直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析

112.2直线、平面平行的判定及其性质2.2.1直线与平面平行的判定1、直线和平面的位置关系一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种位置关系直线在平面内直线与平面相交直线与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α=Aa||α图形表示注：直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外2、直线和平面平行（1）定义：直线和平面没有公共点，则称此直线L和平面α平行，记作L||α。（2）判定定理：如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。简记为：线线平行，则线面平行.符号表示：,////ababa、.2.2.2平面与平面平行的判定1、定义：没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为：平面α、平面β，若a∩β＝∅，则a∥β2、判定定理：2.2.3直线与平面平行的性质1..性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行.简记为：线面平行，则线线平行.判定文字描述如果两个平面无公共点，责成这两个平面平行一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行．如果两个平面同时垂直于一条直线，那么这两个平面垂直。图形条件=α,b⊂β，α∩b＝Pα∥α，b∥α⇒β∥αl⊥αl⊥β⇒β∥α结论//////22符号表示：若//,,,//aabab则.2.2.4平面与平面平行的性质性质文字描述如果两个平行平面同时和第三平面相交，那么他们的交线平行如果两个平行平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面图形条件α∥ββ∩γ＝bα∩γ＝aα∥βl⊥αα∥βa⊂β结论a∥bl⊥βa∥α1.解题方法（1）证明直线与平面平行的常用方法：2.利用定义，证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明；3.利用直线和平面平行的判定定理，注意定理成立时应满足的条件；4.利用面面平行的性质定理，把面面平行转化为线面平行；2、证明平面与平面平行的常用方法：（1）利用面面平行的定义，此法一般与反证法结合；（2）利用面面平行的判定定理；（3）利用两个平面垂直于同一直线；（4）证明两个平面同时平行于第三个平面；基础习题1.设l是直线，，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是（）A.若l∥,l∥β，则∥βB.若l∥，l⊥β，则⊥βC.若⊥β,l⊥,则l⊥βD.若⊥β,l⊥,则l⊥β1.【解析】B2.下列命题正确的是（）A.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行2.【解析】C【例3】（2011江西）已知1，2，3是三个相互平行的平面．平面1，2之间的距离为1d，平面2，3之间的距离为2d．直线l与1，2，3分别相交于1P，2P，3P，那么“12PP=23PP”是“12dd”的33A.充分不必要条件B.必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】C【例4】（2011辽宁）如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD底面ABCD，则下列结论中不正确．．．的是A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角【解析】D【例5】（2012全国）设平面与平面相交于直线m，直线a在平面内，直线b在平面内，且bm则“”是“ab”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．即不充分也不必要条件【解析】A【例6】（2012河南）1l，2l，3l是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（）A．12ll，23ll13//llB．12ll，23//ll13llC．233////lll1l，2l，3l共面D．1l，2l，3l共点1l，2l，3l共面【解析】B【例7】（2012江苏）如图，在直三棱柱111ABCABC中，1111ABAC，DE，分别是棱1BCCC，上的点（点D不同于点C），且ADDEF，为11BC的中点．求证：（1）平面ADE平面11BCCB；1A1C（2）直线1//AF平面ADE．1B【解析】（1）∵三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∴CC1⊥平面ABC，∵AD⊂平面ABC，∴AD⊥CC1又∵AD⊥DE，DE、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴AD⊥平面BCC1B1，∵AD⊂平面ADE∴平面ADE⊥平面BCC1B1；（2）∵△A1B1C1中，A1B1=A1C1，F为B1C1的中点∴A1F⊥B1C1，∵CC1⊥平面A1B1C1，A1F⊂平面A1B1C1，∴A1F⊥CC1又∵B1C1、CC1是平面BCC1B1内的相交直线∴A1F⊥平面BCC1B1又∵AD⊥平面BCC1B1，∴A1F∥AD∵A1F⊄平面ADE，AD⊂平面ADE，FDCABE44∴直线A1F∥平面ADE．【例8】（2012浙江）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，且PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(Ⅰ)证明：MN∥平面ABCD；(Ⅱ)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A—MN—Q的平面角的余弦值．【解析】（Ⅰ）如图连接BD．∵M，N分别为PB，PD的中点，∴在PBD中，MN∥BD．又MN平面ABCD，∴MN∥平面ABCD；(Ⅱ)105．【例9】（2012北京）如图1，在RtABC中，90C，,DE分别为,ACAB的中点，点F为线段CD上的一点，将ADE沿DE折起到1ADE的位置，使1AFCD，如图2。