不等式证明的若干方法

1不等式证明的若干方法摘要:无论是在初等数学还是在高等数学中，不等式证明都是其中一块非常重要的内容.本文主要总结了高等数学中不等式的几种证明方法,高等数学中不等式证明的常用方法有利用函数的单调性、Cauchy不等式、中值定理、泰勒公式、Jensen不等式、定积分的性质、放大或缩小被积函数及变积分上下限证明不等式等.通过辅以例题对这些方法进行详细的分析，给出其适用范围、具体步骤及限制条件.其中利用函数的单调性和利用中值定理法是基础的方法，其它几种方法需要要重点掌握，并可在证明中灵活运用.关键词：不等式积分中值定理SomeMethodsaboutInequalityProofAbstract:Theprovingoftheinequalityisaveryimportantcontent,whetherinelementarymathematicsorinhighermathematics.Thispapermainlysummarizesseveralmethodsofprovingtheinequalityinhighermathematics.InhighermathematicsinequalityisusuallyprovedbyapplyingtheMonotonyofaFunction,CauchyInequality,MeanValueTheorem,TaylorFormula,JensenInequality,PropertiesofDefiniteIntegral,tozoominorouttheintegrand,variableupperlimitorlowerlimitandsoon.Thesemethodsareanalyzedindetailthroughexamples,andgiveitsrangeofapplication,concretestepsandrestrictedconditions.Amongthesemethods,theMonotonyofaFunctionandMeanValueTheoremarefoundationmethodsandtheothersshouldbemasteredconscientiouslyorareflexibleapplicationintheverification.keywords:inequalityintegralMeanValueTheorem数学世界中的量有相等关系，也有不等关系.一般与比较量有关的问题,都要用到不等式的知识.不等式问题不仅在数学领域有广泛的应用,而且在解决最优控制、最优化、经济等各种实际问题中也有广泛应用.它是研究和学习现代科学和技术的一个重要工具.由此可见,不等式问题的重要性,而不等式证明又是不等式问题的精髓,由于不等式的形式各不相同，所以证明没有固定的步骤可依，方法灵活，技巧多样，因此不等式证明是数学中的难点之一.证明不等式的方法有很多,在初等数学中主要有综合法、分析法、比较法、反证法、数学归纳法、换元法等常用方法,但高等数学中的不等式证明又比初等数学中的不等式证明更为复杂,以上几种方法就很难解决高等数学2中复杂的不等式问题.[1]本文结合课本所学内容及平时积累的资料总结了几种高等数学中不等式证明的常用方法.1.利用函数的单调性利用函数单调性证明不等式的步骤:(1)构造辅助函数)(xf.(2)判断单调性:求)(xf,并验证)(xf在指定区间上的增减性.(3)求出区间端点的函数值或极限值,比较后判断不等式.例1证明不等式ee.证明要证ee,只需证明lne,即只要证明lnlnee.令)(ln)(exxxxf,则0ln1)(2xxxf.)(ex因为)(xf在,e上单调递减，又因为e,所以)()(fef,即lnlnee，得证.一般利用函数的单调性证明不等式需根据题目条件构造函数，此函数求导后可以很容易判断其在指定区间上的单调性，进而利用函数单调性证明不等式.[2]2．利用Cauchy(柯西)不等式柯西不等式在不等式理论中占有重要地位,这个不等式结构对称和谐,应用广泛,巧妙灵活的运用它,可以使有些比较困难的问题迎刃而解,它的推论有多种形式,在定积分中Schwarz不等式就是其中的一个推论.2.1柯西不等式niiniiiniibaba121221)(也可写作niiniiniiibaba12121.2.2积分的形式当被积函数)(xf,)(xg在区间ba,上连续,则有dxxgdxxfdxxgxfbababa222)()()()(.例2已知0)(xf,在ba,上连续,badxxf2)(,k为任意实数,求证:4)cos)(()sin)((22babakxdxxfkxdxxf.3证明由柯西不等式知,22])sin)()(([)sin)((dxkxxfxfkxxfbabakxdxxfdxxfbaba2sin)()(bakxdxxf2sin)(2.同理kxdxxfkxdxxfbaba22cos)(2)cos)((,所以4)cos)(()sin)((22babakxdxxfkxdxxf.此种方法一般用于要证明的不等式中的某些式子经过变形后可以直接套用柯西不等式,这就需要对不等式认真观察和对柯西不等式的灵活应用.3.利用中值定理3.1微分中值定理(主要讲利用拉格朗日中值定理)微分中值定理是微分学中最重要的理论部分,它包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等.