高中数学直线与方程知识点总结

直线与方程1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时,规定α=0°.2、倾斜角α的取值范围：0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时,α=90°.[:3、直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k=tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时,α=0°,k=tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时,α=90°,k不存在.由此可知,一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x1两条直线的平行与垂直1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L22、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即直线的点斜式方程1、直线的点斜式方程：直线l经过点),(000yxP，且斜率为k)(00xxkyy2、、直线的斜截式方程：已知直线l的斜率为k，且与y轴的交点为),0(bbkxy3.2.2直线的两点式方程1、直线的两点式方程：已知两点),(),,(222211yxPxxP其中),(2121yyxxy-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直线的截距式方程：已知直线l与x轴的交点为A)0,(a，与y轴的交点为B),0(b，其中0,0ba3.2.3直线的一般式方程1、直线的一般式方程：关于yx,的二元一次方程0CByAx（A，B不同时为0）[来2、各种直线方程之间的互化。3.3直线的交点坐标与距离公式3.3.1两直线的交点坐标1、给出例题：两直线交点坐标L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程组34202220xyxy得x=-2，y=2所以L1与L2的交点坐标为M（-2，2）22122221PPxxyy3.3.2两点间距离两点间的距离公式3.3.3点到直线的距离公式1．点到直线距离公式：点),(00yxP到直线0:CByAxl的距离为：2200BACByAxd2、两平行线间的距离公式：已知两条平行线直线1l和2l的一般式方程为1l：01CByAx，2l：02CByAx，则1l与2l的距离为2221BACCd直线与方程公式整理（1）直线的倾斜角定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180°（2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用k表示。即tank。斜率反映直线与轴的倾斜程度。当90,0时，0k；当180,90时，0k；当90时，k不存在。②过两点的直线的斜率公式：)(211212xxxxyyk注意下面四点：(1)当21xx时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。（3）直线方程①点斜式：)(11xxkyy直线斜率k，且过点11,yx注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y=y1。当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每一点的横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1。②斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b③两点式：112121yyxxyyxx（1212,xxyy）直线两点11,yx，22,yx④截矩式：1xyab其中直线l与x轴交于点(,0)a,与y轴交于点(0,)b,即l与x轴、y轴的截距分别为,ab。⑤一般式：0CByAx（A，B不全为0）注意：○1各式的适用范围○2特殊的方程如：平行于x轴的直线：by（b为常数）；平行于y轴的直线：ax（a为常数）；（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系平行于已知直线0000CyBxA（00,BA是不全为0的常数）的直线系：000CyBxA（C为常数）（二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k的直线系：00xxkyy，直线过定点00,yx；（ⅱ）过两条直线0:1111CyBxAl，0:2222CyBxAl的交点的直线系方程为0222111CyBxACyBxA（为参数），其中直线2l不在直线系中。（5）两直线平行与垂直当111:bxkyl，222:bxkyl时，212121,//bbkkll；12121kkll注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。（6）两条直线的交点0:1111CyBxAl0:2222CyBxAl相交交点坐标即方程组00222111CyBxACyBxA的一组解。方程组无解21//ll；方程组有无数解1l与2l重合（7）两点间距离公式：设1122(,),AxyBxy，（）是平面直角坐标系中的两个点，则222121||()()ABxxyy（8）点到直线距离公式：一点00,yxP到直线0:1CByAxl的距离2200BACByAxd（9）两平行直线距离公式在任一直线上任取一点，再转化为点到直线的距离进行求解。例1、在△ABC中，已知A(5，－2)、B(7,3)，且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上，求：(1)顶点C的坐标；(2)直线MN的方程．解：(1)设点C的坐标为(x，y)，则有x＋52＝0，3＋y2＝0，∴x＝－5，y＝－3.即点C的坐标为(－5，－3)．(2)由题意知，M(0，－52)，N(1,0)，∴直线MN的方程为x－y52＝1，即5x－2y－5＝0.例2、已知两点A(－1,2)，B(m,3)．(1)求直线AB的方程；(2)已知实数m∈[－33－1，3－1]，求直线AB的倾斜角α的取值范围．解：(1)当m＝－1时，直线AB的方程为x＝－1，当m≠－1时，直线AB的方程为y－2＝1m＋1(x＋1)．(2)①当m＝－1时，α＝π2；②当m≠－1时，m＋1∈[－33，0)∪(0，3]，∴k＝1m＋1∈(－∞，－3]∪[33，＋∞)，∴α∈[π6，π2)∪(π2，2π3]．综合①②知，直线AB的倾斜角α的取值范围为[π6，23π]．例3、为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图所示)，另外，△AEF内部有一文物保护区不能占用，经测量AB＝100m，BC＝80m，AE＝30m，AF＝20m，应如何设计才能使草坪面积最大？解：建立如图所示直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，于是，线段EF的方程是x30＋y20＝1(0≤x≤30)，在线段EF上取点P(m，n)，作PQ⊥BC于点Q，PR⊥CD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则：S＝|PQ|·|PR|＝(100－m)(80－n)，因为m30＋n20＝1，所以n＝20(1－m30)，所以S＝(100－m)(80－20＋23m)＝－23(m－5)2＋180503(0≤m≤30)，于是，当m＝5时，S有最大值，这时|EP||PF|＝51.答：当草坪矩形的两边在BC，CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成5∶1时，草坪面积最大