（Ⅰ）求证：//DE平面1ACB；（Ⅱ）求证：1AFBE；（Ⅲ）线段1AB上是否存在点Q，使1AC平面DEQ？说明理由。【解析】解：（1）∵D，E分别为AC，AB的中点，∴DE∥BC，又DE⊄平面A1CB，∴DE∥平面A1CB，（2）由已知得AC⊥BC且DE∥BC，∴DE⊥AC，∴DE⊥A1D，又DE⊥CD，∴DE⊥平面A1DC，而A1F⊂平面A1DC，∴DE⊥A1F，又A1F⊥CD，∴A1F⊥平面BCDE，∴A1F⊥BE．（3）线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ．理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC．∵DE∥BC，∴DE∥PQ．∴平面DEQ即为平面DEP．由（Ⅱ）知DE⊥平面A1DC，∴DE⊥A1C，又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，∴A1C⊥DP，∴A1C⊥平面DEP，从而A1C⊥平面DEQ，图2图1FEBEDCBCDA1AF55故线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ【例10】(2013四川)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB＝AC＝2AA1，∠BAC＝120°，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD的中点．（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，说明理由，并证明直线l⊥平面ADD1A1；（2）设（1）中的直线l交AB于点M，交AC于点N，求二面角A－A1M－N的余弦值．【解析】（1）过点P作直线l∥BC，因为l在平面A1BC外，BC在平面A1BC内，由直线与平面平行的判定定理可知，l∥平面A1BC.（2）二面角A－A1M－N的余弦值为155.【例11】（2012河南）如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P＝A1C1，连接AP交棱CC1于D．（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；（Ⅱ）求二面角A－A1D－B的平面角的余弦值.【解析】二面角A－A1D－B的平面角的余弦值为23．【例12】（2012辽宁）如图，直三棱柱///ABCABC，90BAC，/,ABACAA点M，N分别为/AB和//BC的中点.(Ⅰ)证明：MN∥平面//AACC;(Ⅱ)若二面角/AMNC为直二面角，求的值.【解析】(1)连结AB′,AC′,由已知∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱，所以M为AB′中点.又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.又MN⊄平面A′ACC′，AC′⊂平面A′ACC′,因此MN∥平面A′ACC′.(2)以A为坐标原点,分别以直线AB,AC,AA′为x轴,y轴,z轴建立直角坐标系O-xyz,设AA′=1,则AB=AC=λ,于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1).所以Mλ2，0，12,Nλ2，λ2，1.设=(x1,y1,z1)是平面A′MN的法向量，可取=(1,-1,λ).设=(x2,y2,z2)是平面MNC的法向量，可取=(-3,-1,λ).因为A′-MN-C为直二面角，所以-3+(-1)×(-1)+λ2=0，解得λ=2.【课堂练习】1、（2006陕西）已知平面α外不共线的三点A,B,C到α的距离都相等,则正确的结论是()A.平面ABC必平行于αB.平面ABC必与α相交C.平面ABC必不垂直于αD.存在△ABC的一条中位线平行于α或在α内2、（2013新课标）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则66（)A．α∥β且l∥αB．α⊥β且l⊥βC．α与β相交，且交线垂直于lD．α与β相交，且交线平行于l3、（2013广东）设,mn是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB．若//,m,n,则//mnC．若mn,m,n,则D．若m,//mn,//n,则4、(2011烟台)已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.其中正确命题的个数为()A．1B．2C．3D．45、（2013浙江）设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α，m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β6、(2011福建)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于________．7、(2013山东)如图所示，在三棱锥P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E，F分别是AQ，BQ，AP，BP的中点，AQ＝2BD，PD与EQ交于点G，PC与FQ交于点H，联结GH.(1)求证：AB∥GH；(2)求二面角D－GH－E的余弦值．8、(2013江苏)如图，在三棱锥S－ABC中，平面SAB⊥平面SBC，AB⊥BC，AS＝AB.过A作AF⊥SB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点．求证：(1)平面EFG∥平面ABC；(2)BC⊥SA.GBCHPFEDQA779、（2013新课标Ⅱ）如图所示，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝22AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．10、（2013安徽）如图，圆锥顶点为P，底面圆心为O，其母线与底面所成的角为22.5°，AB和CD是底面圆O上的两条平行的弦，轴OP与平面PCD所成的角为60°.(1)证明：平面PAB与平面PCD的交线平行于底面；(2)求cos∠COD.11、(2013湖北)如图所示，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC⊥平面ABC，E，F分别是PA