拉格朗日中值定理建立了函数值与导数之间的定量关系,[3]拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊形式,罗尔定理又是拉格朗日中值定理的特殊形式.而且拉格朗日公式有几种等价形式,在用拉格朗日中值定理证明不等式时要选择恰当的形式.3.1.1拉格朗日中值定理:若函数)(xf满足如下条件：(1)在闭区间ba,上连续；(2)在开区间ba,内可导；则在ba,内至少存在一点，使得abafbff)()()(.3.1.2拉格朗日公式几种等价形式:(1)))(()()(abfafbf,ba;(2))()()()(ababafafbf,10;(3)hhafafhaf)()()(,10.3.1.3用拉格朗日中值定理证明不等式的一般步骤:4(1)由题意作出ba,上的函数)(xf,验证其满足条件.(2)再运用微分中值定理公式或其等价形式.(3)根据题目需要进行适当的放缩.[3]例3设ba0，证明不等式aababbabln.证明显然等式当且仅当0ba时成立.下证当ba0时,有aababbabln.作辅助函数xxfln)(，则)(xf在ba,上满足拉格朗日中值定理，故ba,，使1lnlnabab.①由于ba0,所以ba111.②由①②得aababb1lnln1,所以aababbabln.3.2积分中值定理3.2.1积分第一中值定理定理3.2.1若f在ba,上连续,则至少存在一点ba,,使得baabfdxxf))(()(.积分第一中值定理的条件简单,只需)(xf在ba,上连续即可.但此定理却非常重要,它是联系定积分与其积分函数的桥梁.其中的灵活性和任意性就是证明不等式的关键所在.例4设)(xf为1,0上的非负单调非增连续函数(即当yx时,)()(yfxf),证明对于10，有不等式5dxxfdxxf)()(0成立.证明由题意及积分中值定理有))(())(()(ffdxxf,所以dxxffdxxf)(1)()(10.dxxfdxxf)()()1(0.dxxfdxxf)()()1(0.因为10所以11,dxxfdxxf)()(0.3.2.2积分第二中值定理定理3.2.2设函数)(xf在ba,上可积.(i)若函数)(xg在ba,上是减函数，且0)(xg，则存在ba,，使得baadxxfagdxxgxf)()()()(;(ii)若函数)(xg在ba,上是增函数，且0)(xg，则存在ba,，使得babdxxfbgdxxgxf)()()()(.推论设函数f在ba,上可积,若g为单调函数,则存在ba,,使得baabdxxfbgdxxfagdxxgxf)()()()()()(.在积分第二中值定理中,用推论证明不等式运用比较广泛,推论中对)(xg的限制比定理中对)(xg的限制条件更为宽松,它解决的题目范围也会扩大.例5设)(xf为ba,上的连续递增函数,则成立不等式6babadxxfbadxxxf)(2)(.证明要证不等式成立，只需证明.0)()2(dxxfbaxba由于)(xf单调递增，利用积分第二中值定理，则存在ba,，使dxbaxbfdxbaxafdxxfbaxbaba)2()()2()()()2(=dxbaxafbfdxbaxafbba)2()()()2()(=)(22)()(22bbabafbf=0)(2)()(abafbf.得证.利用中值定理证明不等式要满足定理的条件,通过构造、变换找到符合的条件，再一步步解决所要证明的不等式.微分中值定理中用的比较多的是拉格朗日中值定理,而积分中值定理中它的推论用得比较频繁.[3]4．利用泰勒公式泰勒定理若函数f在ba,上存在直至n阶的连续导函数,在ba,内存在)1(n阶导函数，则对任意给定的baxx,,0，至少存在一点ba,，使得nnxxnxfxxxfxxxfxfxf)(!)()(!2)())(()()(00)(20000010)1()()!1()(nnxxnf.泰勒公式是拉格朗日中值定理的推广,当n=0时,即是拉格朗日中值定理,所以用泰勒公式证明不等式的步骤类似于利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤,只不过泰勒公式适用于n阶导数的问题.[3]例6若)(xf在1,0上二次可微,且),1()0(ff1)(xf.证明21)(xf.证明设1,0x,由泰勒公式知721)0)((21)0)(()()0(xfxxfxff，101x.①22)1)((21)1)(()()1(xfxxfxff,102x.②由①-②得:])1)(()([21)(2221xfxfxf所以])1()()([21)(2221xfxfxf])1([2122xx2)]1([21xx21.得证.在要证明的不等式中含有二阶或二阶以上的导数时一般可利用泰勒公式,特别在以下四种情况下利用泰勒公式证明不等式更为简便:①已知某点的函数值②已知某点的导函数值③已知函数某阶导数的符号④已知函数某阶导数有界.泰勒公式的应用要灵活、巧妙、合理.5．利用Jensen(詹森)不等式定理5.1若f为ba,上的凸函数，则对任意baxi,，),,2,1(0nii,11nii,有)()(11iniiiniixfxf.詹森不等式与函数的凹凸性有关，凹凸函数的性质为构建不等式和证明不等式提供了空间和依据.例7证明不等式3)(cbacbaabccba,其中cba,,均为正数.证明设0,ln)(xxxxf.由)(xf的一阶和二阶导数1ln)(xxf,xxf1)(可知,xxxfln)(在0x时为严格凸函数,