泰勒公式及其应用论文

学士学位论文泰勒公式及其应用姓名院系专业年级学号指导教师2012年5月18日毕业论文(或毕业设计)开题报告姓名性别学院数学与信息学院年级学号题目泰勒公式及其应用课题来源教师推荐课题类别应用研究选题意义（包括目的,在微分中的重要性,研究意义,列出主要参考文献目录）:研究目的:泰勒公式在数学研究中有着广泛应用,泰勒公式的研究有很重要的现实意义.泰勒公式在微积分的各个领域都有重要的应用,集中体现了微积分的核心.对泰勒公式的研究主要包括以下几个方面:（1）求函数的极值,（2）证明根的唯一性,(3)求泰勒函数在某点的高阶导数,（4）利用泰勒函数求函数的近似值和误差,（5）求证函数的敛散性.研究意义:在高等数学中,泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式.泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,是高等数学中重要部分.泰勒公式可以用函数在某一点的各阶导数值做系数构建一个多项式来求近似函数在这一点的领域中的值以及多项式和实际函数值之间的偏差.研究主要内容本文通过对泰勒公式的介绍,并归纳整理了其在求极限与导数、不等式证明、求函数的极限等方面的应用,本文将从以下几个内容研究泰勒公式及其应用:1.应用泰勒公式求函数的近似值及误差估计2.利用泰勒公式证明不等式3.泰勒公式在计算中的应用及在研究函数的极值的应用4.用泰勒公式求函数在某点的高阶导数值5.总结主要参考文献[1]陈传章金福林:《数学分析》北京:高等教育出版社,1986.[2]张白兰崔福荫:《高等数学证题方法》陕西:陕西科学出版社,1985.[3]陈向东:《数学分析的概念和方法》上海:上海科学技术出版社,1989.[4]同济大学数学教研主编.高等数学[M].北京:人民教育出版社,1999.指导教师意见（对论文选题的意义、学术性、可行性、进度与计划等内容进行评价,填写审核结果：同意开题、修改后再开题、不同意开题）：该课题对泰勒公式应用问题做了一些系统的归纳与总结。该论文的选题将解决有关泰勒公式应用的求法问题，对于学好《数学分析》这门基础课程将有一定的促进的作用，同时也为进一步学习多元微积分有关知识有关概念和方法奠定了基础。建议继续查找有关资料。收集有关泰勒公式应用的大量例子，从中总结出泰勒公式应用方法。在每一种方法中，应说明用到的最重要的知识级应该注意的有关问题，然后就每种方法举出例子。论文组织的整体感较强,结构清晰明了,内容详实,同意开题。签名：年3月16日院（系）毕业论文（设计）领导小组意见：同意开题（签章）年3月20日毕业论文结题报告姓名性别院系年级学号题目泰勒函数及其应用课题来源教师推荐课题类别应用研究本课题完成情况介绍（包括）首先通过认真查阅学习文献,理解与此课题相关的基本概念,然后对相关概念或举例说明或进行详细介绍,再利用这些知识针对交通流这一实际问题进行研究,举例说明.举例说明泰勒公式的应用.指导教师评语：在高等数学中，泰勒公式是一个用函数在某点的信息描述其附近取值的公式。泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，是高等数学中重要部分。该生首先通过查阅学习文献，理解与此课题相关的基本理念，然后对相关概念或举例说明或进行详细介绍，再利用这些知识针对这一实际问题进行研究，举例说明了泰勒公式的应用。经审阅，该论文是一篇较好的学士学位论文，同意结题。签名：年5月18日院（系）毕业论文（设计）领导小组意见：同意结题（公章）年5月18日指导教师评定成绩毕业论文成绩评定表ii院（系）：数学与信息学院学号：姓名总成绩：题目泰勒公式及其应用评阅人评语论文组织的整体感较强,结构清晰明了,内容详实。论文研究了泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数，在高等数学中不等式，极限，极值及凹凸性和拐点中的应用，然后对相关概念或举例说明或进行详细介绍，再利用这些知识针对这一实际问题进行研究，举例说明了泰勒公式的应用。经审阅,该论文是一篇较好的学士学位论文。评定成绩：签名：年5月25日答辩小组评语答辩成绩：组长签名：年月日独创声明本人在此声明：本篇论文，是本人在指导老师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议．尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果．对本文的研究做出重要贡献的个人和集体均已在文中以明确方式标明．此声明的法律后果由本人承担．作者签名:二〇一二年五月十八日毕业论文使用授权声明本人完全了解鲁东大学关于收集、保存、使用毕业论文的规定．本人愿意按照学校要求提交论文的印刷本和电子版，同意学校保存论文的印刷本和电子版，或采用影印、数字化或其它复制手段保存论文；同意学校在不以营利为目的的前提下，建立目录检索与阅览服务系统，公布论文的部分或全部内容，允许他人依法合理使用．（保密论文在解密后遵守此规定）论文作者（签名）：二〇一二年五月十八日I目录1.引言..................................................................12.