刘维尔定理

刘维尔定理的证明这些系统的运动状态的代表点将在相空间中形成一个分布。设想大量结构完全相同的系统，各自从其初态出发，独立的沿着正则方程所规定的轨道运动。ffdpdpdpdqdqdqd2121设相空间中有一个体积元d:dtpppqqqff;,,,;,,,2121在时刻t，运动状态在体积元内的代表点数为:tpppqqqff;,,,;,,,2121代表点的密度为Ndtpppqqqff;,,,;,,,2121现在考虑代表点密度随着时间的变化：当时间从t变化到t＋dt：dtppdtqqpqiiiiii,,相空间中代表点将运动到在新位置的密度为：dtdtddttdtppdtqqff,,,11其中：iiiiippqqtdtd那么，对整个相空间积分，就得到了设想的系统总数目N：一个不随着时间改变的量。代表点的密度在相空间中是常数,刘维尔定理它由下面2f对平面为边界组成：fidpppdqqqiiiiii,,2,1;,;,0dtdffdpdpdpdqdqdqd2121如何证明？考虑一个相空间中的一个固定的体积元，在时刻t，在该体积元内的状态数目为：diqiidqqdiqiidqqd0dtd相空间中的轨道需证明ddttd体积元内代表点的增加数目为：dtdt经过时间dt后，有些代表点走出了这个体积元，有些则走进了这个体积元，使得这个体积元内的代表点数目发生了变化：代表点需要通过这2f对边界平面，才能够进入或者走出体积元。iqiidqqd0jt连续性方程现在计算通过平面qi走进体积元内的代表点数目。ffiidpdpdqdqdqdqdqdA11121体积元在平面qi方向上的边界面积为：在dt时间内通过dA进入体积元的代表点必定位于以dA为底，以dt为高的柱体内。柱体内的代表点数为：iqdtdAqiiqiidqqd同样，在dt时间内通过平面qi＋dqi走出体积元的粒子数目为：两者相减得到经过一对平面（qi，qi＋dqi）净进入体积元的代表点数目：dtdAdqqqqdtdAqiiiqidqqiiiiiqiidqqddtdAqi流进流出dtdqqdtdAdqqqiiiii同理，可以得到经过一对平面（pi，pi＋dpi）净进入体积元内的代表点数目为：dtdppdtdAdpppiiiiiipiidppd将前面两个式子相加，再对i进行求和，就得到了在dt时间内穿过边界而进入体积元的净增加数目。dtdppqqiiiiidtdqqdtdAdqqqiiiiidtdppdtdAdpppiiiiidtdtjt连续性方程根据哈密顿正则方程，有：022iiiiiiiiqpHqpHppqq;;iiiiqHppHqdtdppqqiiiiidtdt消去dtd，有：0iiiiippqqt0)()(iiiiiiiiippppqqqqt0iiiiippqqtiiiiippqqtdtd00dtd刘维尔定理上式为刘维尔定理：随着一个代表点在相空间中运动，其邻域的代表点密度是不随时间改变的常数。将哈密度正则方程带入上式，得到刘维尔定理的另一种形式：iiiiiqHppHqt本式对于变换t－t保持不变，说明刘维尔定理是可逆的。如果密度仅仅是哈密顿量H（即能量E）的函数，则上式中右边为零，此时有：0t0iiiiippqqtdtd;;iiiiqHppHq