泰勒公式及其应用

1第一章绪论近代微积分的蓬勃发展，促使几乎所有的数学大师都致力于相关问题的研究，特别是泰勒，笛卡尔，费马，巴罗，沃利斯等人作出了具有代表性的工作.泰勒公式是18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的英国数学家泰勒，在微积分学中将函数展开成无穷级数而定义出来的.泰勒将函数展开成级数从而得到泰勒公式，对于一般函数f，设它在点0x存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式()20000000()()()()()()()(),1!2!!nnnfxfxfxTxfxxxxxxxn称为函数f在点0x处的泰勒多项式，若函数f在点0x存在直至n阶导数，则有0()()(()),nnfxTxxx即()200000000()()()()()()()()(()).2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxxxn称为泰勒公式.众所周知，泰勒公式是数学分析中非常重要的内容，它的理论方2法已经成为研究函数极限和估计误差等方面不可或缺的数学工具，集中体现了微积分“逼近法”的精髓，在近似计算上有着独特的优势，利用它可以将非线性问题化为线性问题，并能满足很高的精确度要求，在微积分的各个方面都有重要的应用.泰勒公式在分析和研究数学问题中有着重要作用,它可以应用于求极限、判断函数极值、求高阶导数在某些点的数值、判断广义积分收敛性、近似计算、不等式证明等方面.关于泰勒公式的应用，已有许多专家学者对它产生了浓厚的兴趣，它们对某些具体的题目作出了具体的解法，如求极限，判断函数凹凸性和收敛性，求渐近线，界的估计和近似值的计算等等.虽然泰勒公式应用到各个数学领域很多，但也还有很多方面学者还很少提及，因此在这泰勒公式及其应用方面我们有研究的必要，并且有很大的空间.泰勒公式不仅在极限和不等式证明中能解决许多问题，同时也是研究分析数学的重要工具.其原理是很多函数都能用泰勒公式表示，又能借助于泰勒公式来研究函数近似值式和判断级数收敛性的问题.因此泰勒公式在数学实际应用中是一种重要的应用工具，我们必须掌握它，用泰勒公式这一知识解决更多的数学实际问题.3第二章泰勒公式1.1泰勒公式的意义泰勒公式的意义是，用一个n次多项式来逼近函数f.而多项式具有形式简单，易于计算等优点.泰勒公式由()fx的n次泰勒多项式()nPx和余项0()[()]nnRxoxx组成，我们来详细讨论它们.当n=1时，有1000()()()()Pxfxfxxx，是()yfx的曲线在点00(,())xfx处的切线（方程），称为曲线()yfx在点00(,())xfx的一次密切，显然，切线与曲线的差异是较大的，只是曲线的近似.当n=2时，有2020000()()()()()()2!fxPxfxfxxxxx，是曲线()yfx在点00(,())xfx的“二次切线”，也称曲线()yfx在点00(,())xfx的二次密切.可以看出，二次切线与曲线的接近程度比切线要好.当次数越来越高时，接近程度越来越密切，近似程度也越来越高.1.2泰勒公式余项的类型4泰勒公式的余项分为两类，一类是定性的，一类是定量的，它们的本质相同，但性质各异.定性的余项如佩亚诺型余项0(())noxx，仅表示余项是比0()nxx（当0xx时）高阶的无穷小.如33sin()6xxxox，表示当0x时，sinx用36xx近似，误差（余项）是比3x高阶的无穷小.定量的余项如拉格朗日型余项(1)101()()(1)!nnfxxn（也可以写成00()xxx）、柯西余项（如在某些函数的幂级数展开时用）.定量的余项一般用于函数值的计算与函数形态的研究.1.3泰勒公式的定义（1）带有佩亚诺(Peano)型余项的泰勒公式如果函数()fx在点0x的某邻域内具有n阶导数,则对此邻域内的点x,有()200000000()()()()()()()()(()).2!!nnfxfxfxfxfxxxxxxxxxn当00x时,上式称为麦克劳林(Maclaurin)公式.即()(1)21(0)(0)(0)()(0)(0)(01)2!!(1)!nnnnffffxffxxxxnn（2）带有拉格朗日(Lagrange)型余项的泰勒公式5如果函数()fx在点0x的某邻域内具有1n阶导数,则对此邻域内的点x,有()(1)2100000000()()()()()()()()()()2!!(1)!nnnnfxfxffxfxfxxxxxxxxxnn(介于0x与x之间）第三章泰勒公式的实际应用2.1利用泰勒公式求极限对于待定型的极限问题，一般可以采用洛比达法则来求，但是，对于一些求导比较繁琐，特别是要多次使用洛比达法则的情况，泰勒公式往往是比洛比达法则更为有效的求极限工具.利用泰勒公式求极限，一般用麦克劳林公式形式，并采用佩亚诺型余项.当极限式为分式时，一般要求分子分母展成同一阶的麦克劳林公式，通过比较求出极限.例1求2240coslimxxxex分析：此题分母为4x，如果用洛比达法则，需连用4次，比较麻烦.6而用带佩亚诺余项的泰勒公式解求较简单.解：因为2211()2!xexxox将x换成22x有222222211()()(())22!22xxxxeo又244cos1()2!4!xxxox所以24442111cos()()()2484xxexoxox441()12xox故2442441()cos112limlim12xxxxoxxexx例2求极限2240coslimsinxxxex.