积分不等式的证明方法论文

JISHOUUNIVERSITY本科生毕业论文题目：积分不等式的证明方法作者：学号：所属学院：专业年级：指导教师：职称：副教授完成时间：吉首大学教务处制独创性声明本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承担。论文题目：作者签名：日期：年月日论文版权使用授权书本人完全了解吉首大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。同意吉首大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。(保密的学位论文在解密后应遵守此协议)论文题目：学生签名：日期：年月日导师签名：日期：年月日目录摘要………………………………………………………………………………………….1Abstract…………………………………………………………………………………...........11引言……………………………………………….……………………………………..22积分不等式的证明方法……………………………………………………………..…....22.1利用定积分的定义证明积分不等式………………………………………………22.2利用定积分的基本性质证明积分不等式…………………………………………32.3利用积分中值定理证明积分不等式………………………………….……..……42.4利用二重积分证明积分不等式……………………………………………………52.5利用泰勒公式证明积分不等式……………………………………………………62.6利用Schwarz不等式证明积分不等式…………………………………………….72.7利用反证法证明积分不等式………………………………………………............92.8利用缩放积分区间来证明积分不等式………………………………………........92.9构造辅助函数证明积分不等式…………………………………………………..102.10利用函数的凹凸性证明积分不等式……………………………………………112.11利用概率论方法证明积分不等式………………………………………………13参考文献……………………………………………………………………………………...15吉首大学毕业论文1积分不等式的证明方法姚春梅（吉首大学数学与统计学院，湖南吉首416000）摘要：积分不等式是微积分学中的一类重要不等式，在数学分析中有着广泛的应用.研究积分不等式的证明方法，不仅解决了一些积分不等式的证明，而且可以把初等数学的知识与高等数学的知识结合起来，拓宽我们的视野，提高我们的发散思维能力和创新能力.本文主要从以下几个方面去研究积分不等式的证明：利用定积分的定义和性质来证积分不等式、利用施瓦兹不等式来证积分不等式、利用中值定理来证积分不等式、利用二重积分来证积分不等式、利用Taylor公式来证积分不等式、利用反证法来证明积分不等式、利用函数的凹凸性来证积分不等式等.关键词：积分不等式；施瓦兹不等式；中值定理；泰勒公式；二重积分ProofMethodsoftheintegralinequalityYaoChunmei(CollegeofMathematicsandStatistics,JishouUniversity,HunanJishou416000)Abstract:Integralinequalityisakindofimportantinequalityinthecalculus，whichisbroadlyusedinmathematicalanalysis.Thestudyofintegralinequalitycanhelpusnotonlysolvesomeintegralinequalityofequation,butalsoputtheprimarymathematicsknowledgeandhighermathematicsknowledgetogethertobroadenourhorizonsandimproveourabilityofthinkingandinnovation.ThepurposeofthispaperistodiscusstheprovingoftheIntegralinequalityfromthefollowingaspects:bytheuseofThedefinitionandnatureofthedefiniteintegral,Schwarzinequality,meanvaluetheorem,doubleintegral,Taylorformula,Reductioadabsurdum，concavoconvexcharacteristicoffunctionandsoon.Keywords:Integralinequality;Schwartzinequality;Meanvaluetheorem;Taylorformula;Doubleintegral吉首大学毕业论文21引言在学习中，我们常会遇到这样的问题：有些函数可积，但原函数不能用初等函数来表达，或者说这种积分“积不出”，无法应用Newton-Leibniz公式求出（如210xedx），这时我们只能用其它方法对积分值进行估计，或近似计算；另一种情况是，被积函数是没有明确给出，只知道它的结构或某些性质（例如设函数f在0,1上连续可微，且(1)(0)1ff，求1'20()fxdx）因此我们希望对积分值给出某种估计.