柯西不等式的证明与应用

1柯西不等式的证明及其应用摘要：柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用六种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用，最后用其证明了点到直线的距离公式，更好的解释了柯西不等式。关键词：柯西不等式，证明，应用Summary：Cauchy'sinequalityisaveryimportantinequality,thisarticleusesixdifferentmethodstoprovetheCauchyinequality,andgivessomeCauchyinequalityininequality,solvingthemostvalue,solvingequations,trigonometryandgeometryproblemsintheareasofapplication,thelastuseditprovedthatpointtothestraightlinedistanceformula,betterexplainstheCauchyinequality.Keywords：Cauchyinequality,proofapplication不等式是数学的重要组成部分，它遍及数学的每一个分支。本文主要介绍著名不等式——柯西不等式的证明方法及其在初等数学解体中的应用。柯西不等式是一个非常重要的不等式，本文用几种不同的方法证明了柯西不等式，并给出了一些柯西不等式在证明不等式、求函数最值、解方程、解三角与几何问题等方面的应用。2一、相关定理柯西不等式是指下面的定理定理设,(1,2,...,),iiabRin则222111()()()nnniiiiiiiabab当数组a1，a2，…，an,b1，b2，…，bn不全为0时，等号成立当且仅当(1)iibain.柯西不等式有两个很好的变式：变式1设,0(1,2,...,),iaRbiin221()niiiiiaabb,等号成立当且仅当(1)iibain变式2设ai,bi同号且不为0（i=1，2，…，n）则21()niiiiiiaabab,二、柯西不等式的证明：常用的证明柯西不等式的方法有：1）配方法：作差：因为222111()()()nnnijiiijiabab221111()()()()nnnnijiijjijijababab3221111nnnnijiijjijijababab22221111111(2)2nnnnnnijjiijjiijijijabababab2222111(2)2nnijijjijiijabababab2111()02nnijjiijabab所以222111()()()nnnijiiijiabab0，即222111()()()nnnijiiijiabab即………………222222211221212()()()nnnnabababaaabbb当且仅当……0(,1,2,,)ijjiababijn即…………(1,2,,;1,2,,;0)jijijaainjnbbb时等号成立。2）利用判别式证明（构造二次函数法）若210niia，则12....0.naaa此时不等式显然成立。若210niia，构造二次函数2221112nnniiiiiiifxaxabxb210niiiaxb对于xR恒成立，所以此二次函数fx的判别式△≤0，即得证。3）用数学归纳法证明4i）当1n时，有2221112()abab，不等式成立。当n=2时，22222112212221122()2abababababab222222222222121211221221()()aabbabababab。因为2222122111222abababab，故有2222211221212()()()ababaabb当且仅当1221abab，即1212aabb时等号成立。ii）假设nk时不等式成立。即………………222222211221212()()()kkkkabababaaabbb当且仅当……1212nnaaabbb时等号成立。那么当1nk时，2112211()kkkkabababab……222112211112211()2()kkkkkkkkabababababababab…………22222222121211112211()()2()kkkkkkkkaaabbbababababab………………2222222222222222121211111111()()kkkkkkkkkkaaabbbabbaabbaab………………222222121121()()kkaaabbb…………2222221212()()nnaaabbb…………当且仅当……1111212111,,,kkkkkkkkabbaabbaabba时等号成立，5即……112121kkkkaaaabbbb时等号成立。于是1nk时不等式成立。由i）ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。4）用向量法证明设n维空间中有二个向a……12(,,,)naaa，b……12(,,,)nbbb，其中…………1212,,,;,,,nnaaabbb为任意两组实数。由向量的长度定义，有a……22212naaa|,b……22212nbbb又由内积的定义，ababcos,其中是a,b的夹角，且有ab……1222nnababab。因|cos|1，故abab，于是|……1122nnababab|≤…………2222221212nnaaabbb即222222211221212()()()nnnnabababaaabbb………………当且仅当|cos|1时，即a与b共线时等号成立。由a,b共线可知……1122,,,nnabababR即……1212nnaaabbb……(0,1,2,,)ibin6由以上，命题得证。5)利用均值不等式当…………2222221212nnaaabbb=0时不等式显然成立当…………2222221212nnaaabbb≠0柯西不等式可化为1≥211222222221112.........nnnnabababaaabbb。由均值不等式可知211222222221112.........nnnnabababaaabbb≤……………………22221122222222222212121212...2nnnnnnababaaabbbaaabbb=……………………22221122222222222212121212...2nnnnnnababaaabbbaaabbb=1即1≥211222222221112.........nnnnabababaaabbb当且仅当……1212nnaaabbb……(0,1,2,,)ibin时等号成立。从而柯西不等式得证。而变式一二可由柯西不等式稍加变形容易得到。三、柯西不等式的应用：71）证明不等式在不等式的证明中，柯西不等式的作用是很突出的。有些不等式的证明用常归方法很繁琐，而用柯西不等式却很简单。例3.1.1已知abcd，求证：1119abbccaad。证因为a-d=(a-b)+(b-c)+(c-d)0,由柯西不等式知111()adabbcca=[(a-b)+(b-c)+(c-d)]111()abbcca≥2111=9从而1119abbccaad。例3.1.2：已知2221222212...1...1nnaaaxxx，求证：1122...1nnaxaxab证法一：（常用证法）221111222222222,...2,2,nnnnaxaxaxaxaxax把上面n个不等式相加，得22222212121122......22...2,nnnnaaaxxxaxaxax即1122112222......1nnnnaxaxaxaxaxax8证法二：（利用柯西不等式来证明）分析求证的不等式特点，可构造如下两组数：1212,,...;,...nnaaaxxx由柯西不等式（A）有2222222112212121122............1nnnnnnaxaxaxaaaxxxaxaxax两相比较，可见用柯西不等式证明较为简捷例3.1.3：设ixR（i=1，2，…n）且111niiixx，求证：112niijiijnxxx[5]证注意到恒等式12ijijnxx=22iixx，只需要证明1niix≥22iixx即221niiiixxx上式左边=211iiiixxxx≤11iiiixxxx=21niiixx，得证。例3.1.4：设实数,,abc,满足a0,b,c求证2222abcbccaab证因为a0,由均值不等式得2a=a2a=2a9同理可得2b2b，22cc，故222abcbccaab222222abcbccaab由柯西不等式可知222abcbcacab222222abcbccaab22abc从而222222abcbccaab22222abcabcbcacab=223abcabbcac又22abc=6abbcac+222bccaab6abbcac故222222abcbccaab2即222abcbccaab2当且仅当2abc时等号成立。例3.1.5：已知……12,,,naaa为互不相等的正整数，求证：对于任意的正整数n，有不等式…………12222111122naaann。证明：由柯西不等式：211(1)2n……12212111()12nnaaanaaa……1222212111()()12nnaaanaaa…………于是……………………1222212111112(1)111122nnaaannnaaa。10又因为……12,,,naaa为互不相等的正整数，故其中最小的数不小于1，次小的数不小于2，最大的不小于n，这样就有…………1211121111nnaaa。所以有……………………1211111112(1)111122nnnnaaa。因为……………………1222212111112(1)111122nnaaannnaaa而………