解：因为分母的次数为4，所以只要把cosx，22xe展开到x的4次幂即可.24411cos1()2!4!xxxox22224211()()22!2xxxeox故2240coslimsinxxxex7444011()()4!8limxxoxx112带有佩亚诺型余项的泰勒公式是求函数极限的一个非常有力的工具,运用得当会使求函数的极限变得十分简单.2.2利用泰勒公式进行近似计算例1用xe的10次泰勒多项式求e的近似值i，并估计误差.解：在xe的泰勒公式中取1,10xn,则有111112!3!10!e2.718281801由于e的精确度值e2.718281801，可以看出这么算得的结果是比较准确的.关于计算的误差，则有如下的估计11813()6.81011!11!xedx.必须注意，泰勒公式只是一种局部性质，因此在用它进行近似计算时，x不能远离0x，否则效果会比较差，甚至产生完全错误的结果.如在ln(1)x的泰勒多项式中令x=1，取它的前10项计算ln2的近似值，得到111111111ln212345678910=0.64563492…而ln2=0.69314728…，误差相当大，但如改用其他泰勒多项式，如1lnln(1)ln(1)1xxxx23223221()232232nnnxxxxxxxxoxnn8352122()3521nnxxxxoxn，令1,3x只取前两项便有3111ln22()3330.69135…,取前四项则可达到3571111111ln22()()()3335373=0.69312475…,效果比前面好得多.例2当x很小时，推出331111xxxx的简单的近似公式.解：当x很小时，111133331122111111xxxxxxxx2224[1][1]3(1)3(1)3(1)xxxxxx43x2.3在不等式证明中的应用关于不等式的证明，我们已经在前面介绍了多种方法，如利用拉格朗日中值定理来证明不等式，利用函数的凸性来证明不等式，以及通过讨论导数的符号来得到函数的单调性，从而证明不等式的方法.下面我们举例说明，泰勒公式也是证明不等式的一个重要方法.例1设()fx在[0,1]二次可导，而且(0)(1)0ff，01lim()1xfx，试求存在(0,1)，使()8f.证：由于()fx在[0,1]的最小值不等于在区间端点的值，故在[0,1]内9存在1x，使1()1fx，由费马定理知，1()0fx.又21111()()()()()()2!ffxfxfxxxxx21()1()2!fxx（介于x与1x之间）由于(0)(1)0ff，不令0x和1x，有211()0(0)1(0)2ffx所以21112()2(1)(1)fxx当1112x时，2128x，而当1112x时，212(1)8x，可见1()f与2()f中必有一个大于或等于8.2.4泰勒公式在外推上的应用外推是一种通过将精度较低的近似值进行适当组合，产生精度较高的近似值的方法，它的基础是泰勒公式，其原理可以简述如下.若对于某个值a，按参数h算出的近似值1()ah可以展开成231123()ahachchch（*）（这里先不管ic的具体形式），那么按参数2h算出的近似值1()2ha就是231123111()2248haachchch(**)1()ah和1()2ha与准确值a的误差都是()oh阶的.现在，将后(**)式乘2减去（*）式，便得到11232232()()2()21haahahadhdh也就是说，对两个()oh阶的近似值化了少量几步四则运算进行组合之后，却得到了具有2()oh阶的近似值2()ah.这样的过程就称为外推.10若进行了一次外推之后精度仍未达到要求，则可以从2()ah出发再次外推，22343344()()2()41haahahaeheh，得到3()oh阶的近似值3()ah.这样的过程可以进行1k步，直到11112()()2()()21kkkkkkhaahahaoh，满足预先给定的精度.外推方法能以较小的待解获得高精度的结果，因此是一种非常重要的近似计算技术.例1单位圆的内接正n边形的面积可以表示为1()sin(2)2Shhh，这里1hn,按照泰勒公式351(2)(2)()223!5!hhShhh246123chchch因此，其内接正2n边形的面积可以表示为351()()()23!5!hhhShh24612314chchch，用它们作为的近似值，误差都是()oh量级的.现在将这两个近似的程度不够理想的值按以下方式组合：4()()()()22()()4123hhSShSShhShS那么通过简单的计算就可以知道114623()Shdhdh2h项被消掉了！也就是说，用()Sh近似表示，其精度可以大大提高.2.5求曲线的渐近线方程若曲线()yfx上的点(,())xfx到直线yaxb的距离在x或x时趋于零，则称直线yaxb是曲线()yfx的一条渐近线.当0a时称为水平渐近线，否则称为斜渐近线.显然，直线yaxb是曲线()yfx的渐近线的充分必要条件为lim[()()]0xfxaxb或lim[()()]0xfxaxb如果yaxb是曲线()yfx的渐近线，则()()lim0xfxaxbx（或()()lim0xfxaxbx）.因此首先有()limxfxax（或()limxfxax）.其次，再由lim[()()]0xfxa