泰勒公式及其应用.....................................................12.1预备知识............................................................13泰勒公式的应用........................................................33.1利用泰勒公式求极限..................................................33.2利用泰勒公式求不等式................................................33.3利用泰勒级数判断级数的敛散性........................................43.4利用泰勒公式证明根的唯一性..........................................53.5利用泰勒公式判断函数的极值..........................................53.6利用泰勒公式求初等函数的幂级展开式..................................63.7利用泰勒公式进行近似计算............................................63.8利用泰勒公式判断函数的凸凹性和拐点..................................73.9利用泰勒公式求高阶导数在某点的数....................................8参考文献................................................................8致谢...................................................................81泰勒公式及其应用（数学与信息学院数学与应用数学2008级数本2班20082112010）摘要：在数学分析中泰勒公式是一个重要的内容.本文论述了泰勒公式的定义，内容，并介绍了泰勒公式的9个应用及举例说明.利用泰勒公式求不等式,求极限，证明敛散性，根的唯一性等一系列泰勒函数的应用，使我们更加清楚地认识泰勒公式的重要性.关键词：泰勒公式皮亚诺余项拉格朗日余项应用Taylorformulaandit’sapplication(20082112010Class2Grade2008Mathematics&AppliedMathematicsSchoolofMathematics&Information)Abstract:InthemathematicalanalysisTaylorformulaisaimportantcontent.ThispaperdiscussesthedefinitionofTaylorformula,content,andintroducestheTaylorformulanineapplicationandgiveanexample.UseTaylorformulaforinequality,pleaselimit,foldingproofscatteredsex,theuniquenessofroot,aseriesofTaylorfunctionofapplication,makeusmoreclearlyknowtheimportanceofTaylorformula.Keywords:Taylor’sformulaTheemainingofthePianoTheremainingoftheLagrangianApplication1.引言泰勒公式将一些复杂函数近似的表示为简单的多项式函数,是高等数学中重要部分.作者通过查阅一些参考文献，从中搜集了大量的习题，通过认真计算，其中部分难度较大的题目之证明来自相应的参考文献,并对这些应用方法做了系统的归纳总结.由于本文的主要内容是介绍泰勒公式的应用,所以,本文以例题为主进行讲解说明.2.泰勒公式及其应用2.1预备知识定义12.1若函数f在0t存在n阶导数,则有20000001!2!!nnnnnftftftftftttttttottn2（1）这里0nott为皮亚诺余项,称（1）f在点0t的泰勒公式.当0t=0时,（1）式变成200001!2!!nnnfffftftttotn称此式称为（带皮亚诺余项的）麦克劳林公式.定义2.2若函数f在0t某邻域内为存在直至n+1阶的连续导数,则200000()1!2!!nnnnnftftftftftttttttRtn（2）这里R（n）为拉格朗日余项110()()1!nnfRnttn,其中在t与0t之间,称（2）为f在0t的泰勒公示.当0t=0时,（2）式变成20000()1!2!!nnnfffftftttRtn称此式为（带有拉格朗日余项的）麦克劳林公式.其中,常见函数的展开式:21135212224222311212!!(1)!sin(1)()3!5!21!cos(1)()2!4!2!ln1(1)()231111nnannnnnnnnnnnnaaeeaanntttttotntttttotntttxtotnttttt定理12.1（介值定理）设函数g在闭区间],[21xx上连续。且f（1x）f（2x）,若0介于f（1x）与f（2x）之间的任何数,则至少存在一点0x],[21xx,使得f（0x）=033泰勒公式的应用3.1利用泰勒公式求极限利用泰勒公式简化极限运算,可用该项的泰勒展开式来代替,使原来函数的极限转化为接近多项式有理的极限,便能简洁方便的求出该极限运算.例1求极限2240limttxeet分析:极限为00型，由题意可知用罗比达法求解很麻烦,故将cost和22te分别用泰勒公示展开代替,则可简化此式.解由244cos12!4!tttot,2224221()22ttteot得2444422111cos()()()4!22!12ttetottot于是244244001()112limlim12ttxxtoteext3.2利用泰勒公式求不等式利用泰勒公式可以方便简洁的证明不等式是含有多项式和初等函数的混合式.其方法一般是作一个辅助函数并用泰勒公示代替.4例2当0a时,证明31sin