2014年江苏理科数学高考试题及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试数学（江苏卷）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．．1.已知集合A={}，，则.2.已知复数(i为虚数单位),则的实部为.3.右图是一个算法流程图,则输出的的值是.4.从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是.5.已知函数与(0≤),它们的图象有一个横坐标为的交点,则的值是.6.设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有株树木的底部周长小于100cm.7.在各项均为正数的等比数列中,,则的值是.8.设甲、乙两个圆柱的底面分别为，，体积分别为，，若它们的侧面积相等，且，则的值是.9.在平面直角坐标系中,直线被圆截得的弦长为.10.已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是.11.在平面直角坐标系中，若曲线(a，b为常数)过点，且该曲线在点P处的切线与直线平行，则的值是.12.如图，在平行四边形中，已知，，，，则的值是.13.已知是定义在R上且周期为3的函数,当时,.若函数在区间上有10个零点(互不相同),则实数的取值范围是.14.若△的内角满足,则的最小值是.二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过4,3,1,2}3,2,1{BBA2)i25(zznxycos)2sin(xy3}{na,12a4682aaa6a1S2S1V2V4921SS21VVxOy032yx4)1()2(22yx,1)(2mxxxf]1,[mmx0)(xfmxOyxbaxy2)5,2(P0327yxbaABCD8AB5ADPDCP32BPAPADAB)(xf)3,0[x|212|)(2xxxfaxfy)(]4,3[aABCCBAsin2sin2sinCcos开始输出n结束（第3题）NY10080901101201300.0100.0150.0200.0250.030底部周长/cm（第6题）ABDCP（第12题）程或演算步骤．15.(本小题满分14分)已知,.(1)求的值；(2)求的值.16.(本小题满分14分)如图，在三棱锥中，，E，F分别为棱的中点.已知,求证:(1)直线平面；(2)平面平面.),2(55sin)4sin()265cos(ABCPDABACPC,,ACPA,6PA.5,8DFBC//PADEFBDEABC（第16题）PDCEFBA17.(本小题满分14分)如图,在平面直角坐标系中,分别是椭圆的左、右焦点，顶点的坐标为，连结并延长交椭圆于点A，过点A作轴的垂线交椭圆于另一点C，连结.(1)若点C的坐标为,且,求椭圆的方程；(2)若求椭圆离心率e的值.18.(本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m.经测量，点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),.(1)求新桥BC的长；(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大？xOy21,FF)0(12322babyaxB),0(b2BFxCF1)31,34(22BF,1ABCFOA34tanBCO170m60m东北OABMC（第18题）F1F2OxyBCA(第17题)19.(本小题满分16分)已知函数,其中e是自然对数的底数.(1)证明:是R上的偶函数；(2)若关于的不等式≤在上恒成立，求实数的取值范围；(3)已知正数满足：存在，使得成立.试比较与的大小，并证明你的结论.20.(本小题满分16分)设数列的前项和为.若对任意正整数，总存在正整数，使得，则称是“H数列”.(1)若数列的前n项和(N),证明:是“H数列”;(2)设是等差数列,其首项,公差.若是“H数列”,求的值；(3)证明：对任意的等差数列，总存在两个“H数列”和，使得(N)成立.xxxfee)()(xfx)(xmf1emx),0(ma),1[0x)3()(0300xxaxf1ea1ea}{nannSnmmnaS}{na}{nannS2n}{na}{na11a0d}{nad}{na}{nb}{ncnnncban数学Ⅱ（附加题）21.选作题本题包括A、B、C、D，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，C,D是圆O上位于AB异侧的两点。证明：∠OCB=∠DB.[选修4-2矩阵与变换]：（本小题满分10分）已知矩阵A=121x，B=1121，向量α=2y,x,y为实数，若Aα＝Bβ，求x+y的值。C.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为212(222xttyt为参数），直线l与抛物线24yx相交于A、B两点，求线段AB的长。D.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知0,0xy，证明：22119xyxyxy【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.（本小题满分10分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球的除颜色外完全相同。⑴从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；⑵从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123,,xxx，随机变量X表示123,,xxx中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)23.(本小题满分10分)已知函数01sin(0),nnxfxxfxfxnNx设为的导数，12222ff⑴求2*12,4442nnnNnff⑵证明：对任意的等式都成立cAOBCD数学Ⅱ（附加题）21.选作题本题包括A、B、C、D，请选定其中两小题作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤。A．选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）如图，AB是圆O的直径，C,D是圆O上位于AB异侧的两点。证明：∠OCB=∠DAOBCD第21－A题1B.[选修4-2矩阵与变换]：（本小题满分10分）已知矩阵A=121x，B=1121，向量α=2y,x,y为实数，若Aα＝Bβ，求x+y的值。解析：Aα＝121x2y＝2+22yxy－Bβ＝11212y＝24yy所以由Aα＝Bβ得：2+2224yyxyy－解得124xy72xyC.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为212(222xttyt为参数），直线l与抛物线24yx相交于A、B两点，求线段AB的长。解把直线方程212(222xttyt为参数）代入到24yx中，得22224122tt，解得120,82tt所以，1282ABttD.[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知0,0xy，证明：22119xyxyxy提示33abcabc利用很简单就能得出结论。OCB＝ABC＝D【必做题】第22题、23题，每题10分，共计20分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。22.（本小题满分10分）盒中共有9个球，其中有4个红球、3个黄球和2个绿球，这些球的除颜色外完全相同。⑴从盒中一次随机取出2个球，求取出的2个球颜色相同的概率P；⑵从盒中一次随机取出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别记为123,,xxx，随机变量X表示123,,xxx中的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X)解⑴22243229518CCCPC⑵444914126CPXC,313145364913363CCCCPXC11214314PXPXPX所以随机变量X的概率分布如下表：X234P111413631126因此随机变量X的数学期望：E(X)=2×1114+3×1363+4×1126=20923.(本小题满分10分)已知函数01sin(0),nnxfxxfxfxnNx设为的导数，12222ff⑴求2*12,4442nnnNnff⑵证明：对任意的等式都成立c解：⑴12222ff2＝－1⑵由已知得：0sin,xfxx两边分别对x求导，得00'cosfxxfxx继续对上边两边求导过程，得01122334cossin22sinsin33cossin24sinsin2fxxfxxxfxxfxxxfxxfxxxfxxfxxx……利用数学归纳法，不难得出1sin2nnnnfxxfxx所以，当4x得，124442nnnff