中考数学专题复习-三角形动态问题-----——动点-动线-动图(25张PPT)

三角形动态问题——动点，动线，动图1.如图，已△ABC中，AB=AC=12厘米，BC=9厘，点D为AB的中点．（1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B向C点运动，同时点Q在线段CA上由C点向A点运动．①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，1秒钟时，△BPD与△CQP是否全，请说明；②点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD≌△CPQ？（2）若点Q以②的运动速度从点C出发点P以原来运动速度从点B同时出发，都逆时针沿ABC的三边运动，求多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？（1）①∵t=1（秒），∴BP=CQ=3（厘米）∵AB=12，D为AB中点，∴BD=6（厘米）又∵PC=BC-BP=9-3=6（厘米）∴PC=BD∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△BPD与△CQP中，∴△BPD≌△CQP（SAS），②∵VP≠VQ，∴BP≠CQ，又∵∠B=∠C，要使△BPD≌△CPQ，只能BP=CP=4.5，∵△BPD≌△CPQ，∴CQ=BD=6．∴点P的运动时间此时BP4.5t1.5()33秒CQ6VQ4()t1.5厘米/秒（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得4x=3x+2×12，解得x=24（秒）此时P运动了24×3=72（厘米）又∵△ABC的周长为33厘米，72=33×2+6，∴点P、Q在BC边上相遇，即经过了24秒，点P与点Q第一次在BC边上相遇．2.如图，在长方形ABCD中，AB=CD=6cm，BC=10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts.（1）PC=cm.（用含t的代数式表示）（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？（10-2t）（2）当t=2.5时，△ABP≌△DCP.∵当t=2.5时，BP=2.5×2=5，∴PC=10-5=5.∵在△ABP和△DCP中，AB=DC∠B=∠C=90°BP=CP，∴△ABP≌△DCP（SAS）.（3）当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以vcm/秒的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得△ABP与△PQC全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由.解：存在①当BP=CQ,AB=PC时，△ABP≌△PCQ,∵AB=6，∴PC=6，∴BP=10−6=4，2t=4，解得：t=2，CQ=BP=4，v×2=4，解得：v=2；②当BA=CQ,PB=PC时,△ABP≌△QCP，∵PB=PC，∴BP=PC=BC=5，2t=5，解得：t=2.5，CQ=BP=6，v×2.5=6，解得：v=2.4.综上所述：当v=2.4或2时△ABP与△PQC全等.123.如图，在长方形ABCD中，AB＝4，AD＝6，延长BC到点E，使CE＝2，连结DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设点P的运动时间为t(s)，当t为何值时，△ABP和△DCE全等？解：∵AB＝CD，∠A＝∠B＝∠DCE＝90°，∴△ABP≌△DCE或△BAP≌△DCE.当△ABP≌△DCE时，BP＝CE＝2，此时2t＝2，解得t＝1.当△BAP≌△DCE时，AP＝CE＝2，此时BC＋CD＋DP＝BC＋CD＋(DA－AP)＝6＋4＋(6－2)＝14，即2t＝14，解得t＝7.∴当t＝1或7时，△ABP和△DCE全等．4.如图所示，有一直角△ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，PQ＝AB，P，Q两点分别在AC上和过点A且垂直于AC的射线AM上运动．问点P运动到AC上什么位置时，△ABC才能和△APQ全等？解:由题意可知，∠C＝∠PAQ＝，又AB＝PQ，要△ABC≌△APQ，则只须AP＝BC或AP＝AC即可，从而当点P运动至AP＝5cm，即AC中点时，△ABC≌△APQ，或点P与点C重合即AP＝AC＝10cm时，△ABC≌△AQP．5.如图，已知长方形ABCD中，AD=6cm，AB=4cm，点E为AD的中点．若点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BC上由点B向点C运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△AEP与△BPQ是否全等？请说明理由，并判断此时线段PE和线段PQ的位置关系；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，运动时间为t秒，设△PEQ的面积为Scm2，请用t的代数式表示S；解：（1）∵长方形ABCD，∴∠A=∠B=90°，∵点E为AD的中点，AD=6cm，∴AE=3cm，又∵P和Q的速度相等可得出AP=BQ=1cm，BP=3，∴AE=BP，在△AEP和△BQP中，∴△AEP≌△BPQ(SAS)，∴∠AEP=∠BPQ，又∵∠AEP+∠APE=90°，故可得出∠BPQ+∠APE=90°，即∠EPQ=90°，即EP⊥PQ．（2）连接QE，由题意得：AP=BQ=t，BP=4﹣t，CQ=6﹣t，SPEQ=SABCD﹣SBPQ﹣SEDCQ﹣SAPE=AD·AB﹣0.5AE·AP﹣0.5BP·BQ﹣0.5(DE+CQ)·CD=24﹣0.5×3t﹣t（4﹣t）﹣0.5×4（3+6﹣t）=0.5t2﹣1.5t+6．6.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(1)当直线MN绕点C旋转到图甲的位置时，试说明：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD＋BE；(2)当直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，试说明：DE＝AD－BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图丙的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．