敛散性中的应用在判定广义积分()afxdx敛散性时,通常选取广义积分1(0)padxpx进行比较,在此通过研究无穷小量()()fxx的阶来有效地选1padxx中的p值，从而简单地判定()afxdx的敛散性（注意到：如果()afxdx得收敛，则()afxdx得收敛）。例8研究广义积分4(332)xxxdx的敛散性.。解：22(1)(1)1()2!xxxox()332fxxxx112233(1)(1)2xxx22223191131911(1())(1())22828xooxxxxxx3/23/2911()4oxx6因此，3/2()9lim14xfxx，即()0fx是1()xx的32阶，而3/241dxx收敛，故4()fxdx收敛，从而4(332)xxxdx。（2）泰勒公式在讨论级数收敛性中的应用首先给出以下两个定理定理3若0nu,0nv且nu～nvn,则1nnu与1nnv同敛散性。定理4若nnu条件收敛,而nnv绝对收敛,则nnnuv条件收敛。利用上述两个定理和泰勒公式可以很方便地讨论一些复杂级数的敛散性。例9判别1ln1npnn，0p的敛散性。此题难度很大,用其他方法几乎无法讨论其敛散性,若用泰勒公式作工具则能轻而易举地得出结论。解:由泰勒公式得ln1x的一阶展开式221ln121xxx,在0与x之间,从而22111ln121nnpppnnnn，n在0与1npn之间,于是2222111ln121nnpppnnnnnn因为21npnn当01p时条件收敛,当1p时绝对收敛,又由222110~221ppnnnn知,当12p时，222121pnnn收敛,当102p时发散。所以21ln1npnn，当102p时发散，当112p时条件收敛,当1p时绝对收敛。7、在证明与求解积分方面的应用（1）在定积分证明的方面，泰勒公式对于求被积函数有二阶或二阶以上的连续导7数的问题来说十分的好用，主要是通过作辅助函数，对有用的点进行泰勒公式展开并对余项作合适的处理。例11设)(xf在）（baba0],[上二阶连续可微，则在这个区间上存在一个，使得)()(!31)]()([!21)()()(33'2'2fabafabfbaafbbfdxxfba。证明：令xadttfxF)()(，将)(xF在)(btatx处展开，得，3)3(2'))((!31))((!21))(()()(txFtxtFtxtFtFxF在tx,之间，令atx,0，则得到31)3(2'))((!31))((!21))(()()0(aFaaFaaFaFF（9）令btx,0，则得到32)3(2'))((!31))((!21))(()()0(bFbbFbbFbFF（10）用（9）-（10）得到])()([!31])()([!21)()()()(31322'2'afbfaafbbfaafbbfaFbF再令)}(),(min{21ffm，且03a，则)()]()()[(33231333abMfafbabm因为)(xf在）（baba0],[上连续，由介值定理知，使得)()()(331323fabfafb所以)()(!31)]()([!21)()()(33'2'2fabafabfbaafbbfdxxfba（2）泰勒公式在求解数值积分中的应用设()Fx为()fx的原函数，由牛顿—莱布尼兹公式知，对定义在区间[,]ab上的定积分，有：()()()bafxdxFaFb但是，并不是区间[,]ab上的所有可积函数的积分值计算都可由牛顿—莱布尼兹公式解决的，有的原函数不能用初等函数表示，或者有的原函数十分复杂难以求出或计算。8如被积函数2xe、sinxx等函数的积分都无法解决；又或者当被积函数为一组离散的数据时，对于这种积分更是无能为力了。理论上，定积分是一个客观存在的确定的数值，要解决的问题就是能否找到其他途径来解决定积分的近似计算。利用泰勒公式建立定积分的近似计算公式，可实现定积分的近似计算。解法具体地说，如果被积函数在积分区间上能展开成幂级数，则把这个幂级数逐项积分，用积分后的级数就可算出定积分的近似值。例12计算定积分10sinxdxx的近似值解:因为357sin72sin3!5!7!xxxxxx所以246sin7sin213!5!7!xxxxxx因此10sinxdxx=13570sin723!35!57!7xxxxx=sin711213!35!57!由此式得到10sin1110.94163!35!5xdxx此时误差410.5107!7R8、泰勒公式判断求解函数的根与性质（1）、利用泰勒公式证明根的唯一存在型9例13设)(xf在),[a上二阶可导，且0)(af，0)('af，对),(ax，0)('xf，证明：0)(xf在),(a内存在唯一实根。分析：这里)(xf是抽象函数，直接讨论0)(xf的根有困难，有题设)(xf在),[a上二阶可导，且0)(af，0)('af，可考虑将)(xf在a点展开一阶泰勒公式，然后设法用介值定理证明。证明：因为0)('