常微分方程中的几种非线性方程的解法1

文山学院本科毕业论文（设计）2015年度本科生毕业论文（设计）常微分方程中几种非线性方程的解法教学系：数学学院专业：数学与应用数学年级：2011级姓名：杨艺芳学号：20110701011053导师及职称：刘常福教授2015年5月文山学院本科毕业论文（设计）毕业论文（设计）原创性声明本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经撰写或发表过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。作者签名：日期：毕业论文（设计）授权使用说明本论文（设计）作者完全了解文山学院有关保留、使用学生毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。作者签名：指导教师签名：日期：日期：文山学院本科毕业论文（设计）杨艺芳毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单姓名职称单位备注主任（组长）文山学院本科毕业论文（设计）摘要非线性常微分方程是常微分方程中重要的一部分，源于应用数学、物理学、化学等许多科学领域，高阶微分方程比二阶微分方程研究要困难得多，并且研究还不成熟。鉴于非线性微分方程在理论上和实践上的重要意义。本文将采用列举法，对非线性常微分方程的一些解题方法进行分析。如“利用初等积分法与引入变量法”、“首次积分法”“常数变易法”、“化为线性微分方程求解法”等方法。在说明这些方法的同时，说明这些方法的特点以及解题思路，随之附上应用对应方法的例题，在例题的基础上理解方法的精髓。这种对非线性方程地学习，对未来研究非线性方程地解法具有一定的参考价值。关键词：常微分方程；非线性常微分方程；通解文山学院本科毕业论文（设计）英文文山学院本科毕业论文（设计）目录一、引言·····························1二、线性微分方程与非线性微分方程的区别··············12.1线性微分方程·······················12.2非线性微分方程······················1三、非线性微分方程的解法·····················23.1利用初等积分与引入新变量法················23.1.1形如,0nFxy型的方程分的两种情形········23.1.2形如',,...,0nFyyy型的方程············33.1.3形如',,...,0nFxyy型的方程············43.2首次积分法························43.3常数变易法························53.3.1引用定理3.1····················53.3.2形如dyyygdxxx型的方程··············63.3.3形如'yyPxeQx型的方程············63.3.4形如'xyxyy型的方程···············73.4可化为线性方程法·····················73.4.1通过变换方程化为线性方程的方程···········73.4.2通过求导运算化为线性的方程·············83.4.3伯努利方程·····················83.4.4黎卡提方程·····················83.4.5二阶非线性方程''',,,0Fxyyy或''',,yfxyy型···9四、结束语····························10参考文献·····························10致谢·······························11文山学院本科毕业论文（设计）1一、引言在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。非线性常微分方程是伴随着微积分学发展起来的数学分支，发展得不是很完善，在学术界也是一个值得深究的热题。现在微分方程科学研究的发展很快，但以目前国内高校微分方程教材的现状来看，不同程度地存在着内容相对滞后的现象。为了能够更加完整地掌握和了解非线性微分方程，本文将利用几种特殊的非线性微分方程的解法加以说明，让更多学者能够简易明了地认清非线性微分方程的解法，从而能够达到从特殊化到一般化、循序渐进地理解非线性微分方程的本质。二、线性微分方程分与非线性微分方程的区别2.1线性微分方程在微分方程中，自变量的个数只有一个，我们称这种微分方程为常微分方程；自变量的个数为两个或者两个以上的微分方程为偏微分方程。如：20dydytydtdt是常微分方程，y是未知函数，t是自变量。2240TTxt是偏微分方程，T是未知函数，x、t是自变量。本文将对常微分方程作讨论，以下统称微分方程。一般的n阶微分方程具有形式(,,,...,)0nndydyFxydxdx，(1-1)如果方程（1-1）的左端为y及,...,nndydydxdx的一次有理整式，则称（1-1）为n线性阶微分方程。一般n阶微分方程具有形式1111()...