线性规划与单纯形法

•线性规划（LP：LinearProgramming）•规划论中的静态规划•解决有限资源的最佳分配问题•求解方法：–图解法–单纯形解法线性规划简介•1939年苏联的康托洛维奇（H.B.Kahtopob）和美国的希奇柯克（F.L.Hitchcock）等人就在生产组织管理和制定交通运输方案方面首先研究和应用一线性规划方法。•1947年旦茨格等人提出了求解线性规划问题的单纯形法，为线性规划的理论与计算奠定了基础。•随着电子计算机的出现和日益完善，规划论得到迅速的发展，可用电子计算机来处理成千上万个约束条件和变量的大规模线性规划问题，从解决技术问题的最优化，到工业、农业、商业、交通运输业以及决策分析部门都可以发挥作用。线性规划问题的三个要素•–决策问题待定的量值称为决策变量。–决策变量的取值要求非负。•约束条件–任何问题都是限定在一定的条件下求解，把各种限制条件表示为一组等式或不等式，称之为约束条件。–约束条件是决策方案可行的保障。–LP的约束条件，都是决策变量的线性函数。•目标函数–衡量决策方案优劣的准则，如时间最省、利润最大、成本最低。–目标函数是决策变量的线性函数。–有的目标要实现极大，有的则要求极小。1线性规划问题及其数学模型ⅠⅡ设备原料A原料B1402048台时16kg12kg例某工厂在计划期内要安排生产Ⅰ、Ⅱ两种产品，已知生产单位产品所需的设备台时和原料A、B的消耗量如下表。该工厂每生产一件产品Ⅰ可获利2元，每生产一件产品Ⅱ可获利3元，问应如何安排生产计划能使该厂获利最多？这个问题可以用下面的数学模型来描述，设计划期内产品Ⅰ、Ⅱ的产量分别为x1，x2，可获利润用z表示，则有：MaxZ=2x1+3x2x1+2x2≤84x1≤164x2≤12x1,x2≥01.1问题的提出又例靠近某河流有两个化工厂，流经第一化工厂的河流流量为每天500万m3，两工厂之间有一条流量为每天200万m3的支流（见图）。第一化工厂每天排放污水2万m3，第二化工厂每天排放污水1.4万m3。污水从工厂1流到工厂2前会有20%自然净化。根据环保要求，河水中污水的含量应不大于0.2%。而工厂1和工厂2处理污水的成本分别为1000元/万m3和800元/万m3。问两工厂各应处理多少污水才能使处理污水的总费用最低？设工厂1和工厂2每天分别处理污水x1和x2万m3，则有：Minz=1000x1+800x2(2-x1)/500≤0.002[0.8(2-x1)+1.4-x2]/700≤0.002x1≤2,x2≤1.4x1,x2≥0以上两例都有一些共同的特征：⑴用一组变量表示某个方案，一般这些变量取值是非负的。⑵存在一定的约束条件，可以用线性等式或线性不等式来表示。⑶都有一个要达到的目标，可以用决策变量的线性函数来表示。满足以上条件的数学模型称为线性规划模型。线性规划模型的一般形式如下：0,,),(),(),(max(min)21221122222121112121112211nmnmnmmnnnnnnxxxbxaxaxabxaxaxabxaxaxaxcxcxcz其中：cj为价值系数；aij为技术系数；bi为限额系数；xj为非负变量•图解法即是用图示的方法来求解线性规划问题。•一个二维的线性规划问题，可以在平面图上求解，三维的线性规划则要在立体图上求解，这就比较麻烦，而维数再高以后就不能图示了。1.2线性规划的图解法可行域的确定•例:数学模型为maxZ=3x1+5x2x1≤82x2≤123x1+4x2≤36x1≥0,x2≥0S.t.x1=82x2=123x1+4x2=36x1x248123690ABC(4,6)D•五边形OABCD内(含边界)的任意一点(x1，x2)都是满足所有约束条件的一个解，称之可行解。•满足所有约束条件的解的集合，称之为可行域。即所有约束条件共同围城的区域。最优解的确定Z=30Z=42Z=15•目标函数Z=3x1+5x2代表以Z为参数的一族平行线。x1=82x2=123x1+4x2=36x1x248123690ABC(4,6)D•等值线：位于同一直线上的点的目标函数值相同。•最优解：可行解中使目标函数最优(极大或极小)的解•由线性不等式组成的可行域是凸集(凸集的定义是：集合内部任意两点连线上的点都属于这个集合)。•可行域有有限个顶点。设规划问题有n个变量，m个约束，则顶点的个数不多于Cnm个。•目标函数最优值一定在可行域的边界达到，而不可能在其内部。几点说明解的可能性x1=82x2=123x1+4x2=36x1x248123690ABC(4,6)D上例的数学模型变为maxZ=3x1+4x2x1≤82x2≤123x1+4x2≤36x1≥0,x2≥0S.t.Z=24Z=36Z=12•唯一最优解：只有一个最优点。•多重最优解：无穷多个最优解。若在两个顶点同时得到最优解，则它们连线上的每一点都是最优解。•无界解：线性规划问题的可行域无界，使目标函数无限增大而无界。（缺乏必要的约束条件）例如maxZ=3x1+2x2-2x1+x2≤2x1-3x2≤3x1≥0,x2≥0-2x1+x2=2x1-3x2=3x2123-1x1123-1Z=6Z=12S.t.•无可行解：若约束条件相互矛盾，则可行域为空集例如maxZ=3x1+2x2-2x1+x2≥2x1-3x2≥3x1≥0,x2≥0-2x1+x2=2x1-3x2=3x2123-1x1123-1S.t.唯一最优解无穷多最优解x1x2x1x2无界解无可行解当线性规划的可行域非空它是有界或无界凸多边形，若存在最优解，则最优解一定在可行域的的某个顶点或顶点的连线取得，也即有唯一最优解或无穷多最优解图解法虽然简单直观，但是只能解决两个变量练习:用图解法求解以下LP模型无符号限制21212121,2322265maxxxxxxxxxzAnswerx1x2-2x1+3x2=2x1-2x2=20Ax1=-10,x2=-6,z=-861.3线性规划的标准型•线性规划问题的数学模型有各种不同的形式，如–目标函数有极大化和极小化；–约束条件有“≤”、“≥”和“＝”三种情况；–决策变量一般有非负性要求，有的则没有。