解：(1)证明：∵∠ACB=90∘,∴∠ACD+∠BCE=90∘，而AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，∴∠ADC=∠CEB=90∘,∠BCE+∠CBE=90∘，∴∠ACD=∠CBE.在△ADC和△CEB中，{∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=DC+CE=BE+AD；三角形全等中的动线问题：∠ADC=∠CEB∠ACD=∠CBEAC＝BC6.在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.(2)当直线MN绕点C旋转到图乙的位置时，试说明：DE＝AD－BE；(3)当直线MN绕点C旋转到图丙的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．(2)∵∠ACB=∠ACD+∠ECB=90∘∠CBE+∠ECB=90∘∴∠ACD=∠CBE在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB=90∘∠ACD=∠CBEAC=CB，∴△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CE−CD=AD−BE；{(3)DE=BE−AD.易证得△ADC≌△CEB，∴AD=CE，DC=BE，∴DE=CD−CE=BE−AD.图形的翻折7.如图所示，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180°形成的，若∠BAC＝150°，则∠θ的度数是_________.解：由题意得△BAC≌△BAE≌△DAC∴∠EBA＝∠ABC,∠ACB＝∠ACD根据三角形内角和定理得∠ABC＋∠ACB＝180°－∠BAC＝180°－150°＝30°∴∠θ＝∠EBC＋∠DCB＝2(∠ABC＋∠ACB)＝2×30°＝60°.60°8.如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A=75°，则∠1+∠2=；150°折叠与对称9.如图，将长方形纸片ABCD折叠，折痕为EF，若AB＝2，BC＝3，则阴影部分的周长为________．∵AE=ME,AB=MN,BF=NF,∴ME+DE+MN+CD+CF+NF=AE+DE+AB+CD+CF+BF=AD+AB+CD+BC=2+3+2+3=10.10.如图，P是平行四边形纸片ABCD的BC边上一点，以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点C，D落在纸片所在平面上C′，D′处，折痕与AD边交于点M；再以过点P的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在C′P边上B′处，折痕与AB边交于点N．若∠MPC=75°，则∠NPB′=________°．解：由折叠的性质可知：∠MNC=∠C′PM=75°，∠C′PN=∠BPN，∴∠NPM=2×75°=150°，∴∠C′PB=30°，由折叠的性质可知：∠C′PN=∠BPN，∴∠NPB′=15°．1015°11.如图，两个直角三角形重叠在一起，将其中一个三角形沿着点B到点C的方向平移到△DEF的位置，∠B=90°，AB=8，DH=3，平移距离为4，求阴影部分的面积为（）A.20B.24C.25D.26D平移问题12.我们知道，国旗上的五角星是旋转对称图形，当它绕中心旋转到与自身重合时，至少需要旋转()A．36°B．60°C．45°D．72°13.如图，三个圆的圆心在同一点O，OA＝2，则图中阴影部分的面积为________．旋转问题Dπ14.如图，将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=∠DAB，试猜想DE，BF，EF之间有何数量关系，并证明你的猜想．12解：猜想：DE+BF=EF．证明：延长CF，作∠4=∠1，如图：∵将Rt△ABC沿斜边翻折得到△ADC，点E，F分别为DC，BC边上的点，且∠EAF=12∠DAB，∴∠1+∠2=∠3+∠5，∠2+∠3=∠1+∠5，∵∠4=∠1，∴∠2+∠3=∠4+∠5，∴∠GAF=∠FAE，在△AGB和△AED中，41ABADABGADE，∴△AGB≌△AED（ASA），∴AG=AE，BG=DE，在△AGF和△AEF中，AGAEGAFEAFAFAF，∴△AGF≌△AEF（SAS），∴GF=EF，∴DE+BF=EF．15.在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果∠BAC=90°，则∠BCE=______度，请说明理由；（2）设∠BAC=α，∠BCE=β．①如图2，当点D在线段BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系？请说明理由．90（1）理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，∴∠BCE=∠B+∠ACB，又∵∠BAC=90°∴∠BCE=90°（2）①α+β=180°，理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC．即∠BAD=∠CAE．在△ABD与△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠B=∠ACE．∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB．∴∠B+∠ACB=β，∵α+∠B+∠ACB=180°，∴α+β=180°②当点D在射线BC上时，α+β=180°；理由：∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵在△ABD和△ACE中AB=AC∠BAD=∠CAEAD=AE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠BAC+∠ABD+∠BCA=180°，∴∠BAC+∠BCE=∠BAC+∠BCA+∠ACE=∠BAC+∠BCA+∠B=180°，∴α+β=180°；当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．理由：∵∠DAE=∠BAC，∴∠DAB=∠EAC，∵在△ADB和△AEC中，AD=AE∠DAB=∠EACAB=AC∴△ADB≌△AEC（SAS），∴∠ABD=∠ACE，∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，∴∠BAC=∠BCE，即α=β．