()()()nnnnnndydydyaxaxaxyfxdxdxdx，这里1(),...,(),naxax()fx是x的已知函数。2.2非线性微分方程不是线性微分方程的方程称为非线性微分方程。常微分方程中的几种非线性方程的解法2例如：20dydytydtdt是一阶非线性微分方程。,0nFxy，',,...,0nFyyy等为高阶非线性微分方程[1]。三、非线性微分方程的解法3.1利用初等积分与引入新变量法[5]3.1.1形如,0nFxy型的方程分两种情形若可以解出ny，写为nyfx，则通过n次积分得通解00121200.........,1!2!xxnnnnxxnccyfxdxxxxxcnn或011212001....1!1!2!xnnnnxccyxfdtxxxxcnnn例如：''yfx型的方程，由上述思想可得：对''yfx两端积分，有：'11yfxdxfxc，再积分一次，得：11212yfxcdxfxcxc，所以得方程的通解为：212.yfxcxc例3.1求二阶非线性微分方程''21yy的通解。解依据题意，将原方程两端积分得：'221,yydxxxyc再积分一次得：2222121,22yyxxycdxxxcxc所以方程的通解为：22121.2yyxcxc若不便从,0nFxy方程中解出ny时，有时可以写成参数方程,nxhtygt也即,0Fhtgt，此时由(1)',nndyydxgthtdt得1'11,nygthtdtgtc，最后的通解的参数表示为12,,,...,nnxhtygtccc.文山学院本科毕业论文（设计）3例3.2求''''yeyx的通解。解此方程无法解出''y，引入参数t,令''yt,则txet，所以'''1,tdyydxtedt所以'211112ttytedttetc，又'211112ttdyydxtetcedt，再积分得()yt,故得参数方程的通解为：22212.312426tttxettttyecectc3.1.2形如',,...,0nFyyy型的方程这类方程的特点是不显含自变量x。解法是令'yp,且将y取作自变量，则有'yp，''..,dpdpdydpypdxdydxdy222'''2322....,,,ddpddpdydpdpdpdpyppppgpdxdydydydxdydydydy……2211221,,,......,.,,......,,nnnnnnnddpdpdpdydpdpygpgpdxdydydydxdydy将以上各式代入原方程，得到p对y的1n阶方程：11,,,......,0.nndpdpFypdydy例3.3求方程23''''0yyyy的解。解此方程为不显含自变量x，令'yp，则''..dpdpdydpypdxdydxdy，代入方程得232..0dpdpyppppyppdydy，则得0p，或20dpyppdy。前者对应解出yc；后者对应方程解得1dpdyppy，对两边积分得11pcypp，即111cydypdxcy，再积分得''12ln.ycyxc常微分方程中的几种非线性方程的解法4因此原方程的解是：''12lnycyxc及.yc3.1.3形如',,...,0nFxyy型的方程例如：''',yfxy型的方程，此类方程的特点是不显含未知数y。解法是令'yz，则得''dpydx，故原方程变为',zfxz，设其通解为11zfxc，若1fx的原函数为2fx，则原方程的通解为:211.yfxcxc（注：对于'',,,......,,,......,nnkFxtytytytFxyy，令uye，可以将方程化为不显含未知函数的''',,,...,0nFxuuu，再令'uz，即可以降低一阶。还有两种特殊观点下的（1-1）形的齐次型，可参阅文献[5]，见习题。）例3.4求方程''''lnyxyyx的解。解此方程不显含y，最低阶导数为''y，令''yz，代入方程得'lnzxzzx，再令xuz，代入上式整理得lndudxuuux，积分得lnln11lnucx，即得ln1cux，或11cxue，所以11'cxzyxe。所以原方程的解：1111221111.cxcxyxeeccc3.2首次积分法首次积分法。对于正规形的或称典范的（n阶）微分方程组，只要满足解的存在性条件，则它的首次积分是存在的，若求得它的一个首次积分，则可以将它降低一阶，即化为一个1n个方程的求解问题：若能获得它的k个函数无关的首次积分，则可以将它降低k阶，当kn时，就相当于得到了它的通解。具体的求法。是找“可积组合”，即将原方程组中一部分或者全部方程进行重新组合，以获得可积的一阶方程，又是先把原方程写成对称形式，再利用熟知的有关比例的性质，使得比较容易找出“可积组合”来。首次积分法能够将高阶方程不断降阶为低阶的方程，求出低阶方程，从而就可以求出高阶方程的解[2]。形如微分方程组11,,...,,indyfxyydx1,2,3,4,......,,in(3-1)定理3.1[5]设已知微分方程组（3-1）的n个独立的首次积分1,,...,nixyyc，1,2,3,......,n，则它们构成方程组（3-1）的通积分（隐式通解）。若它们可解得含n个文山学院本科毕业论文（设计）5任意常数的函数组11;,...,nyxcc……1;,...,nnnyxcc则该方程组就是微分方程组（3-1）的通解。微分方程组（3-1