•为了求解方便，特规定一种线性规划的标准形式，非标准型可以转化为标准型。标准形式为：–目标函数极大化–约束条件为等式–右端常数项bi≥0–决策变量非负。一、标准型1.代数式二、标准型的表达方式有代数式、矩阵式：maxZ=c1x1+c2x2+…+cnxna11x1+a12x2+…+a1nxn＝b1a21x1+a22x2+…+a2nxn＝b2……………am1x1+am2x2+…+amnxn＝bmx1,x2,…,xn≥0maxZ=cjxjaijxj＝bi(i=1,2,…,m)xj≥0(j=1,2,…,n)nj1nj1简记2.矩阵式0..maxXbAXtsXCZ),,,(21ncccC价值向量mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211技术矩阵mbbbb21资源向量nxxxX21决策向量•目标函数极小化问题目标函数为minz=c1x1+c2x2++cnxn令z=-z,变为maxz=-c1x1-c2x2--cnxn•右端常数项非正两端同乘以-1•约束条件为不等式–当约束方程为“≤”时，左端加入一个非负的松弛变量，就把不等式变成了等式；–当约束条件为“≥”时，不等式左端减去一个非负的剩余变量(也可称松弛变量)即可。•决策变量xk没有非负性要求令xk=xk′-xk〃，其中xk′，xk〃≥0，用xk′、xk〃取代模型中xk三、非标准型向标准型转化•标准型•例1maxZ=3x1+5x2x1≤82x2≤123x1+4x2≤36x1≥0,x2≥0S.t.x1+x3=82x2+x4=123x1+4x2+x5=36x1,x2,x3,x4,x5≥0maxZ=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5minZ=x1+2x2+3x3′x1+2x2+x3′≤52x1+3x2+x3′≥6-x1-x2-x3′≥-2x1≥0,x3′≥0•例2minZ=x1+2x2-3x3x1+2x2-x3≤52x1+3x2-x3≥6-x1-x2+x3≥-2x1≥0,x3≤0标准化1S.t.标准化2minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′≤52x1+3(x2′-x2〃)+x3′≥6-x1-(x2′-x2〃)-x3′≥-2x1,x2′,x2〃,x3′≥0标准化3minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′≤52x1+3(x2′-x2〃)+x3′≥6x1+(x2′-x2〃)+x3′≤2x1,x2′,x2〃,x3′≥0标准化4minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′+x4=52x1+3(x2′-x2〃)+x3′≥6x1+(x2′-x2〃)+x3′≤2x1,x2′,x2〃,x3′,x4≥0标准化5minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′+x4=52x1+3(x2′-x2〃)+x3′-x5=6x1+(x2′-x2〃)+x3′≤2x1,x2′,x2〃,x3′,x4,x5≥0标准化6minZ=x1+2(x2′-x2〃)+3x3′x1+2(x2′-x2〃)+x3′+x4=52x1+3(x2′-x2〃)+x3′-x5=6x1+(x2′-x2〃)-x3′+x6=2x1,x2′,x2〃,x3′,x4,x5,x6≥0标准化7maxZ=-x1-2(x2′-x2〃)-3x3′+0x4+0x5+0x6x1+2(x2′-x2〃)+x3′+x4=52x1+3(x2′-x2〃)+x3′-x5=6x1+(x2′-x2〃)-x3′+x6=2x1,x2′,x2〃,x3′,x4,x5,x6≥0•可行解：–满足约束条件AX=b,X≥0的解。•最优解：–使目标函数达到最大的可行解，称为最优解。•基–设A是约束方程组的m×n维系数矩阵，其秩为m，B是矩阵A中的m×m阶非奇异子矩阵，则称B是线性规划问题的一个基。–m＜n，且m个方程线性无关，即矩阵A的秩为m；根据线性代数定理可知，n＞m，则方程组有多个解，这也正是线性规划寻求最优解的余地所在。一、线性规划解的概念1.4线性规划问题的解的概念•线性方程组的增广矩阵•例maxZ=3x1+5x2+0x3+0x4+0x5x1+x3=82x2+x4=123x1+4x2+x5=36x1,x2,x3,x4,x5≥036101201800043020101~Ax1x2x3x4x5单位矩阵•基矩阵：–系数矩阵A中任意m列所组成的m阶非奇异子矩阵，称为该线性规划问题的一个基矩阵。–或称为一个基，用B表示。–称基矩阵的列为基向量，用Pj表示(j=1,2,…,m)。100100043020101~A的基矩阵B最多C53=10，如下：100010001x3x4x5103010001x1x4x5104012000x2x4x5130000011x3x1x5140020001x3x2x5300010101x3x4x1400210001x3x4x2043020101x1x2x5x1x2x4043120001x1x2x5143020001•基变量：–与基向量Pj相对应的m个变量xj称为基变量，–其余的m-n个变量为非基变量。•基解：–令所有非基变量等于零，对m个基变量所求的解–对应一个特定的基矩阵能求得一组唯一解，这个对应于基的解称为基解。–结合图解来看，基解是各约束方