为此我们来研究积分不等式.我们把含有定积分的不等式称为积分不等式.2121lnlnxdxxxdxx，22()cos()sin1bbaafxkxdxfxkxdx都是积分不等式.根据不同积分不等式特征，采取不同的方法.此法不论对初等数学和高等数学都有一定的价值，它使数学的不同分支之间架起了桥梁，对于我们的创造思维有很大的帮助作用.2积分不等式的证明方法2.1利用定积分的定义证明积分不等式主要是利用定积分的定义，通过将闭区间ba,分割、求和并求0T时和的极限比较积分大小则可通过比较和的极限来实现.例11设)(xf在1,0上连续，且0)(xf，证明dxxfdxxf1010)(ln)(ln.分析题中所给的已知条件较少，在这种条件下利用定积分的定义将区间分割求极限比较简单.证明现将n1,0等分，则nxi1.由于吉首大学毕业论文3nnininifnifn1111当nnfnfnf21时，即函数)(xf为常值函数时，上式等号立.两边取对数得nininifnnnif11ln11ln两边在n取极限得ninninnnifnnif111limln1lnlimdxxfnifndxxfnin10110)(lnln1limln即得dxxfdxxf1010)(ln)(ln.2.2利用定积分的基本性质证明积分不等式例22已知xf在0,1上连续，对任意的yx,都有yxMyfxf，求证：10112nkkMfxdxfnnn证明1101knnkknfxdxfxdx11101111kknnnnnkkkkknnkkfxdxffxdxfdxnnn1111112kkknnnnnnkkkkkknnnkkkMfxfdxMxdxMxdxnnnn总结此题主要利用定积分的绝对值不等式性质进行分析处理.例3试证2200cossinsincostdttdt.证明由定积分的保不等号性，只需证ttcossinsincos吉首大学毕业论文4当0,2t时，因224sin20t，0,2t所以sincos2tt，即ttcossin2，且0cossin2tt，2cos0t，2,0sin在x是增函数，所以,cossinsin2sintt即ttcossinsincos，因而2,0t时，结论成立.2.3利用积分中值定理证明积分不等式例43设)(xf为]1,0[上的非负单调非增连续函数（即当yx时，)()(yfxf），证明：对于10,有下面的不等式成立0)()(dxxfdxxf.证明由题设及积分中值定理有)(),)(())(()(11aaffdxxf从而dxxfafdxxf)(1)()(10因此可得0)()()1(dxxfdxxf0)()()1(dxxfdxxf又因10,所以11,故0)()(dxxfdxxf.例5设xf在,ab上连续，,ab内可导，'fxM而0af，求证：吉首大学毕业论文5badxxfbaM22证明由拉格朗日中值定理有：',fxfxfaxafab.'fxM，,axMxf于是22abMdxaxMdxxfbaba而babadxxfdxxf故22abMdxxfba即badxxfbaM22.2.4利用二重积分证明积分不等式例6设)(),(xgxf在],[ba上连续且单调增加，求证：bababadxxgdxxfdxxfxgab)()()()()(分析右端出现了两个积分，若将两个积分的积分变量换成不同符号则可化为二重积分：babadxxgdxxf)()(babababadxdyxgyfdxxgdyyf)()()()(babadxdyygxf)()(而左边亦可化为二重积分：bababadxdyxgxfdxxfxgab)()()()()(babadxdyygyf)()(吉首大学毕业论文6这样就化为二重积分的比较了.证明令Ibababadxxgdxxfdxxfxgab)()()()()(则Ibabadxdyxgxf)()(babadxdyygxf)()(babadxdyygxgxf)]()()[(同样可得Ibabadxdyxgygyf)]()()[(两式相加得0)]()()][()([2dxdyygxgyfxfIbaba故Ibababadxxgdxxfdxxfxgab)()()()()(0结论得证.例7利用二重积分来证明Schwarz不等式dxxgdxxfdxxgxfbababa)()())()((222.证明222()()(()())bbbaaafxdxgxdxfxgxdx222211()()()()()()()()22bbbbbbaaaaaafxdxgxdxfydygydyfxgxdxfygydy22221[()()()()2()()()()]2bbaadyfxgyfygxfxgxfygydx21[()()()()]2bbaadyfxgyfygxdx0即有dxxgdxxfdxxgxfbababa)()())()((222.2.5